Амосов А.А., Дубинский В.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров (1994) (1095853), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Существует ряд широко используемых программ, которые, в первую очередь, популярны, благодаря простоте в использовании. 3. Противоречивость требований. Можно продолжить перечисление требований к вычислительным алгоритмам, добавив, например, требования универсальности и гибкости. Однако нетрудно понять, что сформулированные требования противоречивы.
Большинство из них вступает в противоречие с экономичностью, выраженной через затраты машинного времени. В разных ситуациях на первый план может выступать то или иное требование и, удовлетворяя в большей степени одним требованиям, программа с неизбежностью в меньшей степени удовлетворяет другим.
Это частично объясняет наличие большого числа программ, предназначенных для решения одной и той же задачи. Естественно, что хорошая программа, которую можно предъявить для широкого использования, не может быть простой. Следует признать, что составление таких программ — эта работа, требующая высокой квалификации и специальных знаний. Ее выполняют специалисты по созданию математического обеспечения ЭВМ. Рядовой пользователь должен по возможности стремиться максимально использовать стандартные программы, а не создавать новые.
з 3.8. Дополнительные замечания 1. Учебное пособие [79] можно рассматривать как введение в теорию методов решения некорректных задач. Ее удачно дополняют следующие книги: [7], [59], [80]. Отметим, что [80] содержит не только теорию и алгоритмы, но и тексты соответствующих программ. 2. Весьма содержательное изложение проблемы обусловленности вычислительных задач и обратного анализа ошибок содержится в [67].
Здесь же подробно обсуждаются проблема создания высококачественного математического обеспечения и требования, предъявляемые к вычислительным алгоритмам. 79 Глаоа 4 МЕТОДЫ ОТЫСКАНИЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В этой главе рассматривается задача отыскания корней нелинейных уравнений и излагаются методы ее решения. Это делается несколько подробнее, чем обычно принято в учебниках по численным методам.
Дело в том, что нелинейное уравнение представляет собой редкий пример задачи, которая может быть сравнительно полно исследована элементарными средствами и допускает наглядные геометрические иллюстрации, В то же время многие проблемы, возникающие при отыскании корней нелинейных уравнений, типичны, а некоторые методы их решения (в особенности метод простой итерации и метод Ньютона) допускают широкие обобщения и играют в вычислительной математике фундаментальную роль. 8 4.1 Постановка задачи.
Основные этапы решения 1. Постановка задачи. Задача отыскания корней нелинейного уравнения с одним неизвестным вида ~(х) = О (4.1) имеет многовековую историю, но не потеряла свою актуальность и в наши дни. Она часто возникает как элементарный шаг при решении различных научных и технических проблем. Напомним, что корясл (или решсяиел) уравнения (4.1) называется значение х, при котором ~(х) = О. Для справедливости большинства рассуждений данной главы достаточно предположить, что в окрестности каждого из искомых корней функция ~(х) дважды непрерывно дифференцируема. 80 Корень х уравнения (4.1) называется простыл, если у'(х) Ф О. В противном случае (т. е. в случае 1 (х) = О) корень х называется кратнм,а.
Целое число т назовем кратностью корня х, если Р'~'(х) = О для Й = 1, 2, ..., ги — 1 и ~т"'(х) 1 О. Геометрически корень х соответствует точке пересечения графика функции у = ~ (х) с осью Ох, Ко- рень х является простым, если график пересекает ось Ох под ненуле- вым углом, и кратным, если пересечение проис. одит под нулевым углом. Функция ~ (х), график который изображен на рис. 4.1, имеет четыре корня. Корни х1 и хэ— простые, хг и х4 — кратные.
Задача отыскания простых корней является существенно более простой (и чаще встречающейся), чем задача отысканин кратных корней. В действительности большинство методов решения уравнения Рис. 4.1 (4.1) ориентировано именно на вычисление простых корней. 2. Уточнение постановки задачи. В конкретной задаче часто интерес представляют не все корни уравнения, а лишь некоторые из них. Тогда постановку задачи уточняют, указывая на то, какие из корней подлежат определению (положительные корни, корни из заданного интервала, максимальный из корней и т.д.).
В подавляющем большинстве случаев представить решение уравнения (4,1) в виде конечной формулы оказывается невозможным. Даже для простейшего алгебраического уравнения и-й степени (4.2) хи+ апчх" '+ ... + а1х+ ао —— О явные формулы, выражающие его корни через коэффициенты с помощью конечного числа арифметических операций и извлачения корней степени не выше и, найдены' лишь при и = 2, 3, 4. Однако уже для Алгебраические уравнения третьей и четвертой степени не поддавались усилиям математиков около 2000 лет, Эту задачу решили итальянские математики эпохи Ренессанса: Сципион дель Ферро (1456 — 1526), Никколо Тарталья (1500 — 1557), Джироламо Кардано (1501 — 1576), Людовико Феррари (1522— 1565).
81 уравнений пятой и более высоких степеней таких формул не существует. Этот замечательный факт, известный как теорема Абеля, был установлен в 30-е годы Х1Х в. Н. Абелем' и Э.Галуа2, Невозможность найти точное решение нелинейного уравнения кажется огорчительной, Однако нужно признать, что желание найти точное числовое значение решения вряд ли следует считать разумным. Во-первых, в реальных исследованиях зависимость у = 7(х) является лишь приближенным описанием, моделирующим истинную связь меж- ду параметрами у и х. Поэтому точное решение х уравнения (4.1) все равно является лишь приближенным значением того параметра х, который в действительности соответствует значению у = О.
Во-вторых, даже если уравнение (4.1) допускает возможность нахождения решения в виде конечной формулы, то результат вычислений по этой формуле почти с неизбежностью содержит вычислительную погрешность и поэтому является приближенным. Пример 4.1. Предположим, что исследование некоторого явления привело к необходимости решить уравнение х~ — 3.3х + 2.7 = О. (4.3) Воспользовавшись формулами (3.2) для корней квадратного уравнения, полу- чим значения х1 = 1.5, х2 — — 1.8. Найдены ли нами точные значения параметра х7 Очевидно, нет. Скорее всего к<хзффициенты уравнения (4.3) известны приближенно и в лучшем случае они представляют округленные значения "истинных" коэффициентов.
В действительности можно лишь утверждать, что х~ й 1.5, х2 ~ 1.8. Предположим теперь, что "истинный" вид уравнения (4.3) таков: х2 — 3.3287х + 2.6631 = О. Тогда точные значения параметра можно вычислить значения хь х~ неизбежно окажутся приближенными. 1 Нильс Хенрик Абель. (1802-1829) — норвежский математик. Теорема, о которой идет речь, была доказана им в возрасте около 22 лет. т Эварист Галуа (1811 — 1832) — французский математик, один из создателей теории групп.
82 по формуле х~ 2 — (3.3287 х /3.32872 — 4 2,6631)/2. Однако она лишь указывает на то, какие операции и в каком порядке следует выполнить. В данном случае точное вычисление по формуле невозможно, так как она содержит операцию извлечения квадратного корня. Вычисленные по ней В дальнейшем мы откажемся от попыток найти точные значения корней уравнения (4.1) и сосредоточим внимание на методах решения более реалистичной задачи приближенного вычисления корней с заданной точностью е.
В данной главе под задачей отыскания решений уравнения (4.1) будем понимать задачу вычисления с заданной точностью е конечного числа подлежащих определению корней этого уравнения. 3. Основные этапы решения. Решение задачи отыскания корней нелинейного уравнения осуществляют в два этапа. Первый этап называется этапом локализации (или отделения) корней, второй — этапом итерационного уточнения корней.
Л о к а л и з а ц и я к о р н е й. Отрезок [а, о], содержащий толь- ко один корень х уравнения (4.1), называют отрезком локализации корня х. Цель этапа локализации считают достигнутой, если для каждого из подлежащих определению корней удалось указать отрезок локализации (его длину стараются по возможности сделать минимальной).
Прежде чем переходить непосредственно к отысканию отрезков локализации, имеет смысл провести предварительное исследование задачи для выяснения того, существуют ли вообще корни уравнения (4.1), сколько их и как они расположены на числовой оси. Способы локализации корней многообразны, и указать универсальный метод не представляется возможным. Иногда отрезок локализации известен либо он определяется из физических соображений. В простых ситуациях хороший результат может давать графический метод (см.
пример 4.2). Широко применяют построение таблиц значений функций ~ вида у, = ~(х;), 1 = 1, 2, ..., и. При этом способе локализации о наличии на отрезке [х; 1, х,] корня судят по перемене знака функции на концах отрезка (см. пример 4.3). Основанием для применения указанного способа служит следующая хорошо известная теорема математического анализа. Т е о р ем а 41.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
