Буренин А.Н. - Фьючерсные, форвардные и опционные рынки (1094318), страница 6
Текст из файла (страница 6)
е -0,8×0,25 + e -0,1×0,5 = 9,66 руб.Другими словами, вкладчик может не покупать акцию, чтобыполучить дивиденды, а инвестировать сегодня 9,66 руб. на три ишесть месяцев под 8% и 10% соответственно. В этом случае онполучит доход, эквивалентный сумме дивидендов.При первой стратегии к концу шестимесячного периода инвестор будет располагать акцией. По второму варианту инвесторбудет располагать акцией к этому моменту времени, если сегоднякупит форвардный контракт по некоторой цене f. Таким образом,25чтобы через шесть месяцев располагать акцией и дивидендами, попервой стратегии инвестор должен заплатить сегодня 50 руб. Чтобы через шесть месяцев располагать акцией и доходами, эквивалентными двум дивидендам по второй стратегии, вкладчик долженинвестировать приведенную стоимость цены поставки, то есть38,05 руб., приведенную стоимость будущих дивидендов, то есть9,66 руб., и заплатить за контракт цену f.
Сумма инвестиций дляобоих вариантов должна быть одинаковой, иначе возникает возможность совершить арбитражную операцию, то есть50 руб. = 38,05 руб. + 9,66 руб + fОтсюдаf = 2,29 руб.Если цена контракта будет больше 2,29 руб., то арбитражерпродаст контракт и купит акцию. Если цена контракта меньше 2,29руб., то он продаст акцию и купит контракт.Запишем полученный выше результат в общем виде:5S = Ke r1T + Div e r1T + e r2 (T −t ) + fгде Г= 6 месяцев, t = 3 месяца.В момент заключения контракта f=0 и K=F, поэтому для этогомоментаS = Fe-r1T + Div [e-r2 (T - t)]Подставив значение S в формулу (5), получим:f = (R − K )e− r1T(6)Мы пришли к тому же выводу, который сделали при рассмотрении первого примера, а именно: цена форвардного контракта равна приведенной стоимости разности текущей форвардной цены ицены поставки.
Для нашего примера она равна:f = (42,41 руб. - 40 руб.)e -0,1×0,5 = 2,29 руб.Приведем теперь более строгое доказательство полученноговыше результата. Допустим, имеется два портфеля А и Б. В портфель А входит длинный форвардный контракт на приобретениеакции, выплачивающей дивиденд, сумма денег, равная приведенной стоимости цены поставки Ке-FT, которая инвестируется напериод Т под процент r, и сумма денег, равная приведенной стоимости дивиденда Div e-rT , которая также инвестируется под процент r на период времени t (t<=T и представляет собой момент26выплаты дивиденда на акцию). В портфель Б входит одна акция.
Кконцу периода Т портфель А будет состоять из акции и суммыденег, равной дивиденду. За этот период времени величина Ке-rТпревратилась в К и была использована на приобретение акции, асумма Div e-rT стала равна величине дивиденда.Портфель Б также будет состоять из акции и выплаченного нанее дивиденда Div. Поскольку стоимости двух портфелей равны кконцу периода Г, то в начале этого периода они также должны бытьравны, чтобы исключить возможность арбитражной операции.Поэтому можно записать, чтоf + Ke − rT + Div − rT = Sилиf = S − K e − rT − Div e − rt(7)S = F e − rT + Div e − rt(8)Посколькуто, подставляя из формулы (8) значение SB формулу (7), получаем:f = (F − K ) e -rTв) Форвардная цена и цена форвардного контракта на акции,для которых известна ставка дивидендаВ расчетах инвестор может пользоваться не только значениемабсолютной величины выплачиваемого на акции дивиденда, нотакже и таким показателем, как ставка дивиденда, которая представляет собой отношение дивиденда к цене акции.
В соответствиис принятым выше порядком мы рассматриваем в наших примерахставку дивиденда как непрерывно начисляемую. С теоретическойточки зрения это означает, что дивиденд начисляется и постояннореинвестируется на очень короткие промежутки времени.
Еслиинвестор имеет данные о ставке дивиденда в расчете на год, то поформуле (1) он легко может пересчитать его в непрерывно начисляемый дивиденд.Значение ставки дивиденда может меняться в течение периодадействия форвардного контракта, поэтому для такого случая врасчетах следует использовать среднюю ставку дивиденда. Значение ставки дивиденда обозначим через q.Предположим, имеется акция, курс спот которой составляет 50руб., через три месяца на нее выплачивается дивиденд, непрерывно начисляемая ставка которого равна 8%, ставка без риска 10%.27Необходимо определить форвардную цену, если контракт заключается на три месяца, выплата дивиденда происходит до поставкиакции по контракту. Как и в предыдущих примерах, инвесторимеет две альтернативы.
I. Купить акцию сегодня и получить нанее через три месяца дивиденд. II. Заключить сегодня форвардныйконтракт на приобретение акции через три месяца, инвестироватьна этот период под ставку без риска дисконтированную стоимостьфорвардной цены и дисконтированную стоимость суммы, эквивалентную величине дивиденда, выплачиваемого на акции. Согласно первой стратегии в начале трехмесячного периодаинвестируется 50 руб. В соответствии со второй стратегией инвестируется сумма, равная:Fe-0,1×0,25+(50e 0.08×0.25-50)e -0,08ч0,25 руб.илиFe-0,1×0,25 +50(1-e-0,08×0,25)руб.Суммы, инвестируемые в обоих случаях, должны быть равны,иначе возникнет возможность совершить арбитражную операцию,поэтому50 руб.
= Fe -0.l×0.25 + 50 (1 - e-0.08×0.25) руб.F= 50,25 руб.Таким образом, если форвардная цена будет больше 50,25 руб.,то инвестор продаст контракт и купит акцию. Если форварднаяцена меньше 50,25 руб., то инвестор продаст акцию и купит контракт. Запишем наши рассуждения в общей форме и выведем формулу для определения форвардной цены. В соответствии с первойстратегией вкладчик инвестирует цену спот акции, то есть S. Согласно второй стратегии инвестируется величинаFe-rT + S-Se-qTОбе величины должны быть равны, то естьS = Fe-rT + S-Se-qTОткудаFe-rT = Se-qTили28F=Se(r-q)T(9)Предположим теперь, что через некоторое время после его заключения контракт продается на вторичном рынке.
Поскольку нарынке возникла уже новая форвардная цена, то для реализациивторой стратегии инвестор должен заплатить за контракт некоторую сумму f. В итоге должно соблюдаться равенство:S = Ke-rt + S-Se-qt+fгде t — время от момента покупки до истечения контракта.Отсюдаf=Se-qt-Ke-rt(10)Как мы определили, форвардная цена для момента t равна:F=Se(r-q)t(11)Подставив значение S из формулы (11) в формулу (10), получаемf=Fe-(r-q)te-qt-Ke-rtилиf=(F-K)e-rt (12)Вернемся теперь к нашему примеру и определим стоимостьфорвардного контракта, если он продается за два месяца до егоистечения, и цена спот акции в этот момент равна 52 руб. В соответствии с формулой получаем:52 руб.
е-0.08×0.1667 -50,25 руб. е-0.1×0.1667 = 1,89 руб.Приведем теперь более строгое доказательство определенияфорвардной цены и цены форвардного контракта. Предположим,имеется два портфеля. В портфель А входит длинный форвардныйконтракт на акцию, непрерывно начисляемая ставка дивидендакоторой равна q, и сумма дисконтированной стоимости цены поставки Ке-rT . В портфель Б входит акция на сумму Se-qT .По завершении периода T портфель А будет состоять из однойакции, так как сумма К используется для ее приобретения пофорвардному контракту. Портфель Б также состоит из одной акции, посколькуSe-qTeqT=S29В конце периода Г стоимость портфелей равна, следовательно,равна она и в начале периода Т. Отсюдаf+Ke-rT=Se-qTПоэтомуf=Se-qT-Ke-rT(13)В момент заключения контракта цена его равна нулю, а ценапоставки равна форвардной цене, поэтому можно записать, чтоFe-rT=Se-qTилиF=Se(r-q)T(14)Произведем подстановку значения S из формулы (14) в формулу(13) и получимf=(F-K)e-rT(15)г) Форвардная ценаи цена форвардного контракта на валютуФорвардный контракт на валюту можно рассматривать какконтракт на акцию, для которой известна ставка непрерывно начисляемою дивиденда.
В качестве данной ставки принимаетсяставка без риска, которая существует в стране этой валюты, поскольку вкладчик может получить на нее доход, инвестировав своисредства под процент без риска. Поэтому для определения форвардной цены мы можем воспользоваться формулой (9), скорректировав ее следующим образом:F=Se(r-rf)T(16)где S — цена спот единицы иностранной валюты (валюта, которую покупают), выраженная в национальной валюте (валюта,которую продают);r — непрерывно начисляемая ставка без риска для национальной валюты;rf — непрерывно начисляемая ставка без риска для иностраннойвалюты.Цена форвардного контракта соответственно равна:f= Se-rfT-Ke-rT30(17)Приведенные формулы можно доказать следующим образом.Инвестор имеет две альтернативы.
I. Купить иностранную валютуна сумму S национальной валюты сегодня. В этом случае в течениепоследующего периода T он имеет возможность получить на неепроцент, равны rf. II. Купить форвардный контракт на приобретение иностранной валюты в будущем. Чтобы располагать к концупериода T точно таким же финансовым результатом, как и в первомслучае, ему сегодня необходимо инвестировать приведенную стоимость форвардной цены и приведенную стоимость той суммыпроцентов, которая будет эквивалентна доходу на иностраннуювалюту по первой стратегии, то естьFe-rT+(Se-qT-S) e-rjTПоэтому средства, которые инвестируются в первом и второмслучаях в начале периода Г, должны быть равны, то естьS = Fe-rT + (S erjT-S) e-rjT(18)-rjTили Fe – rT = S eили F = S e(r-rj)TЕсли форвардный контракт покупается на вторичном рынке, тов правую часть уравнения (18) необходимо подставить стоимостьфорвардного контракта f В итоге получаем:f = S e-rjT - K e-rTПриведем более строгое доказательство для предложенных формул.
Допустим, имеется два портфеля. В портфель А входит одиндлинный форвардный контракт на приобретение единицы иностранной валюты и сумма денег, равная приведенной стоимостицены поставки Ке-rT . Портфель Б содержит дисконтированнуюстоимость единицы иностранной валюты Se-rfT.По завершении периода T портфель А состоит из единицы иностранной валюты, поскольку сумма K национальной валюты былаобменена на единицу иностранной валюты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
