Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей (1987) (1092094), страница 59
Текст из файла (страница 59)
е„(0) =О. Для определения отклика представим непрерывный сигнал в виде суммы ступенчатых функций, как показано на рис. 6.!2: е„(1) = Ле! ° 1(1 — Лт)+ Лет 1(1 — 2Лт)+ ... + Ле„1(1 — 'пЛт) = в = Х Леа.1(! — яйт). а Согласно принципу суперпозицин отклик цепи на это воздействие равен сумме откликов вида (6.40): л в и(1) = 2', Леай(1 — йЛт) = ~', — "й(! — ЙЛт)Лт. а ! ! Лт В силу непрерывности сигнала е„(1) его можно дифференцировать и !пп — = — =е„'(т).
Сделав в последней сумме пре- Ьек Век(т) о о ат от дельный переход к интегралу при Лт=дт, йЛт =т и пЛт = 1, получим интеграл Дюамеля: и(Е) = (е„'(т) й(1 — т) с$т. (6.41) о Метод переходных характеристик заключается в совместном использовании соотношений ('б.40) и (б.41) для нахоокдения отклика цепи на произвольное входное воздействие е(1). Если этот входной сигнал имеет конечные разрывы (рис. 6.!3, а), то его представляют в виде суммы ступенчатых сигналов е,(1) (рис.
6.13, б) и непрерывного сигнала е„(1) (рис. 6.13, в). При этом отклик цепи на заданное входное воздействие определяется по формулам (6.40) и (6.41) в соответствии с принципом супер- позиции: и(1) = ЛЕоЫЯ вЂ” ЛЕ!Л(! — 1!) + (!е„'(т)й(! — т)йт. о Обобщив эту формулу на случай п разрывов величиной ЛЕа в моменты времени 1а (й = 1, 2, ..., я), получим окончательно к и(1) = ~, ЛЕей(1 — 1в) + $ е„'(т)Ь(1 — т)йт.
(6.42) о айвз В качестве примера рассмотрим определение тока в прежней )с(-цепи (см. рис. 6.1, а) с входным воздействием е(!) = 1(!)е р'. При этом в формулу (6.42) подставляем ток )()) вместо напряжения и(!), а в качестве переходной характеристики 5()) используем переходную проводимость (6,39). Разобьем сигнал е(!) (рис. 6.14, а) на две составляющие, как показано на рнс. 6.14, б. Тогда е„(т) = = е в' — 1 и в формуле (6.42) и = 1, !ь = 1 = О, АЕ»,= = ХЕ! = 1, е„'(т) = — ре "'. Отсюда определяется реакция цепи: 1(!) = — (! — с ") — — ~е з"(1 — е " ')бт.
)з о Рнс, 6,)З. Разбивка разрывного сигнала на сумму стуненчатого и непрерывного сигналов Рис. 6.!4. Разбивка чкспоненциального сигнала на два составляющих сигнала а) -))Ег Еи ~Ег- в Ег-г) Ео )) йг -1 Ю) б) Произведя интегрирование и приведя подобные члены, получим прежний отклик цепи (6.10). Здесь, как и в классическом методе (см. $ 6.2.2), для получения второго решения вида (6.11) требуется раскрыть неопределенность в полученном соотношении при 5- )с/ь.
5. Импульсные характеристики цепи. Рассмотрим импульс единичной площади (единичный импульс), показанный на рис. 6.15, ав. Его можно образовать путем суперпозиции двух скачков 5()), изображенных на рис. 6.15, б.Приняв для единично" От единичного импульса следует отличать Л.импульс единичной высоты л(г) =!(!) — )(! — л!). 6,й) )/Л 6(!) = и л~ о *1 !'пп ( 6~(!)Ф = !.
м-.о й) 8зй) о Бо зь й) Рис. б.!5. Образование дель- та-импульса Величина, определяемая таким образом, называется также дельта-функцией (6-функцией) или функцией Дирака. Эта функция при замене переменной ! на ! — т определяет значение смещенного на т дельта-импульса: 6(! — т) = — ~- — — — ', $ 6(й — т)д! = !. (6.44) Умножение смещенного 6-импульса на некоторую функцию )(!) равносильно его умножению на постоянную величину )(т), поскольку 6(! — т) = О при г Ф т.
Поэтому из соотношений (6.44) следует: )(!)6(! — т) = ((т) — ~ — —, ~)(!)6(! — т)д! = )(т). (6,44') Спектр дельта-импульса (6.43), не существующего при г ~ О, может быть найден по теореме диффе)зенцирования (5.76) или из общего выражения (5.)8) при е ' !~=о = !. Учитывая при этом интегральное равенство (6.43), получаем Ао(бз) = (/я. 285 го импульса обозначение 6,(!), можно описать его следующим образом: 6 (!) )0) — )Π— ал) ~ 6 (!)дг ао Эти два равенства сохраняются при любых значениях Ж, как показано на рис. 6.!5, в. В частности, при Л)- 0 получаем так называемый дельта- импульс 6(г), или б-импульс, равный бесконечности при ! = 0 и нулю при )ФО; Первое равенство, по определению, является производной единичного скачка, а второе определяет площадь дельта-импульса.
'Таким образом, дельта- импульс является импульсом нулевой длительности с единичной площадью и равен производной единичного скачка: 6(!) = ('), ~ 6(!)д! = !. (6.43) й йс а) Яй) ГЮ)/Л )Й -йо) Отсюда по теореме запаздывания (5.72) определяется спектр смешенного дельта-импульса (6.44): ок,(м) = е ' */я. Последовательность дельта-импульсов со случайными временными сдвигами и соответственно со случайным фазовым спектром образует шумоподобный сигнал, обладаюший, 'свойствами так называемого белого шума.
Как видно из полученных спектров, характерной особенностью такого шума являЕтся его постоянная спектральная плотность во всем бесконечном частотном диапазоне. Значение этой спектральной плотности можно изменять в соответствии с равенством (6А4'). Дельта-импульсы ('6.43) и (б.44) могут быть использованы в качестве входного воздействия в цепи. Хотя эти импульсы бесконечно велики, отклики на них имеют конечное значение. Это объясняется их бесконечно малой длительностью и конечной плошадью, определяемой интегралами (6.43), (6.44). Конечный отклик цепи ))6(1)на дельта-импульс б(1) может быть получен из отклика цепи й(1) на единичный скачок 1(1).
В силу линейности цепи замена любого входного воздействия его производной приводит к замене отклика цепи на его производную. Поэтому замена входного воздействия 1(1) его производной б(1) означает замену отклика цепи й(1) на отклик пь(1), являющийся производной й(1): Йь(1) = — ) = — ~ Т(ы)софо1 +0(62)]бы. (6.45) Последнее равенство получено с учетом формулы (6.36). Соотношение (6.45) подтверждает конечность отклика ))6(1). Из соотношения (6.45) заменой 1 на 1 — т может быть получен отклик цепи на смещенный дельта-импульс (6.44).
При этом можно производить дифференцирование по любой из переменных 1 или т. Следует лишь учитывать, что указанные переменные в исходном соотношении имеют разные знаки. Поэтому )ц(1 ). 6И() — т) Щ) — т) (6 46) Ш 6т Сигналы-отклики (6.45) и )б.4б) называются импульсными характеристиками цепи. ' Эти характеристики, например для РЕ-цепи (см. рис.
6.1, а), имеют значения Ь(1) = Уь(1) = — е ",)26(1 — т) = У6(1 — т) = — 'е П '), (6.47) е е которые получаются из формулы (6.39) и определений (6.45), (6.46) . 6. Метод импульсных характеристик. Импульсные характеристики позволяют определить реакцию цепи на произвольное непрерывное воздействие е„(1). Для этого' в соотношении (6А1) произведем интегрирование по частям, приняв е,'(т)дт = де„(т): и(1) = е„(т)п(1 — т)),' — ~ е„(т)оп(! — с) = о 286 ! = е„(г)»»(0) — е„(0) й(») — ~ ет(те~О:: ~» б с. Здесь е„(0) = 0 в силу непрерывности е„(т) на всем интервале [О, 1).
Поэтому с учетом определения (6.46) получаем разновидность интеграла Дюамеля в виде ,' и(») = е„(Г)Ь(0) + $ е.(т)l»»(» — т)дт. (6.48) о 'Поскольку здесь не производится дифференцирования сигнала, как в интеграле (6.41), соотношение (6.48) можно распространить на случай произвольных разрывных сигналов е(г). При этом влияние скачка )»(0) переходной характеристики учтено первым слагаемым.
Поэтому при определении импульсной характеристики по первой формуле (6.45) указанный скачок не надо дифференцировать, а в (6.48) надо интегрировать при т)0: и(1) = е(1)й(0) + ~ е(т)й»(à — т)дт. (6.49) от Расчет по формулам (6.48), (6.49) составляет содержание метода импульсных характеристик. Этот метод и метод переходных характеристик называют также суперпозиционными методами, а интегралы (6.47), (6.48), (6.49) — суперпозиционными интегралами или интегралами наложения.
Суперпозиционные методы удобны при численном анализе процессов на ЭВМ. Существуют стандартные машинные программы для вычисления интегралов. Поэтому, задаваясь переходной или импульсной характеристикой цепи, можно рассчитать на ЭВМ отклик цепи на заданное входное воздействие с помощью указанных стандартных программ. Пронллюстрируем метод импульсных характеристик на примере )с».-цепи (см. рис. 6.1, а). Для нее нз формулы (6.39) находим )»(0) = О.
Прн прежнем входном воздействии 7(Г)еп' (см. рнс. 6.!4) из формул (6.47), (6.49) получаем ! и(Г) = — ~ е з"е " обт. Произведя интегрирование и приведя подобные члены, получим прежний результат (см. $ 6.!.2, 6.2.2 и 6.2.4). 4 ь.э. операторные методы дндлиэд цаг»рн В отличие от временных методов анализа процессов в цепях операторные метода зоключпются е тои, что вместо искоммк иоиримеива н00 и токов»69 ркссиотрвекютсл ил операторные нзобромеиил н(р), Цр), иизывиеиые такзсе операторным яв»ю»мнением и операторным током. Этн нзобрамення~ 4»ункцнонально связаны с нсиомымн снгналамн иЩ»(»), которые называются орнгииолиин изображение.
Здесь р — новая переменная величина (оператор), которая, будучи комплексным параметром, переводит рассмотрение сигналов из времениьй области в область комплексных величин. Прн операторных методах анализа 287 процессов в цепях определяют отклик цепи иа входное воздействие в виде изображений н(р), г(р), по которым затем нахадят искомыс сигналы и(г), г(г). Рассмотренный ранее спектральный метод анализа леллегсл рпзноопдностзю операторных методов, где операторным изображением сигналов по Фурье служат нх спектры.
Однако в отличие от реальных спектров операторные изображения сигналов в общем случае являются абстрактными математическими понятнямн, которые лишь упрощают анализ процессов в цепах. Степень упрощения анализа зависит от вида функционального преобразования, переводящего оригинал в изображение. Одним нз наиболее аффективных операторных преобразовании такого рода является интегральное преобразование Лапласа.
1. Операторное преобразование Лапласа. Известное из курса математики интегральное преобразование Лапласа имеет внд и(р) = ~ и(1)е жд(, е (6.50) где р = а + )ш — комплексный оператор, а и(р) — операторное напряжение или операторное изображение оригинала (сигнала) и(Г). Аналогично определяется операторный ток 1(р). Интеграл (6.50) внешне напоминает интеграл Фурье (5.!8). Однако между ними имеется принципиальное различие.
В интеграл Фурье (5Н8) входит мнимая частота )ш, а в интеграл Лапласа (5.50) — комплексный оператор, который можно рассматривать как комплексную частоту р = о + )ш. Понятие комплексной частоты встречалось выше при анализе спектральных функций сигналов и передаточных функций цепей. Однако использование этого понятия непосредственно в интегральном преобразовании (б.50) делает его более эффективным по с'равнению с преобразованием Фурье. Например, по формуле (5.18) невозможно непосредственно определить спектр («изображение») сигнала (5.28), как отмечалось ранее. Однако для того же сигнала непосредственно по формуле (6.50) определяется его операторное изображение и(р)= )е нбг= — — е Р'1, = — — е "е ''~е, е Р .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
