Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1092094), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Р 288 или, поскольку е '" = О, и(Г) = 1(1) Ф и(р) = 1/р. (6.51) Здесь для, оригинала и его изображения принят тот же символ взаимно однозначного соответствия, что н в обозначе,нии (5.22) для сигнала и его спектра. Из приведенного примера видно, что повь)итение эффективности преобразования (6.50) обусловлено наличием множителя е "', который обеспечивает сходимость интеграла (6.50) даже для сигналов, не удовлетворяюших условию схрдимости интеграла (5.83).
Наличие этого множителя позволяет интерпретировать , преобразование (6.50) как представление сигнала в виде «спектра» из затухающих колебаний е"'евь (при о ( 0) в отличие от преобразования Фурье, представляющего сигнал совокупностью незатухающих гармонических колебаний д ' (в символической форме). Преобразование (6.50) обладает линейнымн свойствами, аналогичными свойству (5.25): и(!) = А~и1(1) + А2и2(1) — и(р) = А~и~(р) + А2и2(р). (652) Из других свойств отметим более простое преобразование изображений при дифференцировании и интегрировании сигнала по сравнению с преобразованиями (5.76), (5.75): и,(!) = — -(-)- =; и«(р) = ри(р) — и(0), (6.53) и,(1) = ~ и(1)д! ыг и,(р) = и(р)/р. о (6.54) (рЕ + й)!(р) = — 1/(р + 11). (6 55) Отсюда определяется операторный ток 1(р) = 1/Е(р + а)(р + 11), (6.
56) где а = )г/Е, или при а = 6 !(р) = 1/Е(р + 6)'. (6.57) Остается по этим изображениям определить оригинал, т. е. искомый ток !(!). В этом заключается упомянутый операторный метод решения дифференциальных уравнений состояния цепи. 289 !о-~ззз Упрощение обусловлено не только комплексностью оператора р, но н тем, что оригиналы (сигналы) рассматриваются на бесконечном интервале [О, ьь1. Отмеченные и другие свойства преобразования (6.50), изйестные нз курса математики, приведены в приложении П.
10. Операторные изображения заданных сигналов определяются или непосредственно по формуле (6.50), как изображение (6.51), или по известным изображениям других сигналов с помощью свойств, приведенных в табл. П. 10. Для примера в приложении П. 11 приведены операторные изображения некоторых часто встречающихся сигналов.
Все они получены нз формулы (6.51) с помощью свойств, приведенных в табл. П.10. Если в дифференциальные или интегро-дифференциальные уравнения состояния цепи подставить вместо сигналов их операторные изображения (5.50), то по свойствам (б.52) — (5.54) эти уравнения переходят в алгебраические уравнения относительно переменной р. Например, дифференциальное уравнение (6.35) при подстановке операторных изображений тока н э. д. с. в соответствии с формулами (6.52), (6.53) и преобразованием № 5 табл. П.11 принимает следующий вид, если 1(О) = 0: 2. Определение сигналов по их операторному изображению. Сигнал 'определяется по его операторному изображению с помощью обратного интегрального преобразования Римана — Меллина; а.~-! ~ и(р):др, (658) га — ~ Значепие этого интеграла может быть найдено через вычеты его подын'тегральной функции по формуле (5.53). Р»ы 6лб.
ко»туо»»тегр»ро- При этом получаются формулы ризван»» в ороооразова»»» Р»- ложения, приведенные в приложении и»»» молл""» П !2, которые аналогичны формулам (5.55), (5.61). Однако в отличие от интеграла Фурье (5.52) в формуле (6.58) за счет комплексности р = о+)ы изменяется контур интегрирования по сравнению с контуром на рис. 5.13. В интеграле (6.58) контур интегрирования по-прежнему замыкается в бесконечности полуокружностью с радиусом )7 -оо, но проходит не по мнимой оси, а по прямой о, как показано на рис. 6.16.
Такой контур охватывает все полюсы и(р), даже при их расположении и в левой, и в правой полуплоскостях комплексной переменной р. Поэтому формулы разложения в табл. П.!2 пригодны при любом расположении полюсов подынтегральной функции (б.б8) на комплексной плоское~и. В этом также сказывается преимущество интеграла Лапласа перед интегралом Фурье как операторным преобразованием. Определение оригиналов операторных изображений в ряде случаев упрощается при использовании и других их свойств, известных из курса математики, которые приведены в табл.
П.12. Однако наибольшее упрощение в определении оригиналов (сигналов) получается при непосредственном использовании таблиц операторных изображений. Ввиду большой значимости операторных методов для практических приложений эти таблицы составлены для обширных классов функций, что делает такой способ достаточно универсальным. Для примера рассмотрим определение сигнала по его найденным операторным изображениям (6.56) и (6.57). По изображению № 7 табл. П.11 с учетом формулы (6.56) и свойства (6.52) сразу получаем отклик цепи по току (6.10) . Аналогично по формуле (6.57) и изображению № 8 табл. П.!1 находим ток . (6.11) . При использовании формул № 7 табл.
П.11 надо было разделить сигнал и изображение на множитель (! — а. Для удобства пользования таблицами операторных изображений такую нормировку изображений производят заранее. При этом старшие коэффициенты в полиномах числителя и знаменателя функции 290 и(р) равны единице. Например, нормировка изображения № 20 табл. П.1! приводит к формулам № 9 табл. П.13. Нормировка указанного изображения № 20 может быть прокзведена и иначе. Если принять а — ьь1а~, = О, то получится гр, = агс(ра/гь, и более простое изображение № 8 табл.
П.13. В этой таблице приведены и другие типовые нормированные изображения, полученные аналогичным образом, При практическом июгользовании таблиц операторных изображений следует иметь в виду, что в некоторых книгах применено интегральное (операторное) преобразование Кирсана (Лапласа — Карсона): и(р) = р 5 и(1)е ыо(. ь В таких таблицах необходимо разделить изображение .на оператор р, чтобы получить изображение (6.50) по Лапласу. 3. Метод операторных параметров. Связь между напряжениями и токами в различных элементах цепи может быть выражена в операторной форме.
Примем, что в начальный момент времени ток в нндуктивности н напряжение на емкости равны нулю: гд(1) ~, ь =гс(О) = О, исф~г=ь = ис(0) = 0 (6.59) При таких нулевых начальных условиях в соответствии со свойствами '(6.52), (6.53) подстановка операторных изображений напряжений н токов в равенства (2.!), (2.6), (2.!1) приводит к соотношениям ил(Р)'= йгл(р), иг(р) = р(гс(р), гс(р) = рСис(р). (6.60) Эти равенства представляют собой закон Ома для элементов цепи в операторной форме.
По своей структуре они тождественны закону Ома в комплексной форме, который выражается равенствами (3.!2) и (3.15). При этом приходим к понятию операторньгх сопротивлений и проводимостей: Хе(р) =- 1/Ук(р) = В, Хг(р) = 1/ Ус(р) = р(., Хс(р) = 1/ Ус(р) = 1/рС. (6.61) Эти операторные, параметры цепи совпадают по форме с комплексными сопротивлениями и проводимостями, лишь множитель )ы заменяется оператором р. Очевидно, с операторными параметрами можно производить те же действия, что н с комплекснымн: при последовательном соединении элементов складываются их операторные сопротивления, а при параллельном— операторные проводимости. Таким образом, понятие операторных парамет/)ов можно распространить на любьге параметры цепи, которые выражаются через комплексные сопротивления и проводимости. При этом получаем операторный коэффициент трансформации п(р), операгв* 291 торный коэффициент передачи К(р) и т.
д. В общем случае при замене мнимой частоты 1оу комплексным оператором р вместо комплексной передаточной функции (б.2) получается операторная передаточная функция, определяемая как отношение выходных значений операторных напряжений и (или) токов к входным. Обе указанные функции обьединяют под общим названием передаточных функций.
Применительно к сопротивлениям двухполюсника и входным сопротивлениям четырехполюсников (или их проводимостям) их называют также входнь(ми функциями. Использование операторных параметров существенно упрощает расчет цепей при произвольных внешних воздействиях, если выполняются нулевые начальные условия (6.59). При этом уравнения, описывающие процессы в цепи, можно составлять сразу в операторной форме. Например, операторный ток в Ят':цепи (рис.
6.11, а) может быть найден без составления дифференциальных уравнений состояния и последующего перехода к уравнению (6.55). Достаточно воспользоваться законам Ома в операторной форме: х„(ру т рб е„(р! хх(р б) г) Рис, б.!7. Энвнвалентные операторные схемы инлунтивности и еиности при не. нулевых начальных условиях !(р) = е(р)/л(р). (6.62) Использование операторного изображения № 5 табл. П.11 и подстановка в закон Ома (6.62) соотношений (6.60), (6.61) непосредственно приводит к равенствам (6.56), (6.57). Искомый результат, как и прежде, находят по формулам № 7, 8 табл.
П.11. В этом и заключается метод операторных параметров. 4. Метод операторных схем. При ненулевых начальных условиях равенства (6.59) не выполняются. При этом подстановка соотношений (6.52), (6.53) в равенства (2.6), (2.11) приводит к следующим формулам: их(р)=р(лу(р) — ЫДО), (с(р)=рСис(р) — Сис(0) (6.63) Если сохранить понятие операторных параметров с (руь (6.61), то равенства (6.63) следует рассматривать как ис(ру 1ь с р законы Кирхгофа в опера- и (р! рС с(ел) торной форме, где ес(р) = с!ь(0)* Зс(р) = СисЯ) а) б) (6 64) 11 — некоторые эквивалентные (с(р> у ' операторная в.
д. с. и опери- 2(Р) р и,(Р) С и (р! торный задшощий ток. х Такой интерпретации сов,(р! ответствуют эквивалентные операторнь(е схемы, показанные на рис. 6.17, а, б, Для них законы Кирхгофа с учетом правила знаков имеют вид рЕ(г(р) — и,(р) = е,(р), рСис(р) — гс(р) = /с(р), что эквивалентно равенствам (6.63). Источники напряжения и тока в эквивалентных операторных схемах могут быть преобразованы по правилам, изложенным в у 3.5.!.
Тогда получаются новые эквивалентные операторные схемы, показанные на рис. 6.!7, в. г, В них согласно формулам (3.112) и (6,64) (с(р) = гс(0)/р, ес(р) = ис(0) (р. (6.65) Таким образом, при ненулевых начальных условиях, когда равенства (6.59) не выполняются, необходимо составить эквивалентную операторную схему цепи 'с учетом формул (6.64), (6.65) . Затем процессы в цепи анализируют методом операторных параметров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
