Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1092094), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Частным случаем уравнений состояния цепи являются дифференциальные уравнения, составленные относительно переменных состояния тсм. у 3.6.8). Уравнения состояния можно решать различным образом, в частности с помощью ЭВМ, как описано в 53.6.8 применительно к уравнениям, составленным относительно переменных состояния. Существуют также операторные методы решения уравнений состояния, как показано ниже., Характерной особенностью классического метода является именно способ решения уравнений состояния. В простейших случаях состояние цепи описывается одним дифференциальным уравнением, В общем случае уравнения 27З состояния образуют систему дифференциальных уравнений.
Пусть процессы в цепи описываются системой из двух уравнений состояния: (~(и, 1, и', 1') = р~(е, 1), 12(и, 1, и', У) = чч(е, 1). (6.28) Эти уравнения помимо первых производных и'(1) = — и е и(2) Ж у(1) = — могут содержать вторые производные и"(1), 1"(1) и друзс гие производные высших порядков, что не отражается на способе решения. Согласно классическому методу находят, какое-либо частное решение системы 1'6.28) и общее решение однородных уравнений, полученных приравниванием нулю правых частей уравнений ('6.28): (~(и, 1, и', У) = О, Яи, 1, и'„1') = О. (6.29) Напряжения и токи, определяемые частным решением уравнений (6.28), обусловлены вынуждающим воздействием источников е(1), 1(1)., Поэтому будем называть их вынужденными напряжениями и токами и обозначать соответственно и(1), Ц1).
Общее решение уравнений (6.29) дает напряжения и токи, которые существуют в цепи при отсутствии источников е(1), 1(1). Поэтому будем называть их свободными напряжениями и токами, Со временем они должны убывать до нуля за счет потерь в цепи. Если свободные напряжения и токи имеют колебательный характер, то их называют собственными колебаниями цепи. В любой реальной цепи они также убывают во времени до нуля и называются затухающими колебаниями.
Будем обозначать решения однородных уравнений и,(1), ч(1). Согласно классическому методу полное решение уравнений состояния (6.28) определяется как сумма вынужденных и свободных напряжений и токов: и(1)= и,(1)+ и,(1), 1(1) =й(1)+в',(1). Прн интегрировании уравнений (6.29) появляются постоянные интегрирования в виде неизвестных констант. Для их определения используют начальные условия и(1)1~=с = и(О) = иы 1(1)!~=9 = 1(О) =1о. (6.31) При из =О, 19=0 начальные условия называются нулевыми. Начальные условия могут ограничивать также значения производных напряжений и токов в нулевой момент времени. 2. Расчет цепей классическим методом. Согласно описанному классическому методу расчет цепей осуществляют в четыре этапа.
Сначала по законам Кирхгофа ('2.81), ('2.48) и законам токо- прохождения ('2.1), (2.6), ('2.11) составляют уравнения состояния (6.28) и соответствующие 'им однородные уравнения ('6.29). 279 На втором этапе ищут частное решение уравнений 1'6.28), Методы такого решения зависят от вида уравнений. Одним из универсальных методов является подстаиовка подходящих функ- ций, обращающих эти дифференциальные уравнения в алгебраи- ческие. Вид функций можно выбирать, в частности, из 'физиче- ских соображений, На третьем этапе ищут решение однородньчх уравнений (б.29). Существует универсальный метод такого решения, по которому оператор дифференцирования заменяют алгебраиче- ским оператором р: — = ри, —, = р'и и т. д. При этом система си е'и г ш' ' шг уравнений (6.29) принимает вид (1ь(р)и + ~~г(р)1= О, Ь(р)и+ (тг(р)1= О, где 1»г(р) — некоторые полииомы от р.
Уравнения (6.32) имеют ненулевые решения только в том случае, если определитель системы равен нулю: т,(р)=Мр)=~ "~~~ Рв(Е ~ =а.р'+а. 1р" '+ ... +акр+а»=0. 11» Ф 1-Ф (6. 33) Это равенство называется характеристическим уравнением цепи, а функция Р,(р) — характеристическим полиномом. При решении алгебраического уравнения (6.33) определяют. корпи характеристического уравнения р» (я = 1; 2, ..., и). Здесь и— степень характеристического полииома, определяемая порядком диффереициальиых уравнений (6.28) и (6.29). Эта степень иазы- вается порядком цепи.
По найденным корням р» находят искомое решение: и и,(г) = ~, А»е"', 1,(1) = У В»е'*', (6,34) где Ам В» — постоянные интегрирования. Константы В» могут быть выражены через константы А» при подстановке величин (6.34) в уравнения (6.29). . На четвертом этапе определяют постоянные интегрирования. Для этого подставляют в равенства (6.30) найденные значения и„й и (6.34), а также начальные условия (6.31) и решают получеииую систему уравнений. Существеиио отметить, что корни р» характеристического уравнения (6.33) могут быть либо вещественными (р» = а»), либо комплексно сопРЯженными (Р»» э г = о» ~1ы»). Очевидно, длЯ убывания во времени свободных составляющих (6.34) значения о» должны быть отрицательными: а»= — а» 0 (а»)0). Поли- номы с вещественными коэффициентами, имеющие такие корни, называются полииомами Гурвица.
Таким образом, характеристический полинам является полиномом Гурвица. Рассмотрим для примера цепь, изображенную иа рис. 6.1, а, с входным воздействием е(г) = 1(1)с "'. Для иее ток 1(1) определя- 280 ется одним уравнением состояния Е+~~~ + !7!(!) = е (6.35) Отсюда получаем соответствуюшее однородное уравнение й++ )7!(!) = О. (6.36) Частным решением уравнения (6.35) является ток той же формы, что и э.
д. сл й(1) = 1 .„е 8!. Подставив это значение тока в уравнение (6.35), получим — 67/,„е м+ й1,„е м=е "', — 6Ы„,„+И ., = 1, откуда Для решения уравнения (6.36) составляем характеристическое уравнение: р/.!+)~1=0, р~.+~=0. Отсюда Я е р! = — — = — а, г,(1) = Ает" =Ае, 1(1)= ~ +Ае я — ~и. Задавшись начальным условием 1(0) = О, из последнего равенства находим А = — !/(1с — 6Е). Таким образом, получаем полное решение — к ! е — е которые являются функциями времени и численно совпадают с соответствующими напряжениями (токами). Таким образом, перекидные характеристики численно являются откликом цели на входное воздействие в виде единичного скачка.
Поэтому величины (6.37) 'будем тоже называть откликами цепи. В зависимости от вида источника сигнала отклик и(!) может быть безразмерной величиной либо иметь размерность сопротивления (проводимости). В первом случае переходная характеристика Ь(1) называет- 28! которое совпадает с формулой (6.10). Чтобы получить второе решение вида (6.11), в данном соотношении надо раскрыть неопределенность при 6- !с/(..
3. Переходные характеристики цепи. При воздействии в цепи сигнала е(1) = !(!) или !(Х) = 1(!) напряжение нли ток на входе цепи при ! ) 0 не изменяется. Однако во всех остальных участках цепи изменяются как напряжения и(!), так и токи !(!). При этом с течением времени цепь переходит из одного состояния в другое. Указанный переход можно охрарактеризовать нереходными характеристиками: Л(!) = и(!)/!(!), я(!) = !(1)/!(!), (6.37) ся также переходным коэффициентом передачи КЯ по напряжению или по току, в двух последних случаях — переходным сопротивлением 2(1) или переходной проводимостью цепи У(1). Переходньсе характеристики цепи (б.37) связаны с ее соответствуютцими передаточными функциями (б.2), (б.У). Эта связь устанавливается с помощью соотношения (6.22).
Поскольку напряжение (6.22) является откликом цепи на единичный скачок, по определению (6.37) ИЯ = — Т(0) + — ~ — и едп [го1 + 8(оз)]доз. (6.38) При известных спектральных характеристиках переходные характеристики могут быть вычислены по уравнению (6,38), Однако проще определять переходные характеристики непосредственно по отклику цепи на входное воздействие в виде единичного скачка. Например, учитывая, что при р= 0 сигнал (6.26) равен сигналу (5.28), по отклику (6.10) при р'= 0 находим переходную проводимость )?Е-цепи (см. рис.
6.1, а): И(1) = У(1) = — (1 — е "'). Эта переходная характеристика показана на рис. 6.10. Е УИ1 Еlй Рис. б.10. График переколиой проводимости ЯЕ- цепи Рис. 0.11. Произвольный скачкообразный сигнал и отклик на него ЯЕ -цепи 4. Метод переходных характеристик. Пусть на входе цепи действует произвольный скачок е(1)=Е !(1 — т), показанный на рис. 6.11. Тогда из соотношений (6.71), (б.?3) и (6.22) можно определить отклик цепи иа это воздействие: и(1) = — Т(0) + — ~ ( ) ейп [го(1 — т) + 8(го)]дго. Отсюда с учетом уравнения (6.38) получаем и(1) = ЕИ(1 — т), (6.40) где И(1 — т) — смещенная на т переходная характеристика. В соответствии с формулами (6.40) и (6.39) на рис.
6,11 показан отклик по току И,-цепи на воздействие е(1) = Е 1(1 — т). 2й2 Переходные характеристики позволяют определять отклик цепи не только на скачкообразное, но и на произвольное непрерывное воздействие е„(1), которое равно нулю при 1(О, Будучи непрерывным на интервале Рнс. алз Рааанака непрерывного сигнала (О,1), Е„(1) НЕ ИМЕЕТ раэ- на стннУ скачков рыва (скачка) также при 1=О, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
