Буренин А.Н. - Фьючерсные, форвардные и опционные рынки (1094318), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Например, эмитируется дисконтная облигация на 1 год сдоходностью 10%. Это означает, что ставка процента спот на одингод равна 10%. Выпускается облигация на 2 года с доходностью11%. Это означает, что спотовая процентная ставка на два годаравна 11% и т.д. График, который отражает зависимость междусуществующими спотовыми ставками и временем до погашенияоблигации, называется кривой доходности спот. Для построениякривой берутся значения доходности реально обращающихся нарынке облигаций с нулевым купоном.Располагая данными о ставках спот за п периодов начисленияпроцента и цене купонной облигации за п +1 период, можнорассчитать теоретическую ставку спот для п + 1 периодов.Пример.
Ставка спот на один год составляет 10%, на два — 11%,купонная облигация, до погашения которой остается три года,продается по цене 916 руб., номинал облигации 1000 руб., купон— 8% и выплачивается один раз в год. Необходимо определитьтеоретическую ставку спот для трех лет.Как было отмечено выше, доходность купонной облигации ипакета дисконтных облигаций должны быть равны, чтобы исключить возможность арбитражных операций. Поэтому должно выполняться следующее равенство:80801080++= 9161 + 0,1 (1 + 0,1)2 (1 + r )3где r — теоретическая ставка спот для трех лет.38Решая уравнение, получаем, что r= 11,5%.
Аналогичным образом определяется теоретическая ставка спот для каждого следующего периода. Запишем использованное уравнение в общем виде:CCCC+H++++=P−2n11 + r1 (1 + r2 )(1 + rn −1 )(1 + rn )n(24)где С — купон облигации, до погашения которой осталось nпериодов;Р — цена купонной облигации;H — номинал купонной облигации;r1 r2, ...,RN-1 — известные ставки спот для соответствующих периодов;rn — ставка спот, величину которой требуется рассчитать.Форвардная процентная ставка — это ставка для периода времени в будущем, которая определяется ставкой спот.Пример.
Ставка спот на один год составляет 10%, на два — 11%.Определить форвардную ставку для второго года (то есть ставкуспот, которая будет на рынке через год для облигации с нулевымкупоном, выпущенной на год).Допустим, вкладчик покупает облигацию с нулевым купоном,выпущенную на два года, которая будет погашена по цене 1000 руб.Тогда в начале двухлетнего периода он инвестирует сумму, равную1000 : (1,11)2 = 811,62 руб.Инвестор может выбрать иную стратегию, а именно, купитьоблигацию сроком на один год и далее реинвестировать полученные от погашения облигации средства еще на один год.
Ему безразлично, какую стратегию выбрать, если во втором случае онтакже получит через два года 1000 руб., инвестировав сегодня811,62 руб. Чтобы ответить на вопрос, под какой процент емуследует реинвестировать средства на второй год, составим следующее уравнение:1000 = 811,62 (1 + 0,1) (1 +re),где re — форвардная ставка через год.Решая уравнение, получаем re = 12%.Запишем уравнение несколько иначе. Поскольку начальнаясумма инвестиций и итоговая сумма, которую вкладчик получитчерез два года, равны, то должно выполняться равенство391000или(1 + 0,11)2rв ==(1,11)21,11000(1 + 0,1)(1 + rв )−1Запишем уравнение определения форвардной ставки в общейформеrв =(1 + rn )2 1−(1 + rn −1 )n −1(25)где rв — форвардная ставка для периода п-(п-1);rп — ставка спот для периода n;rп-1 — ставка спот для периода п-1.Выведем формулу определения форвардной ставки для непрерывно начисляемого процента.
Рассмотрим технику на примереданных предыдущей задачи.Непрерывно начисляемый процент для первого года равен:ln (1 + 0,1) = 0,0953 или 9,53%Непрерывно начисляемый процент для второго года равен:ln (1 + 0,1) = 0,10436 или 10,436%10001000=0,1044⋅20,0953 rвee⋅e0,1044⋅2ee rв == 1,12e0.0953ln e rв = ln 1,12 ;rв = 11,35%Для проверки переведем полученный результат в простой процентe 0,1135 − 1 = 0,12 или 12%Запишем решение в общей формеe rn ⋅ne rв =e rn −1 ⋅(n −1)e rn ⋅nrв = lne rn −1 ⋅(n −1)40rв = rп ⋅ n − rп-1 (n − 1)(26)Формула (26) позволяет определить форвардную ставку, если nравно целым числам.
Модифицируем ее для периода времени t,который равен некоторому отрезку в рамках года, при этом: t2 > t1,r2 — ставка спот для периода t2,r1 — ставка спот для периода t1.rв t 2-t1 = lntr2 2e 365tr1 1e 365t2t− r1 1365365Поскольку полученный результат составляет форвардную ставку для периода t2 - t1, то в расчете на год она равна1(r2 t 2 − r1t1 ) 365rв t 2-t1 =365t 2 − t1r t −r trв t 2-t1 = 2 2 1 1(27)t 2 − t1Пример.
Непрерывно начисляемая ставка спот на 270 дней составляет 9%, для 210 дней 8,75%. Определить форвардную ставкудля двух месяцев на период времени через семь месяцев.0,09 ⋅ 270 − 0,0875 ⋅ 210rв == 0,09875 или 9,875%60Между доходностью купонной облигации, дисконтной облигации и форвардной ставкой существуют соотношения, которыенаглядно представлены на рис.
5 и 6.rв t 2-t1 = r2Рис. 5Рис. 641§ 5. ТЕОРИИ ВРЕМЕННОЙ СТРУКТУРЫПРОЦЕНТНЫХ СТАВОКСуществуют три наиболее признанных теории, которые объясняют форму кривой временной структуры процентных ставок, аименно, теория чистых ожиданий, теория премии за ликвидность(теория предпочтения ликвидности) и теория сегментации рынка.а) Теория чистых ожиданийТеория чистых ожиданий и теория предпочтения ликвидностив качестве своего главного элемента рассматривают форвардныеставки. В соответствии с теорией чистых ожиданий сегодняшняяфорвардная ставка в среднем равна ожидаемой будущей ставкеспот для того же периода, то есть для периода, для которого рассчитана форвардная ставка.
Теория полагает, что на рынке присутствует большое число инвесторов, которые стремятся получитьнаибольший уровень доходности и не имеют предпочтений относительно выбора облигаций с каким-то определенным временемдо погашения в рамках некоторого инвестиционного горизонта.Поэтому рост доходности облигации с каким-либо сроком до погашения по сравнению с другими облигациями привлечет к нимвнимание инвесторов. В результате активной покупки данных облигаций цена их возрастет и, следовательно, понизится доходность. Поскольку вкладчики одновременно будут продавать другиеоблигации, чтобы купить более доходные, то цена их упадет, адоходность возрастет.
В результате таких действий через некотороевремя на рынке установится равновесие, и инвестор будет безразличен, какую облигацию купить, поскольку любая стратегия втакой ситуации принесет ему одинаковую доходность. Если вновьпроизойдет отклонение в доходности бумаг от состояния равновесия, то вновь начнется активная торговля и через некоторое времяравновесие восстановится. Таким образом, в соответствии с теорией чистых ожиданий на рынке устанавливается положение равновесия относительно дохода, который может получить инвестор,преследуя ту или иную стратегию.
Чтобы такая ситуация действительно имела место, форвардная ставка должна быть равна ожидаемой будущей ставке спот. Проиллюстрируем сказанное напримере. Допустим, инвестиционный горизонт вкладчика составляет 4 года. Ставка спот для четырехлетней облигации равна 10%.Купив данную облигацию, вкладчик обеспечит себе доходность израсчета 10% годовых. Одновременно он имеет другие альтернативы: а) последовательно купить в течение четырех лет четыре годич42ных облигации; б) две двухгодичные облигации; в) одну трехгодичную и одну одногодичную облигации. Все перечисленные стратегии должны принести инвестору одинаковую доходность, впротивном случае он предпочтет более доходную менее доходной.Допустим, инвестор решил купить последовательно две двухгодичные облигации.
Ставка спот такой облигации равна 9%. Чтобы оноказался безразличным между выбором отмеченной стратегии иличетырехгодичной бумаги, должно выполняться равенство:1,14 = 1.092 (1 + rв)2где rв — форвардная ставкаrв =1,141,09 2− 1 = 0,1101 или 11,01 %Доходность инвестора в расчете на год за весь четырехлетнийпериод составит4 1,09 2⋅ 1,11012 − 1 = 0,1 или 10 %Таким образом, чтобы вкладчик был безразличен к выбору тойили иной стратегии, форвардные ставки должны равняться будущим ставкам спот для того же периода времени. Каким образомданная теория объясняет форму кривой доходности? Если криваяподнимается вверх, то это говорит о том, что по мере движениявперед во времени форвардные ставки возрастают, а это в своюочередь означает ожидание роста в будущем процентных ставок пократкосрочным бумагам.
Если кривая имеет наклон вниз, то форвардные ставки падают по мере движения в будущее. Это говорито том, что инвесторы ожидают в будущем падения ставок по краткосрочным бумагам. Если кривая доходности идет параллельнооси абсцисс, то это означает равенство форвардных ставок и текущих ставок спот по краткосрочным бумагам.
В этом случае вкладчики ожидают, что ставки по краткосрочным бумагам в будущемне изменятся.б) Теория предпочтения ликвидностиДанная теория полагает, что инвесторы не безразличны к срокам до погашения облигаций, как это наблюдается в теории чистыхожиданий, а предпочитают краткосрочные бумаги долгосрочным,поскольку они несут меньше риска. Краткосрочные облигацииявляются более привлекательными для вкладчиков, поэтому они43готовы платить за них дополнительную сумму денег, которая называется премией за ликвидность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
