Главная » Просмотр файлов » Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994)

Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853), страница 16

Файл №1095853 Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994)) 16 страницаАмосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853) страница 162018-12-30СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Действительно, с* = 0.999998, с~~ = 0.999992 и у' = с* — с* = 0.000006. При вычитании старшие разряды оказались потерянными и в результате осталась только одна значащая цифра. Зх Вычисление по эквивалентной формуле у = 2зш — з1п —, позволяет избе- 2 2' жать вычитания близких чисел и дает значение у* = 0.624741.10 з с шестью верными цифрами. Интересно отметить, что у и 1.5хз, причем использование этой приближенной формулы в данном случае дает 6 верных значащих цифр, в то время как вычисления по формуле (3.21) — только одну верную цифру. 3 а м е ч а н и е. Не всегда катастрофическая потеря точности в промежуточных вычислениях действительно является катастрофой. Все зависит от того, как в дальнейшем используется результат.

70 3. Обусловленность вычислительного алгоритма. По аналогии с понятием обусловленности математической задачи можно ввести понятие обусловленности вычислительного алгоритма, отражающее чувствительность результата работы алгоритма к малым, но неизбежным ошибкам округления. Вычислительно устойчивый алгоритм называют хорошо обусмооленнъьм, если малые относительные погрешности округления (характеризуемые числом е ) приводят к малой относительной вычислительной погрешности 6(у*) результата у*, и плохо обусловлеи- им.и, если вычислительная погрешность может быть недопустимо боль- шой.

Если Б(у*) и км связаны неравенством д((у') ~ иле„, то число ил следует называть число а обусловленности вычислительиоьо ал~оритала. Для плохо обусловленного алгоритма ол > 1. При очень большом значении числа обусловленности алгоритм можно считать практически неустойчивым1, Применим, например, алгоритм, первоначально предложенный в примере 3.26, для вычисления конечной серии из У интегралов 1п А, 1у Тогда коэффициент роста ошибки и,~ окажется конечным. Иными словами,при вычислении конечной серии интегралов алгоритм формально оказывается устойчивым. Тем не менее уже при не очень больших значениях У он настолько плохо обусловлен, что в практиче- ском плане может считагься неустойчивым.

Для решения хорошо обусловленной задачи нет смысла применять плохо обусловленный алгоритм. Именно такими являются алгоритмы, первоначально предложенные в примерах 3.26 и 3.30. Вернемся к примеру 3.30. Задача вычисления функции ех хорошо обусловлена (см. пример 3.10). Можно ли было предвидеть катастро- фическую потерю точности при вычислении значения е 8 ' прямым суммированием ряда (3.20)7 Рассмотрим задачу суммирования ряда Е а~ со слагаемыми а~ = й=о 1с И ' = — . Каждое из этих слагаемых вычисляется с относительной ошиб- кой б(а~) > ям. При х с 0 формула (3.10) с учетом разложения (3.20) ~ .~й дает значение и = Š—, / ~ Š—,~ = ет!4.

Рост модуля х (для х т=о И ~~=о Ы ( О) приводит к резкому ухудшению обусловленности вычислений. Для х = -8.1, как в примере 3.30, имеем и = е'е т ю 107. Поэтому неудивительна полная потеря точности при вычислениях на 6-разрядной десятичной ЭВМ. Рассмотрим теперь обусловленность алгоритма прямого вычисления по формуле (3.21). Если величина х не слишком мала (2х2 > зм), то значения с м 1 — — и с, в 1 — 2х2 будут содержать ошибки порядка т 1 2 ' Иногда такие плохо обусловленные алгоритмы называют численно неустойчивыми.

71 е„,. Поэтому Ь(у') - 2е„,. Учитывая, что у м 1.5х~, найдем оценку границы относительной погрешности 0(у*) — х 2а„. Число обусловленности и - х 2 растет с уменьшением ~ х~. В случае, когда 2хх < ем, в результа- те вычислений будут получены значения с* = 1 с' = 1 и у* = с*— х 1 — с* = О. Здесь Б(у') = ~ у — у*~/~ у! = 1 и происходит полная потеря точности.

Если алгоритм, предназначенный для решения хорошо обусловленной задачи, оказался плохо обусловленным, то его следует признать неудовлетворительным и попытаться построить более качественный алгоритм. В примерах 3.30 и 3.31 это удалось сделать сравнительно легко. Однако для плохо обусловленных задач дело обстоит иначе. Ключ к пониманию дает следующее высказывание [67~: "Если задача плохо обусловлена, то никакие усилия, потраченные на организацию изощренных вычислений, не могут дать правильных ответов, исключая случайности". Здесь требуется серьезное переосмысление постановки вычислительной задачи.

З 3.6. Различные подходы к анализу ошибок 1. Прямой анализ ошибок. Общий эффект влияния ошибок обычно учитывают следующим образом. Изучают воздействие ошибок входных данных, метода и округлений на получаемый результат у" и пытаются оценить некоторую меру близости у* к истинному решению у. Такой метод исследования называяют иряльыль анализом ошибок. В большинстве случаев в данной книге мы будем следовать этому традиционному пути.

Во многих (но далеко не во всех) случаях оценки погрешности удается получить; однако довольно часто они оказываются сильно завышенными и приводят к неоправданному пессимизму в оценке качества приближенного решения. Реальная величина погрешности у — у* часто значительно меньше, чем ее оценка, рассчитанная на самый неблагоприятный случай и выведенная с помощью прямого анализа. Особенно трудным является прямой анализ вычислительной погрешности. 2. Обратный анализ ошибок.

В последнее время получил широкое распространение другой подход к оценке влияния ошибок. Оказывается, что довольно часто приближенное решение у" можно трактовать как точное решение той же задачи, но отвечающее возмущенным ис- 00насснь неелререненнести решения 00насть неенререненнаппа 0хорнаеа данноео Каждый из указанных двух подходов к оценке погрешности имеет свои достоинства и полезным является разумное их сочетание. Пример 3.32.

Пусть на 6 — разрядной десятичной ЭВМ вычисляется корень уравнения х~ — 12.5хь + 62.5хз — 156.25ха + 195.3125х — 97.65625 = О. При вводе в ЭВМ последние два коэффициента будут округлены до шести значащих цифр и уравнение примет вид Р*(х) = х~ — 12.5хь + 62.5х~ — 156.25га + 195.313х — 97.6563 = О. (3.22) Допустим, что некоторый алгоритм, примененный к этому уравнению, дал значение приближенного решения х' = 2.6. Следуя логике прямого анапиза 73 ходным данным х*. Оценка величины такого эквивалентного возмущения и является целью обратносо анализа оиьибок.

В прикладных задачах входные данные, как правило, содержат погрешности. Обратный анализ показывает, что ошибки, внесенные в решение в процессе его вычисления, оказываются равносильными некоторым дополнительным ошибкам, внесенным во входные данные. Сопоставление величины эквивалентного возмущения и уровня ошибок входных данных позволяет судить о качестве найденного решения. На рис. 3.5 представлена графическая иллюстрация обратного анализа ошибок. Здесь данное х* таково, что решением задачи, соответствующим х', является у* — результат приближенного решения задачи с входным данным х.

На рисунке заштрихована область неопределенности входного данного; в пределах этой области входные данные для решающего задачу неразличимы. В представленном случае х* оказалось внутри этой области, поэтому результат у" следует признать вполне приемлемым. ошибок, чтобы оценить качество полученного приближения нужно было бы задаться вопросом: насколько отличается х от истинного решения х уравнения (3,22)? Мы поступим иначе.

Подставляя х* в левую часть уравнения (3.22), получим значение Р*(х) = 0.00126. Заметим теперь, что х" = 2.6 является точным решением уравнений х5 — 12.5л" + 62.5хз — 156.25гз + 195.3125х — 97.65626 = О, х~ — 12.5х4 + 62.5хз — 156.25хт + 195.31252х — 97.656312 = О, Представляется, что значение обратного анализа ошибок недостаточно осознанно, в особенности среди непрофессиональных вычислителей.

Этот подход показывает на возможность иного взгляда на оценку качества приближенного решения, а, значит, и на качество многих вычислительных алгоритмов. Сложившийся стереотип заставляет искать приближенное решение у' математической задачи, мало отличающееся от ее истинного решения у. Однако для большинства практических задач в силу неопределенности в постановке н входных данных в действительности существует и область неопределенности решения (см.

рис. 3.5). Поскольку эта область неизвестна, оценить степень близости вычисленного решения у* к ней очень трудно. Гораздо проще, быть может, получить ответ на аналогичный вопрос для входного данного х', соответствующего решению у*. Поэтому можно сформулировать цель вычислений и так: "найти точное решение задачи, которая мало отличается от поставленной задачи" или же так: "найти решение задачи с входным данным х*, находящимся в пределах области неопределенности заданного входного данного х". Пример 3 33.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
19,17 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6551
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее