Ветошкин А.Г., Марунин В.И. - Надежность и безопасность технических систем (1094345), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Показатели надежности невосстанавливаемого элементаНевосстанавливаемым называют такой элемент, который после работы до первого отказа заменяют на такой же элемент, так как его восстановление в условиях эксплуатации невозможно. В качестве примеров невосстанавливаемых элементов можноназвать диоды, конденсаторы, триоды, микросхемы, гидроклапаны, пиропатроны и т.п.Пусть время работы невосстанавливаемого элемента представляет собой случайную величину τ. В момент времени t = 0 элемент начинает работать, а в момент t = τпроисходит его отказ, следовательно, τ является временем жизни элемента.
Таким об26разом, τ имеет случайный характер, и в качестве основного показателя надежностиэлемента можно назвать функцию распределения, которая выражается зависимостьювидаF(t) = P(τ<t).(5.1)Функцию F(t) называют также вероятностью отказа элемента до момента t. Если элемент работает в течение времени t непрерывно, то существует непрерывнаяплотность вероятности отказаf (t ) =dF (t ).dt(5.2)Следующим показателем надежности является вероятность безотказной работыза заданное время t или функция надежности, которая является функцией, обратнойфункции распределенияP(t) =1- F(t) = P (τ > t ) .(5.3)Графически функция надежности представляет собой монотонно убывающуюкривую (рис.
5.1; при t=0 P(t =0)=l; при t →∞ P(t =∞)=0).В общем виде вероятность безотказной работы испытуемых элементов конструкций определяется как отношение числа элементов оставшихся исправными в концевремени испытания к начальному числу элементов поставленных на испытание.P(t) = (N - n)/N,(5.4)где N - начальное число испытуемых элементов; п - число отказавших элементов за t;N - п = n0 - число элементов, сохранивших работоспособность.Величина P(t) и вероятность появления отказа F в момент времени t связанысоотношениемP(t) + F(t) = 1,(5.5)откудаF(t) = 1 – P(t)(5.6)или(5.7)F(t) = 1 – n0/N.Производная функции (5.4) по времени имеет видdP(t)/dt = - (1/N) dn/dt.(5.8)Приdt→0,этовыражениеявляетсямгновеннымзначениемплотности распределения времени безотказной работы f(t), т.е.(1/N) dn/dt → f(t) или dP(t)/dt = - f(t)(5.9)Учитывая, что P(t) = n0/N выражение (5.8) можно записать в виде(5.10)dn(t)/dt = - N.dP/dt = dn0(t)/dt.Разделив обе части соотношения (5.8) на n0(t) получим:(5.11)[1/n0(t)].dn(t)/dt = - [N/n0(t)].dP(t)/dt = λ(t),где λ(t) – интенсивность отказов.27Подставляя формулу (5.9) в соотношение (5.11) получаем выражение для мгновенного значения интенсивности отказов(5.12)λ(t) = - [1/P(t)].
dP(t)/dt = f(t)/P(t).Вероятность безотказной работы из выражения (5.12) можно представить в виде- dP(t)/R(t) = λ(t)dt.(5.13)Интегрируя обе части уравнения (5.13) по времени в интервале [0, t], получаемt0R(t)∫λ(t)dt = - ∫[1/P(t)]dP(t).(5.14)1При известных начальных условиях, т.е. при t = 0, когда P(t) = 1, это интегральное уравнение принимает видt- ∫λ(t)dt = ln P(t)(5.15)0Из формулы (5.15) получаем общее выражение для вероятности безотказной работыtP(t) = exp[-∫λ(t)dt)].(5.16)0С помощью данного выражения можно получить формулу для вероятности безотказной работы любого элемента технической системы при любом известном распределении времени наработки на отказ.Важнейшим показателем невосстанавливаемого элемента является среднее время безотказной работы (Т0), которое определяют как математическое ожидание случайной величины∞T0 = M [τ ] = ∫ tf (t )dt.(5.17)0После преобразования:∞∞ ∞∞T0 = ∫ t f (t) dt = - t P(t)│+ ∫ P(t) dt = ∫ P(t) dt.000280(5.18)λλРис.
5.1. Кривая функции надежностиСреднее время безотказной работы и среднюю наработку до отказа можно получить по результатам испытаний. Для этого нужно проводить испытания до тех пор,пока не откажет последний из элементов. Пусть время жизни каждого из элементов соответственно равно τ1, τ2, ... , τ3.
Тогда средняя наработка до отказаT0 =τ1 + τ 2 + ... + τ NN=1 N∑τ i .N i =1(5.19)Так как практически невозможно осуществить испытания всех элементов до отказа, то при большом значении п среднюю наработку до отказа можно определить поформулеT0 ≈τ 1 + τ 2 + ... + τ n + (N − n )tN,(5.20)где n — число отказавших элементов, N — число элементов, поставленных на испытания.Пример 5.1. На испытания поставлено N =100 элементов. Испытания проводились в течение t =100 ч.
В процессе проведения испытаний отказало n = 5 элементов,при этом отказы зафиксированы в следующие моменты: τ1 = 50 ч; τ2 = 80 ч; τ3 = 90ч; τ4 =100 ч; τ5 = 150 ч; остальные элементы не отказали. Определить среднюю наработку доотказа Т0.Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой (5.20)T0 =[(50+80+90+100+150)+(100-5)200]/100 =194,7 ч.Ответ: T0 = 194,7 ч.Если испытаниям подвергают N элементов и τ1, τ2,…τN —время их жизни, тостатистическую дисперсию находят из выраженияN2S = 1/(N – 1) Σ(τi - τ)2(5.21)i=1где τ = (1/N)Στi.29На практике в качестве оценки надежности чаще используют среднее квадратическое отклонение (σ), которое определяют как корень квадратный из дисперсии:σ[τ]= (D[τ])1/2.(5.22)Одной из важнейших характеристик надежности невосстанавливаемого элемента является интенсивность отказов, или опасность отказа, которая определяет надежность элемента в каждый данный момент времени. Интенсивность отказа находятпо формулеλ(t) = f(t)/P(t) = - [dP(t)/dt]/P(t) = - P'(t)/P(t).(5.23)Вероятность безотказной работы в интервале (t1, t2)выражается зависимостьюt2P(t) = exp{- ∫λ(t) dt}(5.24)t1Функция λ(t) может быть определена по результатам испытаний.
Предположим,что испытаниям подвергают N элементов. Пусть n(t) — число элементов, не отказавшихк моменту t. Тогда при достаточно малом Δt и достаточно большом N получимλ(t) = Δn/[Δt n(t)],(5.25)где Δn — число отказов на участке Δt.Статистическая интенсивность отказов λ(t) равна отношению числа отказов,происшедших в единицу времени, к общему числу неотказавших элементов к этомумоменту времени.Многочисленные опытные данные показывают, что для многих элементовфункция λ(t) имеет корытообразный вид (рис.
5.2).Рис. 5.2. Кривая интенсивности отказов во времениАнализ графика показывает, что время испытания можно условно разбить на трипериода. В первом из них функция λ(t) имеет повышенные значения. Это период приработки или период ранних отказов для скрытых дефектов. Второй период называют30периодом нормальной работы. Для этого периода характерна постоянная интенсивность отказов. Последний, третий период — это период старения. Так как период нормальной работы является основным, то в расчетах надежности принимается λ(t) = λ =const.
В этом случае при экспоненциальном законе распределения функция надежностиимеет вид:Р(t) = exp(- λ t).(5.26)Среднее время жизни соответственно равно:∞T0 = ∫ exp(-λ t) dt = 1/λ.(5.27)0Поэтому функцию надежности можно записать и так:Р(t) = еxp(-t/T0).(5.28)Если время работы элемента мало по сравнению со средним временем жизни, томожно использовать приближенную формулуР(t) ≈ 1 – t/T0.(5.29)Пример 5.2. По данным эксплуатации генератора установлено, что наработка доотказа подчиняется экспоненциальному закону с параметром λ = 2.10-5 1/час.Найти вероятность безотказной работы за время t = 100 часов. Определить математическое ожидание наработки до отказа.Решение.Определим вероятность безотказной работы по формуле (5.26):P(t) = e- λ t = exp(-2.10-5.100) = 0,998.Математическое ожидание наработки до отказа определяем по формуле (5.27):M0 = 1/λ = 1/(2.10-5) = 5.104 ч.Ответ: P(t) = 0,998; M0 = 5.104 ч.Пример 5.3.
Построить кривую интенсивности отказов по даннымтабл. 5.1.На испытания поставлено N элементов (N = 200), испытания проводились в течение t= 100 ч.Таблица 5.1.Результаты испытаний элемента (к примеру 5.3.)№п/пΔt, чΔnn(t)№п/пΔt, чΔnn(t)123450-1010-2020-3030-4040-5010864219018217617217067891050-6060-7070-8080-9090-1002245816816616215714931Обозначения: Δt — интервал испытаний; Δn — число отказов; n(t) — число неотказавших элементов.Для построения кривой (рис.5.3.) вычислим интенсивность отказов λ(ti) ч-1 поформуле (5.25):λ(t1) = 10/(10.190) = 0,0052;λ(t2) = 8/(10.182) = 0,0044;λ(t3) = 6/(10.176) = 0,0034;λ(t4) = 4/(10.172) = 0,0023;λ(t5) = 2/(10.170) = 0,0011;λ(t6) = 2/(10.168) = 0,0011;λ(t7) = 2/(10.166) = 0,0012;λ(t8) = 4/(10.162) = 0,0024;λ(t9) = 5/(10.157) = 0,0032;λ(t10) = 8/(10.149) = 0,0053.λ(t)10-3, ч-1t, чРис.
5.3. Кривая интенсивности отказов во времени5.2. Показатели надежности восстанавливаемого элементаБольшинство сложных технических систем с длительными сроками службы являются восстанавливаемыми, т.е. возникающие в процессе эксплуатации отказы системустраняют при ремонте. Технически исправное состояние изделий в процессе эксплуатации поддерживают проведением профилактических и восстановительных работ.Для осуществляемых в процессе эксплуатации изделий работ по поддержанию ивосстановлению их работоспособности характерны значительные затраты труда, материальных средств и времени. Как правило, эти затраты за время эксплуатации изделиязначительно превышают соответствующие затраты на его изготовление.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
