Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1092094), страница 56
Текст из файла (страница 56)
В общем случае эти сопротивления складываются из сопротивлений индуктивности, днссипативного элемента и емкости: Л««(ч«) = 2«~()ры) = Х Яр) = рЕ+ Я + 1/рС = (ЯСр'+ КСр+ 1)/Ср. (6.13) При раскрытии определителей в соотношении (6.!2) производится конечное число элементарных арифметических операций над рациональными функциями вида (6.!3). Следовательно, в общем случае передаточная функция цепи описывается дробно- рациональным выражением Т(ы)=Т(р)= — ', Е~(р)= ~"„а«р', г«(р)= ~; Ь«р', (6.14) «=о «=о где а«, Ь« — вещественные коэффициенты. Корни р« уравнений Ейр)= О, Р'«(р)= О (6.
15) называются соответственно нулями и полюсами передаточной функции (б.)4). В своих нулях и полюсах передаточная функция принимает соответственно нулевое и бесконечно большое значения. В общем случае нули и полюсы являются комплексными величинами (частотами), Из соотношений (6.5), (6.14) следует, что корни уравнений 6.15) являются также нулями н полюсами реакции цепи „„(ы) =5,„„(р).
В частном случае эта реакция может соответствовать «полубесконечному» отклику цепи на входное воздействие в виде, например, сигнала (5.26). Примерами такого откли- ка являются токи (6.10) и (6.1!). В реальной цепи «полубесконечный» отклик должен затухать, т. е. убывать во времени, и его спектральная функция имеет полюсы, удовлетворяюпгие условию (5.46) . Таким образом, полюсы передаточной функции реальной цепи могут располагаться только в левой полуплоскости комплексной переменной р = о+!«7. На нули передаточной функции не накладывается такого ограничения. Поэтому они могут находиться в любой части комплексной плоскости.
Последний вывод не распространяется на передаточные функции особой разновидности, для которых входное воздействие и реакция цепи на это воздействие являются взаимозаменяемыми. К особым передаточным функциям относятся, в частности, входное сопротивление и 'входная проводимость цепи, которые называются входными функциями цепи. Действительно, согласно закону Ома (3.19) и формулам (6.9) в двухполюснике входным воздействием может являться и ток !(«7) = 7(«7), и напряжение О(ы) = Е(ы). В силу взаимозаменяемости указанных величин полюсы сопротивления являются нулями проводимости и наоборот. Поэтому как полюсы, так и нули 2(р) и 1'(р) могут располагаться только в левой полуплоскости комплексной переменной р = о + !сь. Если пренебречь потерями в цепи, то в ней возможны отклики в виде неубывающих (но и не нарастающих) сигналов, которые имеют спектральные функции с полюсами на мнимой оси плоскости р (см.
$5.!.7). Поэтому полюсы передаточных функций реактивных цепей, а также нули и полюсы их входных функций должны находиться на мнимой оси комплексной плоскости р. 4. Минимально-фазовые цепи. Рассмотрим цепь, передаточная функция которой имеет часть нулей в правой полуплоскости. При этом полипом Е~(р) в числителе передаточной функции (6.!4) можно разбить на два сомножителя — Еь(р) и Еф( — р), из которых полинам Еь(р) не имеет корней в правой полуплоскостн, а полипом Еф( — р) имеет корни только в правой полуплоскости. Тогда передаточная функция (6.14) представляется в виде Т(р) = Гь(р)рф( — р)/Е«(р) = Ть(р)Тф(р), (6.16) где Ть(р) = Гь(р)рф(р)/Гь(р), Тф(р) = Еф( — Р)/Гф(р).
(6.17) Полинам Гф(р), полученный из полинома Еф( — р) переменной знака р, имеет корни только в левой полуплоскости, поскольку такая перемена знака перемещает корни р« из правой полуплоскости в левую, как показано на рис. 6.2. Следовательно, функция Ть(р) не содержит нулей в правой полуплоскости, а обе рациональные дроби (6.17) являются передаточными функциями некоторых цепей, не содержащими полюсов в правой полуплоскости.
Поэтому цепь с передаточной функцией (6.16) можно разбить яа две цепи с передаточными функциями (6.17), как показано на рис. 6.3. 27! 7ррл / г / ол Р -,н ° л Рис. 6.3. Разбивка произвольной цепи на минимально-фазовую цепь и фазовый контур Рнс 6.2. Перемещение корней полинома из оравой полуплоскостп в ле- вую Передаточная функция Те(р) обладает специфическими свойствами. Представим функции Ре(тр) в виде суммы четного и нечетного полнномов. При этом видно, что Ее(р) = Рь(оз) = = Рл(ы)+)гв(оз) и ге( — Р) = Рр( — ы) = Ел(щ) — )рв(ю) ЯвлЯютсЯ комплексно сопряженными полиномами.
Тогда получаем Т ( ) Т ( )еее( ( — ЕА(ш) )Ев(ш) (бйб) Ел(ш)+ 1Ев(ш) ' Ть(щ)= ~l ",, + "., =1, Ое(о()= — 2агс1а — '(ш . (6.19) Евв(ш) + Ев(ш) Ев(ш) 272 Таким образом, цепь с передаточной функцией (6.18) не изменяет спектральную плотность проходящего сигнала, как это следует из первых равенств (6.6), (6.!9). Со~ласно же вторым равенствам (6.6), (6.19) эта цепь изменяет фазовый спектр сигнала. В соответствии с указанными свойствами цепь с передаточной функцией (6.И) получила название фазового контура. Выделение фазового контура из общей цепи с передаточной функцией (6.16) позволило свести к минимуму фазовые сдвиги в оставшейся цепи с первой передаточной функцией (6.17). Передаточная функция, яе содержащая ни полюсов, ни нулей в правой полуплоскости, называется функцией минимальной фазы, а цепь с такой передаточной функцией — минимальнофазовой цепью.
Цепь с нулями передаточной функции в правой палуплоскости называется неминимально-фазовой. 5. Связь между спектральными характеристиками цепи. Из 5 6.!А следует, что, подключая фазовые контуры к цепи, можно изменять ее фазовую характеристику при неизменной частотной характеристике. Однако при этом цепь перестает быть минимально-фазовой. В цепи минимально-фазового типа невозможно изменять фазовую характеристику без изменения частотной хирактеристики и наоборот, поскольку они зависят друг от друга. Для определения этой зависимости спектральные характеристики цепи следует рассматривать совместно с сигналом. Рассмотрим простейший сигнал в виде единичного скачка (5.28), единственным параметром которого является нулевой момент включения.
Согласно равенствам (6.5), (6.6) сплошной спектр (5.29) в цепи с передаточной функцией (6.2) принимает значение 5аих(гэ) = Т(ы)/ям, — чьих(ы) = 0(ы) — я/2. (6.20) Полный спектр единичного скачка, являясь смешанным, содержит еще постоянную составляющую (5,30), которая на выходе цепи дает постоянное напряжение (/о нц» = 0,5Т(ы)1„, = о = Т(0)/2. (6.21) Подставив соотношения (6,20) в уравнение (5.50) и прибавив постоянную составляющую (6.2!), получим сигнал на выходе цепи: и(1) = '— Т(0)+ '— 5 (") э!и [ыт+ 0(ы))г(ы.
(6.22) Поскольку единичный скачок существует прн г) О, отлик цепи прн г (0 в этом случае равен нулю. Поэтому, заменив переменную г на — т, при т) 0 из равенства (6.22) находим — Т(0) + — $ — шп10(ы) — ты)г(гв — О. Продифференцировав это равенство по параметру т, найдем искомую связь между частотной н фазовой характеристиками цепи: $ Т(ы) соэ (0(ы) — то>)йо =- О. о (6.23) Раскрыв здесь косинус разности двух аргументов, с учетом формул (6.4) получим уравнение связи между четной н нечетной составляющими передаточной функции: ~ Тз(ы) соз озтдго = — $ Тэ(ш) з(п олдос. (6.24) 273 Уравнения (6.23), (6.24) устанавливают однозначную связь между спектральными характеристиками только для минимально-фазовых цепей. Действительно, равенство (6.23) не нарушается при неизменной частотной характеристике Т(ы), если фаза 0(гь) получает приращение йя.
Такое же приращение фазы при неизменной частотной характеристике является свойством немннимально-фазовой цепи. 6. Идеальные спектральные характернстнки. Форма спектральных характеристик определяет характер и величину частотных и фазовых искажений сигналов в цепях. Эти искажения отсутствуют при сохранении формы сигнала, отображающей информацию (см. $1.4.1) . Форма же, сигнала сохраняется только при 'его линейных преобразованиях вида (5.71), (5.72): и,„,(1) = То ..(1 — то) =; ' иох ФЯ..(оз) = Той-(от)е '**, где То и то — константы. Сопоставив это соотношение с определениями (6.2) и (6.5), (6.6), найдем условия неискаженной передачи сигнала через цепь: "Вих Т(от) = Тое '"', Т(со) = То = сопз1, О(от) = — тооз..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
