Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения (1092384), страница 20
Текст из файла (страница 20)
. ; . . . ; yn = . . . ; yn+1 = . . . .(1)(n)(n+1)ynynyn11.4. Свойства линейных однородных систем.В случае однородной системы имеем f(x) ≡ 0 и система(11.10) запишется в виде:dy= A(x)y .(11.11)dxДля однородной системы (11.11) справедливы следующиетеоремы:Теорема 11.2.
Если y1 (x) и y2 (x) — решения однороднойсистемы, то их сумма y1 (x) + y2 (x) также является решением.Теорема 11.3. Если λ = const, а y1 (x) — решение однородной системы, то λy1 (x) также является решением.Эти две теоремы доказываются подстановкой соответствующих выражений в систему (11.11), как это делалось для линейного однородного уравнения. Из теорем (11.2) и (11.3) следует,что множество решений образует линейное пространство.Теорема 11.4. Множество из (n+1) решений линейной однородной системы линейно зависимо, то есть если y1 (x), . .
.,yn+1 (x) — решения системы (11.11), то существуют постоянные C1 , . . . , Cn+1 , причем среди них имеются Ci = 0, такиечто для любого x ∈ (a, b) справедливо тождествоC1y1 (x) + C2y2 (x) + . . . + Cn+1yn+1 (x) ≡ 0.11.4 Свойства линейных однородных систем157Доказательство. Возьмем произвольную точку x0 на отрезке [a, b] и составим следующую систему линейных алгебраических уравнений:(1)(2)(n+1)y(x)+Cy(x)+...+Cy(x0 ) = 0,C1020n+1111(1)(2)(n+1)(x0 ) = 0, (11.12)C1 y2 (x0 ) + C2 y2 (x0 ) + . . .
+ Cn+1 y2.............................................(1)(2)(n+1)C1 yn (x0 ) + C2 yn (x0 ) + . . . + Cn+1 yn (x0 ) = 0.В линейном алгебре доказывается, что у однородной системы из n уравнений с (n + 1) неизвестными C1 , . . . , Cn+1 всегдасуществует ненулевое решение C̃1 , .
. . , C̃n+1 .Рассмотрим функцию y (x) = C̃1y1 (x) + . . . + C̃n+1yn+1 (x),которая согласно теоремам (11.2) и (11.3) является решениемоднородной линейной системы (11.11) и в силу системы (11.12)удовлетворяет нулевым начальным условиям: y(x0 ) = 0. Тогдаэта функция тождественно равна нулю y (x) ≡ 0, поскольку,согласно теореме существования и единственности, у системы(11.12) есть только одно решение, удовлетворяющее нулевымначальным условиям — это тривиальное (нулевое) решение.Следовательно, функции y1 (x), .
. . , yn+1 (x) линейно зависимы,так как тождество y(x) ≡ 0 означает, чтоn+1C̃iyi (x) ≡ 0.i=1Теорема 11.5. У однородной линейной системы всегда существует n линейно независимых решений.Замечание. Из теоремы (11.5) следует, что множество решений образует n-мерное линейное пространство.Доказательство теоремы (11.5). Возьмем произвольнуюточку x0 на отрезке [a, b].15811Системы обыкновенных дифференциальных уравненийПостроим нормальную фундаментальную систему решенийследующего вида: 1(1)y1 0(i);(11.13)yj (x0 ) = δij , т.е. y1 (x0 ) = .
. . = ...(1)yn0 0001. . .. . . 01y2 (x0 ) = ; . . . yk (x0 ) = ; . . . yn (x0 ) = . . . ,. . . . . .0001так что для yk (x0 ) единица находится в k-й строке.Такая система функций линейно независима. Действительно, рассуждаем от противного: допустим, существует такие Ci ,не все равные нулю, чтоnCiyi (x) ≡ 0.i=1Это равенство верно в точке x0 , следовательно 100C101 0 C2 = = 0.C1 + C2 + . . . + Cn ....... . . . . .Cn001Это означает, что все значения Ci = 0.
Полученное противоречие доказывает теорему.Теорема 11.6. Если y1 (x), . . . , yn(x) – система из n линейно независимых решений (фундаментальная система), то общее решение однородной линейной системы имеет вид:y (x) = C1y1 (x) + . . . + Cnyn (x),где C1 , . . . , Cn — произвольные постоянные.11.4 Свойства линейных однородных систем159Доказательство.Линейная комбинация решенийnCiyi (x)y(x) =i=1является решением однородной линейной системы (следствиетеорем (11.2) и (11.3)).Всякое ли решение содержится в этой комбинации?Рассмотрим следующее множество, состоящее из n + 1y (x) — некотороевектор-функции: { y (x), y1 (x), .
. . , yn (x)}, где произвольное решение системы, а y1 (x), . . . , yn (x) — вышеупомянутая фундаментальная система. Такое множество векторфункций образует линейно зависимую систему (по теореме(11.4)), т.е. существуют a0 , a1 , .
. . , an , причем не все ai равнынулю и a0 = 0 (от противного: если a0 = 0, то система функций{yi (x)}ni=1 — линейно зависимая), такие чтоa0 y (x) + a1y1 (x) + . . . + anyn(x) = 0,где a0 = 0;отсюдаa1an y (x) = − y1 (x) − . . . − yn (x),a0a0то есть произвольное решение y (x) однозначно выражается через фундаментальную систему решений.Определение. Определителем Вронского некоторой системы из n вектор-функций y1 (x), .
. . , yn(x) называется функциональный определитель вида (1)(2)(n)y1 (x) y1 (x) . . . y1 (x)......... .W (y1 (x), . . . , yn (x)) = . . . (1)yn (x) yn(2) (x) . . . yn(n) (x)Теорема 11.7. Если определитель Вронского для некоторых n решений y1 (x), . . . , yn (x) однородной линейной системы, состоящей из n уравнений, равен нулю в некоторой16011Системы обыкновенных дифференциальных уравненийточке x0 : W (y1 (x), .
. . , yn (x))|x=x0 = 0, то W (x) ≡ 0 и система решений линейно зависима.Доказательство.Пусть W (x0 ) = 0. Составим следующую систему n уравнений относительно C1 , . . . , Cn :(1)(2)(n)y(x)+Cy(x)+...+Cy(x0 ) = 0,C1020n111(1)(2)(n)C1 y2 (x0 ) + C2 y2 (x0 ) + . . . + Cn y2 (x0 ) = 0,.......................................(1)(2)(n)C1 yn (x0 ) + C2 yn (x0 ) + .
. . + C1 yn (x0 ) = 0.Определитель этой системы равен нулю, поэтому существуетненулевое решение C̃1 , . . . , C̃n . Рассмотримy (x) = C1y1 (x) + . . . + Cnyn (x),для которого y (x0 ) = 0. По теореме существования и единственности y(x) ≡ 0, следовательно решения y1 (x), . . . , yn (x) линейно зависимы, поэтому W (x) ≡ 0, так как один из столбцов вопределителе Вронского есть линейная комбинация другого.11.4.1. Формула Лиувилля-Остроградского (1838 г.)Теорема 11.8. Если y1 (x), . .
. , yn (x) — решения однороднойлинейной системы, то их определитель Вронского во всякойточке находится по формуле:nx x0 i=1W (x) = W (x0 )eaii (ξ)dξ.Доказательство. Найдем производную определителя Вронского (1)(n) dy1 dy1(2) y (1) y (2) . . . y (n) dy1 dx 1. . . dx 11 dW (1) dx(2)(n) + .
. . + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= yy2 . . . y2 (n) 2 dyn(1) dyn(2)dxdyn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . dxdxdx11.4 Свойства линейных однородных системОднако161dyi (x) (k)=aij yj (x)dxj=1n(k)(11.14)в силу исходной системы уравнений. Подставим выражения(11.14) во все определители, входящие в формулу для dWdx :n n(1)(n) a1j yj (x) . . . . .
.a1j yj (x)j=1dWj=1 + ...=.................................dx(n) yn(1) (x)......yn (x) (n) y (1) (x)......y1 (x) 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .=. . . + (11.15)nn(1)(n) anj yj (x) . . . . . .anj yj (x)j=1j=1(1)(n)(1)(n)nn(x)...y(x)(x)...y(x)yy1j j 1a1j . . . . . . . . . . .
. . . . . . .+. . .+anj . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= (1) (1)j=1j=1yn (x) . . . yn(n) (x)yj (x) . . . yj(n) (x)В j-той сумме j-тый определитель равен W , а все остальныеопределители в каждой сумме равны нулю, так как все ониимеют совпадающие строки.
Поэтому выражение (11.15) равноa11 W +. . .+ann W. Таким образом, получаем дифференциальноеуравнение для W :dW=aii (x)W .dxi=1nЭто уравнение с разделяющимися переменными.Его решение имеет вид:nx x0 i=1W = Ceaii (ξ) dξ,откуда следует формула Лиувилля-Остроградского.16211Системы обыкновенных дифференциальных уравненийСистема дифференциальных уравнений однозначно определяется ее решениями. Это следует из следующей теоремы.Теорема 11.9. Пусть заданы функции y1 (x), . .
. , yn (x), такие что W [y1 (x), . . . , yn (x)] ≡ 0. Тогда существует одна итолько одна нормальная система дифференциальных уравнений, решения которой есть y1 (x), . . . , yn (x).Доказательство.Рассмотрим следующие nуравнений: y1 y (1) (x) . . . y (n) (x)11 y y (1) (x) . . . y (n) (x) 2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .2. . .
. . yn yn(1) (x) . . . yn(n) (x) dyi dyi(1) (x) . . . dyi(n) (x)dxdxdxоднородных дифференциальных = 0, i = 1, 2, . . . , n,(11.16)которые составлены следующим образом: первый столбец образован из n компонент искомой вектор-функции и производной ее i-той компоненты; последующие столбцы образованы иззаданных вектор-функций y1 (x), . . . , yn(x) и производной i-тойкомпоненты соответствующей вектор-функции.Очевидно следующее:1) Этим уравнениям удовлетворяют функции yk (x), содержащиеся в столбцах: при подстановке вектор-функции yk (x)вместо искомой вектор-функции в первый столбец получаемопределитель с двумя равными столбцами, который равен 0.2) Поскольку для заданных функций {yk (x)}nk=1 определитель Вронского W (x) = 0, то систему (11.16) можно разрешитьdyi, i = 1, 2, . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
