Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения (1092384), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Предположим, что решение имеет больше одного нуля. Возьмем x1 , x2 — соседниедва нуля. Рассмотрим уравнение z + ρz = 0, где ρ ≡ 0. Общеерешение уравнения z = 0 имеет вид z = C1 x + C2 . На интервале (a, b) справедливо неравенство Q ρ, Q ≡ ρ. Тогда потеореме сравнения всякое решение z(x) имеет нуль на интервале (x1 , x2 ). Однако при ρ = 0 уравнение z + ρz = 0 имеетрешение z = 1, которое вообще не имеет нулей. Противоречиедоказывает следствие.Следствие 2. Если y(x) есть решение уравненияy + Q(x)y = 0на полубесконечном интервале [x0 , +∞) и Q(x) > a2 > 0, то решение имеет бесконечно много нулей (решение колебательноготипа).Доказательство.z = 0.имеетРассмотрим уравнение z +a2 Это уравнение реπ(k + 1)πk=0иz= 0.шение z(x) = sin ax, такое что zaa10.1 Общие свойства решения линейных уравнений второго порядка141πk π(k + 1),между этими двумя нулями выНа интервалеaa2полнены условия теоремы сравнения: a < Q(x),следовательπk π(k + 1),, и, следовано y(x) имеет нуль на интервалеaaтельно, y(x) имеет бесконечно много нулей на числовой оси.Теорема 10.4 (Критерий Кнезера).14x2на [x0 , +∞), x0 > 0, то его решение y(x) имеет не более од1+ε, где ε > 0, то уного нуля (не колеблется).

Если Q(x) >4x2решения бесконечно много нулей (решение колеблется).Если в уравнении y + Q(x)y = 0 коэффициент Q(x) <Доказательство (от противного).1а) Пусть Q(x) <и y(x) имеет больше одного нуля, а24xименноy(x1 ) = y(x2 ) = 0.Рассмотрим два уравненияy + Q(x)y = 0,1z +z = 0.4x21, то по теореме сравнения любое решение4x2второго уравнения z(x) имеет нуль на интервале (x1 , x2 ).1Очевидно, что z = x 2 — решение второго уравнения, так31как z = −(1/4)x− 2 . Однако функция z = x 2 не имеет нулейпри x > 0. Полученное противоречие доказывает первую частьтеоремы.1+ε, ε > 0.б) Рассмотрим теперь случай Q(x) >4x2Так как Q <14210Линейные уравнения с переменными коэффициентамиДокажем, что у y(x) бесконечно много нулей. Рассмотримдва уравненияy + Q(x)y = 0,1+εz +z = 0.24xНайдем z(x). Сделаем замену t = ln x.

Получимzx = zt · e−t ;zxx= (ztt − zt ) · e−2t ;ztt − zt +1 + ε 2tze = 0.4(et )2В результате приходим к уравнению с постоянными коэффициентамиz − z +1+εz = 0.4Его характеристическое уравнение имеет видλ2 − λ +1+ε= 0,4)1εкорни которого λ1,2 = ± − = α ± iβ.24Рассмотрим решение z(t) = eαt sin βt. Возвращаясь к переменной x, получим решение исходного уравненияz(x) =√)x sinεln x ,4которое имеет бесконечно много нулей.

По теореме сравненияy(x) также имеет бесконечно много нулей. Теорема доказана.10.2 Решение краевой задачи методом прогонки14310.2. Решение краевой задачи длядифференциального уравнения второгопорядка методом прогонкиРассмотрим следующую задачу. Требуется найти функциюy = y(x), которая на сегменте [a, b] удовлетворяет дифференциальному уравнениюy + α(x)y + β(x)y = γ(x)(10.3)и граничным условиям y(a) = ϕ; y(b) = ψ.Пусть x1 , x2 , ..., xN −1 — точки деления сегмента [a, b] на равные отрезки длиной h = b−aN .

Положим a = x0 , b = xN и обозначим αn = α(xn ), βn = β(xn ), γn = γ(xn ).В каждой из точек деления xi заменим значения производных y (x) и y (x) искомой функции y(x) конечно-разностнымиотношениями:yn+1 − yn−1yn+1 − 2yn + yn−1y (xn ) ≈, (10.4),y (xn ) ≈2hh2(n = 1, 2, ..., N − 1),где y1 , y2 , ..., yN −1 — приближенные значения искомой функции,полученные в результате расчета, y0 = ϕ и yN = ψ согласнограничным условиям.

Отметим, что аппроксимация производных по формулам (10.4) имеют точность порядка O(h2 ). Этоможно доказать, разложив yn−1 и yn+1 в ряды Тейлора.Подставляя в дифференциальное уравнение (10.3) приближенные значения y (xn ), y (xn ) по формулам (10.4), получимсистему уравнений относительно неизвестных y1 , y2 , ..., yN −1 :yn+1 − yn−1yn+1 − 2yn + yn−1+ βnyn = γn ,+α(10.5)nh22h(n = 1, 2, ..., N − 1).Умножая обе части равенства (10.5) на 2h2 , получим:yn−1 (2 − αn h) + yn (2h2 βn − 4) + yn+1 (2 + αn h) = 2h2 γn . (10.6)14410Линейные уравнения с переменными коэффициентамиПолагая:an = 2 − αn h,bn = 2h2 βn − 4,cn = 2 + αn h,fn = 2h2γn ,(10.7)запишем уравнение (10.6) в виде:an yn−1 + bn yn + cn yn+1 = fn(n = 1, 2, ..., N − 1),(10.8)в котором коэффициенты an , bn , cn находятся по формулам(10.7).Таким образом, получаем систему: y0 = ϕ,n = 1, 2, ..., N − 1 (10.9)an yn−1 + bn yn + cn yn+1 = fn ,yN = ψ.Можно доказать, что решение этой системы существует иединственно при произвольных ϕ, ψ и fn , если коэффициентыan , bn , cn удовлетворяют условию|bn | > |an | + |cn |.10.2.1.

Метод прогонкиДля решения полученной системы (10.9) обычно используется так называемый метод прогонки, предложенный И.М. Гельфандом и О.В. Локуциевским в 1952 г. на одном из семинаровв Математическом Институте им. В.А. Стеклова. Этот методявляется одним из вариантов метода исключения Гаусса длясистем, в каждое уравнение которых входят лишь три неизвестных значения y в соседних узлах сетки (см. уравнение (10.8)).Говорят, что у таких систем уравнений матрица трехдиагональная, подразумевая, что ненулевые коэффициенты стоят наглавной диагонали и по соседству слева и справа.

Матрица этойсистемы очень разреженная, и в методе прогонки остроумноиспользуется структура системы уравнений (10.9).Будем искать связь между двумя соседними значенияминеизвестных, предполагая, что yn линейно выражается через10.2 Решение краевой задачи методом прогонки145последующее значение yn+1 в виде:yn = Lnyn+1 + Kn ,n = 1, 2, 3, . .

. , N − 1.(10.10)Будем предполагать, что формула (10.10) верна также идля граничных точек. Для того, чтобы выполнялось граничное условие y0 = ϕ, в соответствующей формулеy0 = L0 y1 + K0(10.11)достаточно положитьL0 = 0,K0 = ϕ,(10.12)так что значения L0 и K0 определяются граничными условиями.Отметим, что в случае граничных условий другого вида, например, когда на границе задана производная искомой функции или задано линейное соотношение между искомой функцией и производной, как это бывает в краевых задачах дляуравнений в частных производных, значения L0 и K0 такжеопределяются из граничных условий, возможно, по формулам,отличным от (10.12).Подстановка (10.11) в уравнение a1 y0 + b1 y1 + c1 y2 = f1 , соответствующее номеру n = 1 в системе (10.9), приводит к уравнениюa1 (L0 y1 + K0 ) + b1 y1 + c1 y2 = f1 ,которое позволяет выразить y1 через y2 :−c1f1 − a1 K0y1 =· y2 +·b1 + a1 L0b1 + a1 L0Запишем это соотношение в виде:y1 = L1 y2 + K1 ,(10.13)где L1 и K1 могут быть вычислены по известным значениям поформулам−c1f1 − a1 K0,K1 =·L1 =b1 + a1 L0b1 + a1 L014610Линейные уравнения с переменными коэффициентамиАналогично, подставив соотношение (10.13) в следующееуравнение a2 y1 +b2 y2 +c2 y3 = f2 , соответствующее номеру n = 2в системе (10.9), получимa2 (L1 y2 + K1 ) + b2 y2 + c2 y3 = f2 ,что позволяет выразить y2 через y3 :y2 = L2 y3 + K2 ,где−c2f2 − a2 K1,K2 =·b2 + a2 L1b2 + a2 L1Подобным образом, исключая y2 из последующего уравнения, выразим y3 через y4 и т.д.Сравнивая полученные формулы, найдем, что yn и yn+1 связаны между собой соотношением (10.10)L2 =yn = Ln yn+1 + Kn ,в котором коэффициенты Ln и Kn выражаются через известные значения коэффициентов an , bn, cn , fn и Ln−1 , Kn−1 порекуррентным формулам−cnL=, nbn + an Ln−1n = 1, 2, ..., N − 1,(10.14)fn − an Kn−1Kn =,bn + an Ln−1причем L0 и K0 известны.

Коэффициенты Ln и Kn называютсяпрогоночными коэффициентами.Заметим, что граничное условие yN = ψ на правом концесегмента [a, b] позволяет, если вычислены прогоночные коэффициенты LN −1 и KN −1 , найти yN −1 из формулы (10.10)yN −1 = LN −1 yN + KN −1⇒yN −1 = LN −1 ψ + KN −1 .Зная yN −1 и прогоночные коэффициенты Ln , Kn (формулы(10.14)), последовательно найдем все значения yn в убывающей10.2 Решение краевой задачи методом прогонки147последовательности номеров n yN −2 = LN −2 yN −1 + KN −2 ,................................y1 = L1 y2 + K1 .Таким образом, вычисления в методе прогонки проводятсяв два этапа:(1) Прямая прогонка: Вычисление прогоночных коэффициентов по формуламL0 = 0;K1 = ϕ;−cnLn =,bn + an Ln−1fn − an Kn−1Kn =,bn + an Ln−1n = 1, 2, .

. . , N − 1,причем an , bn , cn , fn находятся по формулам (10.7).(2) Обратная прогонка:yN = ψ, ....................n = N − 1, ..., 1,yn = Lnyn+1 + Kn ,.................... y = ϕ.0Метод прогонки очень выгоден, так как число операций внем имеет порядок N (в общем случае в методе Гаусса порядокчисла операций N 3 ). Кроме того, метод прогонки имеет оченьпростой алгоритм вычислений и может быть легко организованна компьютере.Пример 1. Найти методом прогонки приближенное решение уравнения y − x2 y + x22 y = x, удовлетворяющее граничнымусловиям y(1) = 2,5, y(2) = 4.Решение: Здесь α(x) = − x2 , β(x) = x22 , γ(x) = x, ϕ = 2,5,ψ = 4.14811Линейные уравнения с переменными коэффициентамиПоложим n = 10.

Тогда h = 1−010 = 0, 1. Записываем в приведенную ниже таблицу (столбец 2) числа: x0 = 1, x1 = 1 + 0, 1 =1, 1, x2 = 1, 2,..., x10 = 2.Прямой ход: Вычисляем αi , βi , γi при i = 1, 2, ..., 9 и заполняем столбцы 3, 4, 5.Затем по формулам (5) вычисляем ai , bi , ci , fi , (i = 1, 2, ..., 9)и заполняем столбцы 7, 8, 9.Так например, при i = 2, a2 = 2 − hα2 = 2 − 0,1(−1, 667) =2,167.Наконец, по формуле (8) вычисляем Li , Ki и заполняемстолбцы 10 и 11.Обратный ход: По формуле (7) вычисляем y9 , принимая вовнимание, что: y10 = ψ = 4, L9 = 0, 855, K9 = 0, 388,y9 = L9 · y1 0 + K9 = 0, 855 · 4 + 0, 388 = 3, 808.Записываем это значение в предпоследнюю строку 12 столбца. Затем вычисляем y8 = L8 · y9 + K8 и так далее, пока недойдем доy1 = L1 · y2 + K1 = 0, 458 · 2, 769 + 1, 370 = 2, 638.Таблицаi1012345678910xi21,01,11,21,31,41,51,61,71,81,92αi3-1,818-1,667-1,538-1,429-1,333-1,250-1,176-1,111-1,053-βi41,6531,3891,1831,0200,8890,7810,6920,6170,554-γi51,11,21,31,41,51,61,71,81,9-ai62,1822,1672,1542,1432,1332,1252,1182,1112,105-bi7-3,967-3,972-3,976-3,980-3,982-3,984-3,986-3,988-3,989-ci81,8181,8331,8461,8571,8671,8751,8821,8891,894-fi90,0220,0240,0260,0280,0300,0320,0340,0360,038-Li1000,4580,6150,6960,7450,7800,8060,8260,8420,855-Ki112,5001,3700,9880,7930,6720,5860,5210,4690,4270.388-yi122,5002,6382,7692,8963,0223,1553,2943,4703,6333,8084,00011.1 Нормальная форма системы дифференциальных уравнений14911.

Характеристики

Список файлов книги