Савкин Ю.Г. - Способы преобразования проекций (1092260), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Новые фронтальные проекции точек фигуры ( ; ; и ) определяются в пересечении линий связи с соответству­ющими фронтальным проекциями плоскостей перемещения точек.

Затем, перемещая все точки фигуры в плоскостях, парал­лельных плоскости П₂, располагаем ребро ВС перпендику­лярно плоскости П₁. В этом случае фронтальная проекция ребра ВС займет положение, параллельное линиям свя­зи. Горизонтальные проекции траекторий точек изобразятся в виде прямых, перпендикулярных линиям связи.

Линейный угол, которым измеряется двугранный, можно изобразить в любом месте фигуры двугранного угла. В на­шем примере (рис. 5), сторона DE проведена через верши­ну D ( ). Затем, построив фронтальную проекцию этого угла, с помощью линий связи определяем гори­зонтальную проекцию . Используя аналогичный прием, строим горизонтальную проекцию угла, а после этого — фронтальную проекцию .

Остается выполнить последнее требование задачи № 3: повернуть грань ABC вокруг ребра ВС на угол φ. Выполне­ние этих построений следует начинать на горизонтальной проекции , т. е. там, где угол проецируется в дейст­вительную величину. Определив положение А¹₁ вершины А¹ после поворота, находят уже известным приемом все осталь­ные проекции (А¹₂; ; , ) вершины А¹.

Задача № 4. Определение величины плоской фигуры.

Плоская фигура проецируется без искажения на плоскость, ей параллельную. Поэтому для графического определения величины плоской фигуры общего положения желательно эту фигуру привести в положение, параллельное одной из плоскостей проекций. В это частное положение плоскую фигуру общего положения можно привести несколькими при­емами, например:

а) вращением плоской фигуры вокруг осей, перпендику­лярных плоскостям проекций;

б) плоскопараллельным перемещением;

в) способом замены плоскостей проекций.

Все перечисленные методы позволяют осуществить пере­вод плоской фигуры общего положения в параллельное пло­скости проекций двойным преобразованием: вначале фигура должна занять проецирующее (перпендикулярное) положе­ние относительно одной плоскости проекций, а затем уже-параллельное другой плоскости проекций.

Однако существует еще один способ, позволяющий преоб­разовать плоскую фигуру в положение плоскости уровня ра­зовым перемещением: вращением плоской фигуры вокруг одной из принадлежащих ей прямых линий уровня (горизон­тали или фронтали).

Преимущество этого метода при решении данной задачи состоит еще и в том, что преобразование всей плоской фигуры в желаемое положение уровня осуществляется путем перемещения лишь одной точки этой фигуры.

Действительно, проведя в плоской фигуре линию уровня, например, горизонталь, и приняв се за ось вращения, доста­точно перевести вращением в этот уровень одну из точек фигуры. В этом случае вся плоскость окажется в положении, параллельном плоскости проекций. Останется выполнить лишь необходимые несложные построения всей фигуры при новом ее положении.

Рассмотрим вопрос о том, как осуществляется вращение точки вокруг линии уровня и как это выполняется графичес­ки на комплексном чертеже.

В качестве оси вращения возьмем горизонталь СК и вне ее точку В (рис. 6). При вращении вокруг горизонтали точ­ка В будет перемещаться по окружности, находящейся в плоскости Σ перпендикулярной оси вращения СК. Так как СК||П₁ то плоскость вращения т. е. Σ — горизонталь­но-проецирующая плоскость.

Плоскость Σ пересечет ось вращения — горизонталь СК в точке О, являющейся центром вращения точки В. Отрезок ОВ представляет собой радиус вращения точки В. Очевидно, что радиус вращения ОВ перпендикулярен оси вращения СК.

Плоскость Σ, а, следовательно, и окружность, по которой перемещается точка В, изобразится на плоскость П₁ в виде прямой Σ₁, перпендикулярной горизонтальной проекции гори­зонтали СК ( ) - на основании теоремы о прямом угле: если и то и .

Предположим, что требуется переместить точку В до уровня горизонтали СК. В этом случае радиус вращения ОВ расположится параллельно плоскости проекций П₁ и, следо­вательно, изобразится на эту плоскость в натуральную величину.

В связи с этим на комплексном чертеже (рис. 7) новое (искомое) положение В₁ точки В может быть найдено, если на горизонтальной проекции Σ₁ плоскости Σ отложить от центра вращения О действительную величину радиуса вра­щения ОВ.

Величину радиуса вращения на комплексном чертеже можно найти одним из методов, например, методом вращения вокруг проецирующей оси, в данном примере (рис. 7) — во­круг оси перпендикулярной плоскости П₂ и приходящей через точку О. Новое положение В₁ точки В вместе с неподвижной горизонталью СК определяют собой положение плоскости, параллельной плоскости П₁.

Вернемся к задаче на определение величины одной из граней тетраэдра ABCD, например, грани ABC.

На рис. 8 («а» и «б») представлены два варианта графи­ческого решения этой задачи: вращение треугольника осуще­ствлено вокруг внутренней горизонтали СК и внешней гори­зонтали АК. (В задании надо выполнить один из этих вари­антов: если имеется достаточно свободной площади на поле чертежа, то желательно решение выполнить по варианту «б»; если надо получить более компактный чертеж, то решение следует выполнять по варианту «а»).

При вращении вокруг горизонтали все точки треугольни­ка будут описывать окружности в плоскостях, перпендику­лярных оси вращения СК. или АК.

Так как одна вершина треугольника, находясь на оси вра­щения, остается неподвижной, то надо построить новые поло­жения двух других вершин. Новое положение вершины В построено так, как было выполнено на рис. 7. Новое положе­ние точки А, вращающейся в своей горизонтально-проецирующей плоскости Σ₁ (рис. 8«а»), может быть найдено ана­логично. Но так как точка К принадлежит прямой ВК, то решение упрощается. Точка К неподвижна, а новое положение точки В известно. Поэтому на чертеже достаточно прове­сти через проекции и этих точек прямую и в ее пересе­чении с горизонтальной проекцией Σ₁¹ плоскости вращения точки А найти проекцию . Проекция будет искомой про­екцией точки А в ее новом положении , которое займет точ­ка А при приведении треугольника в положение, параллель­ное горизонтальной плоскости проекций. Аналогичным обра­зом находится новое положение точки С (рис.8«б»).

В полученных положениях и плоскость тре­угольника параллельна горизонтальной плоскости проекций и, следовательно, треугольник проецируется на нее без искаже­ния, т. е. величина проекций и представляет величину самого треугольника ABC. Очевидно, что и углы при вершинах треугольника проецируются на горизонтальную плоскость без искажения. Поэтому для нахождения углов между пересекающимися прямыми можно применять этот же способ вращения плоскости вокруг одной из ее линий уровня до положения, параллельного одной из плоскостей проекций.

Заданную плоскость треугольника можно расположить и параллельно фронтальной плоскости проекции П₂ вращением вокруг фронтали. План решения при этом аналогичен рас­смотренному и поэтому рекомендуется выполнить эти постро­ения самостоятельно.

Задача № 5. Определение кратчайшего расстояния между скрещивающимися прямыми. Кратчайшим расстоянием меж­ду скрещивающимися прямыми является отрезок общего перпендикуляра к ним.

Для решения этой задачи с помощью комплексного черте­жа целесообразно одну из скрещивающихся прямых привести в проецирующее положение (не нарушая взаимного расположения этих прямых). Тогда искомый отрезок перпендикуля­ра между двумя скрещивающимися прямыми изобразится без искажения на соответствующую плоскость проекций (рис. 9): в данном примере отрезок MN, будучи перпендику­ляром к ВС, является параллельным плоскости П₁ а, следо­вательно, изобразится на П₁ в истинную величину.

Д ля того, чтобы прямую общего положения, привести в проецирующее положение, т. е., чтобы, зафиксировать част­ные значения двух углов наклона (0° по отношению к одной плоско­сти проекций и 90°— по отношению к другой плоскости проекций), не­обходимо выполнить двойное пре­образование: вначале преобразо­вать прямую в положение, парал­лельное относительно одной плос­кости проекций, а затем — проеци­рующее (перпендикулярное) поло­жение относительно другой плоско­сти проекций.

Такие преобразования возмож­но выполнить как одним из спосо­бов вращения, так и способом заме­ны плоскостей проекций. Однако, в связи с тем, что в нашей задаче заданы две прямые, методы враще­ния потребуют достаточно сложных графических построений, так как перемещая одну прямую, мы обя­заны на такой же угол повернуть и другую прямую. И все это надо выполнить дважды.

Характеристики

Список файлов книги