Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения (1092384), страница 21
Текст из файла (страница 21)
, n (определитель Вронского стоотносительноdxит в левом верхнем углу и получается вычеркиванием первогостолбца и последней строки).Единственность следует из того, что все решения системы(11.11) определяются ее фундаментальной системой (теорема11.5 Линейные неоднородные системы163(11.6)), так как задание всех интегральных кривых системы(11.11) полностью определяет соответствующее поле направлений и, значит, однозначно задает правые части системы.11.5. Линейные неоднородные системыРассмотрим неоднородную системуdy= A(x)y + f(x).(11.17)dxТеорема 11.10. Общее решение линейной неоднородной системы равно сумме общего решения соответствующей линейной однородной системы и частного решения неоднородной.Доказательство. (x)— общее решение соответствующей однороднойПусть Yсистемы (11.11), и y (x) — некоторое частное решение неоднородной системы (11.17).
Рассмотрим функцию Y (x) + y (x).1. Проверим, что эта функция является решением, для этогоподставим ее в уравнение (11.17). Получим:dY (x) dy (x)d (Y (x) + y (x)) =+=dxdxdx= A(x)Y (x) + A(x)y (x) + f(x) = A(x)(Y (x) + y(x)) + f(x).2. Проверим, что произвольное решение содержится в рассматриваемой сумме. Пусть дано y (x) — произвольное решение неоднородной системы. Покажем, что оно содержится вY (x) + y (x).
Рассмотрим вектор-функциюyˆ(x) = y (x) − y (x).Подставив ее в уравнение (11.17), получимdyˆ(x) d y (x) dy (x)=−= A(x) y (x) + f(x) − A(x)y (x) − f(x) =dxdxdx= A(x)( y (x) − y (x)) = A(x) y (x).16411Системы обыкновенных дифференциальных уравненийОтсюда получаем, что yˆ(x) является решением однородногоуравнения, т.е. оно содержится в его общем решении и значит y (x) = yˆ(x) +y (x) содержится в общем решении неоднородногоуравнения.Теорема 11.11.
Если известна фундаментальная системарешений однородной системы, то частное решение неоднородной системы можно получить квадратурами.Доказательство.Пусть общее решение однородного уравнения имеет видnCiyi (x),Y (x) =i=1где {yi (x)}ni=1 — фундаментальная система решений однородной линейной системы (11.11).Ищем частное решение в виде:nCi (x)yi (x).y (x) =i=1Подставим его в уравнение (11.17).
Получим:nnn(x)dyiCi (x)yi (x) +Ci (x)Ci (x)A(x)yi (x) + f(x).=dxi=1i=1i=1Второе слагаемое слева и первое слагаемое справа равныdyi (x)= A(x)yi (x) (решение однородногомежду собой, так какdxуравнения), и их можно сократить. Таким образом, для Ci (x)получена линейная система уравненийnCi (x)yi (x) = f(x),i=1матрица коэффициентов которой образована решениями y1 (x),. . . , yn (x).
Эту систему можно разрешить относительно вектора11.6 Формула Коши для неоднородной системы165 (x), составленного из компонент C (x):Ci = B −1 (x)f(x) ≡ Ψ(x),Cпоскольку ее определитель равен W (x) для системы решенийy1 (x), . . . , yn (x), а эта система — фундаментальная по условиютеоремы, следовательно W (x) = 0. Поэтому для матрицы коэффициентов существует обратная матрица B −1 (x) иCi (x) = Ψi (x)dx,Теорема доказана.где Ψi (x) — компоненты вектора Ψ(x).11.6. Формула Коши для неоднороднойсистемыРассмотрим неоднородную линейную систему (11.17) и соответствующую однородную систему (11.11).
Для этой системы возьмем нормальную фундаментальную систему решенийy1 (x), . . . , yn (x), т.е. такую систему решений однородного уравнения, для которой начальные условия имеют вид (11.13), так(i)что yj (x0 ) = δij , где δij – символ Кронекера, т.е. для yi (x)|x=x0все компоненты равны нулю, кроме единицы в i−той строке.Построим матрицу-функцию Коши K(x, S) для однороднойсистемы (11.11).Для этого строим систему функций y1 (x, S), . .
. , yn (x, S), такую что yi (x, S) по x является решением однородной системы,а S — некоторый параметр, причем(k)yi (S, S) = δikи выполнены условияdyi= A(x)yidx(yi является решением однородной системы).16612Системы обыкновенных дифференциальных уравненийИз полученной системы функций составим матрицуK(x, S) = (y1 (x, S), .
. . , yn (x, S)),которая обладает свойством K(S, S) = E.Функция K(x, S) удовлетворяет следующему (однородному)матричному уравнению:dK(x, S) = A(x)K(x, S).dxТогда решение неоднородной системы (11.17) имеет видxK(x, S)f(S)dSy(x) = K(x, x0 )y (x0 ) +(11.18)x0где x0 — некоторая начальная точка. Эта формула называетсяформулой Коши.Проверим, что (11.18) действительно является решениемнеоднородной системы (11.17).(1) Очевидно, что первое слагаемое — общее решение однородной системы (11.11).(2) Рассмотрим второе слагаемое. Пользуясь формулой дляпроизводной по переменному верхнему пределу, найдемxx ddK(x, S) f(S)dS =K(x, S)f(S)dS = K(x, x)f(x)+dxdxx0x0x= f(x)+x0xA(x)K(x, S)f(S)dS = f(x)+A(x)K(x, S)f(S)dS,x0то есть второе слагаемое в формуле (11.18) является частнымрешением неоднородной системы и, следовательно, формула(11.18) дает общее решение неоднородной системы, что и требовалось доказать.12.1 Преобразование системы уравнений16712.
Линейные системы с постояннымикоэффициентами12.1. Преобразование системы уравненийРассмотрим вначале линейные однородные системы с постоянными коэффициентами, а затем неоднородные системы. Вэтом и последующем параграфах будем обозначать векторныевеличины полужирным шрифтом, то есть вместо обозначенияy (x) будем использовать обозначение y(x).Запишем линейную однородную систему в видеdy= Ay,dxи соответствующую неоднородную системуdy= Ay + f (x),dx(12.1)(12.2)где матрица A образована постоянными коэффициентами aij .Основная идея решения систем (12.1) или (12.2) состоит втом, чтобы с помощью линейного преобразования искомого вектора привести эту систему к наиболее простому виду.Линейное преобразованиеzi =nKij yj ,i = 1, 2, . . . , n,(12.3)j=1можно коротко записать в виде z = Ky, где K — квадратная невырожденная матрица преобразования, detK = 0 иy = K −1 z.После подстановки в (12.2) получимK −1dz= AK −1 z + f (x).dx16812Линейные системы с постоянными коэффициентамиУмножим это уравнение слева на K.
Получимdz= KAK −1 z + Kf (x).dxили в других обозначенияхdz= Bz + g(x),dx(12.4)гдеB = KAK −1 ;g = Kf .(12.5)Система (12.4) имеет тот же вид, что и (12.2), однако матрица коэффициентов B изменилась по формуле (12.5). Естественно попытаться подобрать матрицу преобразования K так,чтобы B приобрела наиболее простой вид.В курсе линейной алгебры доказывается, что матрице B всегда можно придать так называемую жорданову нормальнуюформу: вдоль диагонали стоят жордановы клетки Π1 , Π2 , .
. . , Πk ,1 k n, а остальные элементы равны нулю:Π10Π2,B=...0Πkгде0λj 1 0 0 λj 1λjΠj = илиΠj = λ j .... 1 0λjЗдесь в жордановой клетке Πj на главной диагонали стоит один из корней характеристического (векового) уравненияматрицы A:det(A − λE) = 0.(12.6)12.2 Интегрирование однородной системы в жордановой форме169В жордановой клетке Πj на соседней (сверху) диагонали стоят единицы, а все остальные элементы — нули, причем nj (порядок Πj ) равно степени элементарного делителя (λ − λj )nj ,отвечающего корню λj (значение nj вообще говоря не равнократности корня λj в уравнении (12.6)): одному и тому же корню может отвечать несколько элементарных делителей, тогда вжордановой форме будет несколько клеток, у которых на главной диагонали стоит один и тот же элемент.Величины λj называются собственными значениями матрицы A, тогда ее собственные векторы ej определяются уравнениямиAej = λj ej .Однородная система (12.1), у которой матрица коэффициентов жорданова, называется системой в жордановой форме.12.2.
Интегрирование однородной системы вжордановой формеВначале рассмотрим наиболее простой случай:1) Все собственные значения матрицы A вещественны иразличны.Пусть λ1 , . . . , λn — собственные значения, и e1 , . . . , en — собственные векторы матрицы A в системе (12.1), которую перепишем в покомпонентном виде:ndyi aij yj , i = 1, .
. . , n.(12.7)=dxj=1Ищем решение системы (12.7) в виде:α1 eλx α2 eλx y(x) = ... ,αn eλxгде αi — неизвестные постоянные.17012Линейные системы с постоянными коэффициентамиПодставим это соотношение в уравнение (12.7). Получим:λxαi λe=naij αi eλx ,i = 1, . . . , n.j=1После сокращения на eλx получим:α1α1α1⇔(A − λE) . . . = 0.λ ... = A ... αnαnαnДля того, чтобы существовало ненулевое решение этой системы(α1 , .
. . , αn )T = 0,необходимо и достаточно, чтобы |A − λE| = 0, то есть λ должно быть собственным значением матрицы A, например λi , тогда(α1 , . . . , αn )T — собственный вектор матрицы A. Обозначим егоei . Здесь и далее верхний индекс T обозначает транспонирование.Таким образом имеем n решений:yi (x) = ei eλi x ,i = 1, 2, . . . , n.(12.8)Докажем, что система решений (12.8) — фундаментальная.Для этого доказываем линейную независимость найденных решений.Доказательство от противного.
Пусть существуют поnCi yi (x) ≡ 0.стоянные {Ci } (не все Ci = 0), такие чтоi=1Положим в этом тождестве x = 0, тогдаni=1Ci ei = 0. Сле-довательно, собственные векторы e1 , . . . , en линейно зависимы.Но они не могут быть линейно зависимыми, так как являются собственными векторами матрицы A, соответствующимиразличным собственным значениям.12.2 Интегрирование однородной системы в жордановой форме171Это можно доказать по индукции.Для k = 1 (один собственный вектор) утверждение о линейной независимости очевидно.Пусть утверждение о линейной независимости верно для(k − 1)-го векторов.
Докажем его для k векторов.Предположим противное, а именно что существуют постоянные {Ci } (не все Ci = 0), такие чтоC1 e1 + · · · + Ck ek = 0(12.9)Умножим (12.9) на A и воспользуемся тем, что Aei = λi ei ,получим:(12.10)C1 λ1 e1 + · · · + Ck λk ek = 0.С другой стороны, умножая (12.9) на λk , получим:λk (C1 e1 + · · · + Ck ek ) = 0.(12.11)Вычтем из соотношения (12.10) соотношение (12.11):C1 (λ1 − λk )e1 + · · · + Ck−1 (λk−1 − λk )ek−1 = 0.Тогда C1 = · · · = Ck−1 = 0 (так как e1 , . .
. , ek−1 — линейно независимы по предположению индукции). СледовательноCk ek = 0, откуда Ck = 0, значит все значения Ci = 0 равнынулю. Получили противоречие, которое доказывает исходноеутверждение.Таким образом, если все корни характеристического уравнения различны, то решения вида (12.8) линейно независимыи образуют фундаментальную систему.2) Рассмотрим случай произвольных собственных значений λ1 , . .
. , λn (кратных и (или) комплексных).Итак, как было указано выше, сделаем замену y = Kz, такую что detK = 0, тогдаdzdz= AKz ⇒= K −1 AKz,dxdxи B = K −1 AK может быть приведена к жордановой форме.K17212Линейные системы с постоянными коэффициентамиОпределение. Матрицы A и B называются подобными, если существует невырожденная матрица K, detK = 0, такая,что K −1 AK = B,Жорданову матрицу обозначим J.В курсе линейной алгебры доказывается, что существуетматрица K такая, что K −1 AK = J. В результате заменыy = Kz получим уравнениеdz= Jz,dx(12.12)гдеJ =λ1 1 0 00 λ1 1 00 0 λ1 0λ20001λ200000λ30...............000000...λpили в более краткой формеJ1 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
