Савкин Ю.Г. - Способы преобразования проекций (1092260), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Значительно проще прямую общего положения привести в проецирующее положение способом замены плоскостей про­екций (рис. 11), ибо в этом случае надо переместить в про­странстве хотя и два раза, но один объект — плоскость про­екций. Кроме этого плоскости проекций очень просто изоб­ражаются на комплексном чертеже — одна из проекций этих плоскостей вырождается в прямую линию — ось проекций.

Способ замены плоскостей проекций состоит в том, что одна из двух плоскостей проекций заменяется новой плоско­стью нужным образом расположенной относительно объекта; при этом новая плоскость должна быть перпендикулярной к оставшейся (неизменяемой) плоскости проекций.

В качестве примера, иллюстрирующего способ замены плоскостей проекций, рассмотрим задачу на определение ве­личины отрезка АВ (рис. 10): взамен П₂ следует выбрать новую вертикальную плоскость проекций и парал­лельную отрезку АВ.

При этом взаиморасположение отрезка и неизменной пло­скости проекций П₁ не изменится, а значит, не изменяется и высоты и разнести высот всех точек отрезка АВ от П₁. На­пример, если высота точки А равна величине и изобра­жается на П₂ отрезком , то и на плоскости П₄ она будет изображаться таким же отрезком , так как отсчет высоты производится от одной и той же плоскости П₁. Вы­соты точек А и В на новой плоскости проекций П₄ изобра­жаются расстояниями от новой оси до новых проекций и точек А и В, равными расстояниями от заменяемой оси до заменяемых проекций А₂ и В₂ тех же точек.

На комплексном чертеже параллельность отрезка АВ и плоскости П₄ отражается параллельностью их горизонталь­ных проекций .

Новые плоскости проекций, а следовательно, и новые оси проекций можно выбрать наиболее удобно для отсчетов рас­стояний и рационального использования поля чертежа, но всегда перпендикулярно линиям связи данной системы. Если объект первоначально был задан на безосном чертеже, то ось проекций следует выбрать самостоятельно, с учетом вы­шеизложенных рекомендаций.

Комплексный чертеж задачи на преобразование прямой общего положения в проецирующую прямую приведен на рис. 11. Так как плоскость проекций П₁ не заменяется, то на комплексном чертеже проекций A₁B₁ остается горизон­тальной проекцией отрезка и в новой системе плоскостей .

Для построения новой вертикальной (на П₄) проекции отрезка — через проекции А₁ и В₁ его точек А и В перпенди­кулярно проекции А₁В₁ или, то же самое, новой оси х₁₄ про­ведены линии связи. Разность расстояний z_А - z_В точек А и В от оставшейся плоскости проекций в новой системе будет равна соответственно разности тех же расстоянии в системе . Полученная величина проекций А₄В₄ на П₄ равна АВ, так как отрезок АВ параллелен плоскости проек­ций П₄.

Если же по условию задачи отрезок требуется преобра­зовать в проецирующее положение, то выбирают еще одну плоскость проекций (П₅), считая систему исходной системой плоскостей проекций. Для этого новую плоскость проекций П₅ располагают перпендикулярно отрезку АВ и плоскости П₄. На чертеже это выражается перпендикуляр­ным расположением оси х₄₅ к вертикальной проекции А₄В₄ отрезка АВ. В новой системе плоскостей проекций отрезок АВ совпадает с направлением проецирующего луча к плоскости П₅ и его проекций на П₅ вырождается в точку .

Если надо получить более компактный чертеж, то новую плоскость проекций следует расположить так, как располо­жена плоскость П¹₅ (рис. 11).

На рис. 12 приведено решение задачи по определению кратчайшего расстояния между двумя скрещивающимися прямыми AD и СВ.

Новая плоскость проекций П₄ выбрана параллельной от­резку ВС ( ). После построения новых вертикальных проекций отрезков A₄D₄ и В₄С₄ выбирается плоскость и перпендикулярная отрезку ВС ( ).

После нахождения проекций A₅D₅ и В₅С₅ строится проек­ция M₅N₅ отрезка MN, которая проводится через перпендикулярно проекции A₅D₅ (на основании теоремы о взаимно перпендикулярных прямых). Получив проекцию M₅N₅, которая является истинной величиной отрезка MN, следует построить проекции отрезка на всех предыдущих плоскостях проекций. Для этого поступаем так: проведя ли­нию связи из N₅, находим проекцию N₄; проекция N₄M₄ рас­полагается перпендикулярно В₄С₄, так как отрезок ВС па­раллелен плоскости проекции П₄; затем, используя правило инцидентности точек и прямых, с помощью линий связи на­ходим проекции М₁; N₁; М₂ и N₂ точек М и N. Эти обратные построения могут служить проверкой выполненных построе­ний: ни одна из проекций — M₄N₄; M₁N₁ M₂N₂ — не может быть больше проекции M₅N₅ = MN.

Две скрещивающихся прямых определяют одну единст­венную пару параллельных плоскостей. Поэтому кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися прямыми есть в то же время и расстояние между проходящими через них параллельными плоскостями и, следовательно, может быть определено как расстояние между параллельными плоско­стями.

Задача № 6. Определение расстояния от точки до плоско­сти. Расстояние от точки плоскости измеряется отрезком перпендикуляра от точки до этой плоскости.

Решение данной задачи состоит из трех последовательных операций: 1) проведение перпендикуляра из данной точки на заданную плоскость; 2) определение точки встречи перпендикуляра с плоскостью; 3) определение истинной величины отрезка (между заданной точкой и точкой встречи).

Как известно, прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна двум непараллельным прямым плоско­сти.

Пусть требуется через точку А провести прямую АЕ, пер­пендикулярную плоскости треугольника BCD (рис. 13). При графическом (на комплексном чертеже) построении перпен­дикуляра к плоскости мы вынуждены в качестве двух прямых брать линии уровня плоскости (горизонталь и фронталь), ибо только в этом случае прямой угол между перпендикуляром АЕ и линиями уровня (СК и BL) изобразится на соответст­вующих плоскостях проекций без искажения. Так фронталь­ная проекция А₂Е₂ пройдет под прямым углом к фронталь­ной проекции С₂К₂ фронтали СК, а горизонтальная проек­ция А₁Е₁ — под углом 90° к горизонтальной проекции B₁L₁ горизонтали BL. Так как фронталь СК и горизонталь BL были выбраны произвольно, то прямая АЕ в общем случае не пересекается, а скрещивается с ними.

Итак, А₁Е₁ и А₂Е₂ — проекции одной и той же прямой АЕ, перпендикулярной двум прямым плоскости ( и ). Следовательно, .

Таким образом, можно сформулировать следующий вы­вод: если в пространстве прямая перпендикулярна плоскости, то на комплексном чертеже фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали данной плоскости, а горизонтальная проекция прямой перпендику­лярна горизонтальной проекции горизонтали этой плоскости. Справедливо и обратное утверждение.

Переходим ко второму этапу задачи — определению точки встречи прямой с плоскостью (в данном примере — пря­мой АЕ с плоскостью треугольника BCD).

Построение точки встречи прямой с плоскостью является одной из основных позиционных задач курса. Она входит как вспомогательная задача в решение многих более слож­ных задач, как например, задачи на взаимное пересечение поверхностей, пересечение поверхностей плоскостью или, как в данном случае — определение расстояния между точкой и плоскостью. Поэтому необходимо особо остановится на зада­че по определению точки встречи прямой с плоскостью,

Напомню, что могут быть два случая взаимного располо­жения прямой и плоскости: прямая или принадлежит плос­кости или пересекает ее. Если прямая не принадлежит плос­кости, то она пересекает плоскость в единственной точке. При этом пересечение может быть в собственной (доступной) точ­ке, если прямая располагается относительно плоскости под произвольным углом или под углом 90° или в бесконечно уда­ленной (несобственной) точке, если прямая параллельна пло­скости. Расположение прямой под углом 90° (прямая перпен­дикулярна плоскости) и под углом 0° (прямая параллельна плоскости) являются частными случаями взаимного располо­жения прямой и плоскости.

Рассмотрим общий случай — когда прямая пересекает плоскость под произвольным углом.

Для того, чтобы графически (на чертеже) показать, что точка встречи действительно является общей для прямой и плоскости, т. е. чтобы осуществить инцидентность (взаимо­принадлежность) точки и плоскости, необходимо и достаточ­но иметь линию в заданной плоскости Σ, которая пересекала бы заданную прямую АЕ.

Методом последовательного приближения (подбором) указанную вспомогательную линию графически найти не уда­ется.

Поэтому используют такой прием: через заданную прямую

проводят вспомогательную плоскость ( , рис. 14); находят линию (1—2) пересечения плоскостей Σ и , и, на основании того, что линия (1—2) и АЕ находятся в одной плоскости , а, следовательно,— пересекаются, получают точку . Точка S и является точкой общей для заданной прямой АЕ и заданной плоскости Σ, так как она принадлежит АЕ и линии (1—2), находящейся в плоскости Σ.

Таким образом, задача на построение точки встречи пря­мой с плоскостью состоит из трех последовательных операций (рис. 14):

1) введение вспомогательной плоскости , проходящей через заданную прямую АЕ;

Характеристики

Список файлов книги