Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения (1092384), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Системы обыкновенныхдифференциальных уравнений11.1. Нормальная форма системыдифференциальных уравненийЗадача интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений в общем виде ставится так: дано k дифференциальных уравнений(si )(si )(si )Fi (x, y1 , y1 , . . . , y1 1 , y2 , y2 , . . . , y2 2 , yk , yk , . . . , yk k ) = 0,i = 1, 2, .
. . , k,(11.1)связывающих аргумент x и k искомых функций y1 , . . . , yk и ихпроизводные до порядков s1 = max(si1 ), s2 = max(si2 ), . . . ,imax(sik )iiвключительно. Предполагается,что число уравsk =нений равно числу неизвестных функций.Предположим, что система (11.1) разрешена относительностарших производных всех входящих в нее функций, т.е. отно(s ) (s )(s )сительно y1 1 , y2 2 , . . . , yk k :(s −1)(s −1)(s −1)y1 1 = f1 (x, y1 , y1 , .
. . , y1 1 , y2 , . . . , y2 2 , . . . , yk , . . . , yk k ),(s )(s −1)(s −1)(s −1)y2 2 = f2 (x, y1 , y1 , . . . , y1 1 , y2 , . . . , y2 2 , . . . , yk , . . . , yk k ),.........................................................(s )(s −1)(s −1)(s −1)yk k = fk (x, y1 , y1 , . . . , y1 1 , y2 , . . . , y2 2 , . . . , yk , . . . , yk k ).(11.2)Система вида (11.2) называется канонической.Каноническую систему из k уравнений высших порядковможно заменить эквивалентной системой n = s1 + s2 + . .
. + skуравнений первого порядка, разрешенных относительно производных всех искомых функций.Для этого введем новую систему искомых функций, числомn − k, следующим образом: обозначим для симметрии y1 = y10(s )15011Системы обыкновенных дифференциальных уравненийи введем новые функцииy1 = y11 ;y1 = y12 ,...,(s −1)y1 1= y1,s1 −1 .Аналогичноy2 = y20 ;y2 = y21 ;yk = yk0 ;y2 = y22 ,yk = yk1 ,...,...,(s −1)yk k(s −1)y2 2= y2,s2 −1 ;= yk,sk −1 .Всего имеем s1 + s2 + .
. . + sk = n функций yij (i =1, . . . , k; j = 0, . . . , si − 1), для которых система (11.2) принимает вид:dy11dy1,s1 −2dy10;,...,=y=y= y1,s1 −1 ,1112dxdxdxdy1,s1 −1 dx = f1 (x, y10 , y11 , . . . , y1,s1 −1 , . . . , yk0 , . . . , yk,sk −1 ),.............................................dyk1dyk,sk −2dyk0=y=y= yk,sk −1 ,;,...,k1k2dxdxdxdy k,sk −1 = fk (x, y10 , y11 , .
. . , y1,s1 −1 , . . . , yk0 , . . . , yk,sk −1 ).dx(11.3)Если отвлечься от частного вида первых уравнений в каждой из k групп системы (11.3) и от разделения на группы,то после перенумерации искомых функций в виде y1 , y2 , . . . , yn ,получим вместо (11.3) систему:dy1= f1 (x, y1 , .
. . , yn),dx dy2= f2 (x, y1 , . . . , yn),(11.4)dx..................... dyn = fn (x, y1 , . . . , yn ).dxСистема n уравнений первого порядка, разрешенных относительно входящих в систему производных от искомых функций,называется системой, имеющей нормальную форму или просто11.1 Нормальная форма системы дифференциальных уравнений151нормальной системой. Система (11.3) является частным случаем системы (11.4). В дальнейшем будем рассматривать именнонормальные системы.Замечание. Уравнение n−го порядка, разрешенное относительно y (n) , является частным случаем канонической системы:y (n) = f (x, y, y , . . .
, y (n−1) ).После введения новых функций y1 = y , y2 = y , . . . ,yn−1 = y (n−1) оно заменится системой, состоящей из n уравнений:dy1dyn−2dy;,...,=y=y= yn−1 ,12 dxdxdx....................................(11.5)dy n−1 = f (x, y, y1 , . . . , yn−1 ).dxОбратно, нормальная система n уравнений первого порядка(11.4), вообще говоря, эквивалентна одному уравнению порядка n. Для доказательства продифференцируем первое из уравнений (11.4) по x :∂f1 ∂f1 dy1d2 y1∂f1 dyn=++...+·dx2∂x∂y1 dx∂yn dxdyiчерез их выражения fi (x, y1 , .
. . , yn ), получимЗаменивdx∂f1 ∂f1∂f1∂f1d2 y1+=f+f+...+fn ,12dx2∂x∂y1∂y2∂ynт.е. выражение вида:d2 y1= F2 (x, y1 , y2 , . . . , yn ).dx2Это уравнение вновь продифференцируем по x и подставимвместо yi = fi (x, y1 , . . . , yn ) и т.д. Получимdn y1= Fn (x, y1 , . . . , yn ).dxn15211Системы обыкновенных дифференциальных уравненийИз системы, состоящей из n − 1 промежуточных уравнеdy1= f1 (x, y1 , . . .
, yn )ний, т.е. из исходного первого уравненияdxи уравнений, полученных в результате его дифференцирования по x до (n − 1)-го порядка включительно, вообщеговоря, можно выразить (n − 1) функций y2 , . . . , yn черезdy1d(n−1) y1x, y1 ,. После исключения y2 , . . . , yn оконча,...,dxdxn−1тельно получим:n(n−1)dy1dd y1y1.=Φx,y,,...,1dxndxdxn−1Замечание. Разрешить систему вспомогательных уравнений относительно y2 , . . . , yn не всегда возможно.
Например,в случае системы dy1 = f1 (x, y1 ),dxdy 2 = f2 (x, y2 ),dxэто не так.Определение.Решением системы (11.4) будем называть систему функцийy1 (x), y2 (x), . . . , yn (x),(11.6)которая обращает все уравнения системы в тождества.Уравненияyi = yi (x),i = 1, . . . , n,(11.7)определяют в пространстве (x, y1 , . . .
, yn) линию, которая называется интегральной линией системы. Вместо того, чтобы говорить, что yi (x0 ) = y1◦ , i = 1, . . . , n, будем говорить,что линия (11.7) или решение (11.6) проходит через точку(x0 , y1◦ , y2◦ , . . . , yn◦ ).11.2 Векторная запись системы153Геометрически решение системы можно истолковать так же,как решение одного дифференциального уравнения: интегральная линия в каждой точке касается поля направлений, котороезадает система (11.4).Система функций yi = yi (x, C1 , C2 , . . .
, Cm ), i = 1, . . . , n, называется общим решением системы (11.4) в области G, если,выбирая надлежащим образом постоянные C1 , . . . , Cm , мы можем получить любое решение, принадлежащее этой области.Обычно m = n.Система соотношений Φi (x, y1 , .
. . , yn ) = 0, i = 1, . . . , n, называется интегралом системы (11.4), если определяемая имилиния является интегральной линией для этой системы.Система соотношений Φi (x, y1 , . . . , yn , C1 , . . . , Cm ) = 0, гдеi = 1, . . . , n, называется общим интегралом системы (11.4),если выбором C1 , . . . , Cm можно получить любую интегральную кривую системы (11.4).11.2. Векторная запись системыВведем n−мерный вектор y (x) и обозначим:y1 (x)y (x) .
. . .yn(x)Аналогично введем производную и интеграл вектор-функцииy (x): dy1 (x) b by1 (x)dxa dy dx = ...... ,y (x)dx = . . . . . . .bdxdyn (x)ayn (x)dxdxa В дальнейшем будем использовать стандартные обозначения:λy1y1 + z1λy = . . . . . . ,y + z = . . . . . . ,yn + znλyn15411Системы обыкновенных дифференциальных уравненийтогда система (11.4) записывается в векторном виде:dy= f(x, y ).(11.8)dxРешением системы (11.8) называется вектор-функция y (x),которая при подстановке в систему обращает все уравнения втождества:y(x)≡ f(x, y (x)).dxВ дальнейшем нам понадобится некоторая норма вектора.Можно использовать любую норму, например*n|ai |,(или a =a2i , или a = max |ai |).a =i=1iiС помощью этих норм легко получаются следующие стандартные оценки:+ + t2n t2n t2+++a(t)dt+ai (t)dt ≤|ai |dt =+=+t1t2=t1ni=1|ai |dt =t2t1i=1Замечание.t1++adt ⇒ ++i=1t2t1t1+ +a(t)dt++≤t2adt.t1Теорема о среднем значении неверна t2a(t)dt = a(ξ)(t2 − t1 ).t1(так как для каждой компоненты свое значение ξ).Условие Липшица для функции f(x, y ) имеет вид: существует такое K > 0, что при любых y 1 , y 2 и любом x из областиG(x, y1 , .
. . , yn ) выполняется неравенствоf(x, y 1 ) − f(x, y 2 ) Ky 1 − y 2 .Здесь и далее верхний индекс обозначает вектор-функции,а нижний — компоненты этих вектор-функций.11.3 Системы линейных дифференциальных уравнений155Можно считать, что условие Липшица справедливо для каждой функции:|fi (x, y 1 ) − fi (x, y 2 )| Ky 1 − y2 .Для систем (11.8) справедлива следующая теорема существования и единственности:Теорема 11.1. Если правая часть системы (11.8) f(x, y )непрерывна в области G : {|x−x0 | a, y − y0 b} и удовлетворяет условию Липшица в этой области, то существуетрешение y (x), такое, что y(x0 ) = y0 , причем это решениеединственно и определено при |x − x0 | h, h = min[a, Mb ],M = max f(x, y ) в рассматриваемой области G.Эта теорема доказывается аналогично теореме существования и единственности для одного уравнения с некоторым отличием в части единственности.11.3.
Системы линейных дифференциальныхуравненийРассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений:ndyi =aij (x)yj + fi (x); где aij (x), fi (x) ∈ C[a, b], (11.9)dxi=1i = 1, . . . , n,−∞ < a x b < +∞.Для системы (11.9) применима теорема существования иединственности. Если fi (x) ≡ 0, то система называется однородной. В случае однородной системы очевидно существованиетривиального решения yi (x) ≡ 0.Векторная форма записи следует из обозначений:y1 (x)(aij (x)) A(x);y (x) = . . . ,yn (x)15611Системы обыкновенных дифференциальных уравненийоткуда получаем систему уравнений (11.9) в векторной форме:dy= A(x)y (x) + f(x).(11.10)dxВ дальнейшем будем использовать обозначения:(1)(n)(n+1)yyy 1 1 1y1 = . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
