Й.Янсен Курс цифровой электроники. Том 1. Основы цифровой электроники на ИС (1987) (1092081), страница 19
Текст из файла (страница 19)
2.42. Если А н В н С замкнуты, то выходной сигнал г=О, прн этом между входными переменными н Р выполняется следующее соотношение: В=А.В С. Для схемы И-НЕ выполняется таблица истинности, которая приведена на рнс. 2.43. он о:с Рис. 2.43. Таблица истинности для функции И-НЕ. Символ схемы И-НЕ приведен на рнс. 2.42,б. В голландской специальной литературе символ в виде квадрата является стандартным обозначением функции И-НЕ. Второй (верхннй) снмвол взят нз спецификации пп!зрес н в основном употребляется в американской специальной литературе. !06 Глава 2 2.2И Функция ИЛИ-ИЕ Пример схемы, реализующей функцию ИЛИ-НЕ, показан на рис.
2.44. Когда А или В или С или несколько этих ключей одновременно замкнуты, выходной сигнал Р=О, так как в замкнутом состоянии (в состоянии 1) ключи замыкают выход схемы на землю, потенциал которой равен О В. я*лвс Рис. 2.44, Функция ИЛИ-НЕ, Связь между входным и выходным сигналами записывается в виде 7=А+В+С. Таблица истинности для функции ИЛИ-НЕ приведена на рис. 2.45. о о о оц о о о ! о о о о о о ! ! Рнс 2 45. Таблица истинности для Функции ИЛИ-НЕ. Элементарные логиыеские схемы 2.22. Дополнения 2.23. Постулаты булевой алгебры Из таблиц истинности для функций И, ИЛИ и НЕ можно получить следующие постулаты: для Функции И Ое0=0 0 1=0 ! 0=0 1 ° 1=! 0+0=0 0+1=! 1+О 1 1+1=1 0=! 1=О, для Функции ИЛИ для Функции ИЕ где О и 1 являются дополнениями для О и 1 соответственно.
2.24. Правила вычислений Для осуществления различных операций с переменными булевой алгебры требуется набор вычислительных правил, который мы приводим ниже. Предполагается, что состояние элемен- и А является дояоляеяием А, если А+А=! в А А=О.— Прим. ред. Связь схемы с последовательным соединением ключей, которая реализует функцию И, со схемой с параллельным соединением ключей, которая реализует функцию ИЛИ, возможна только тогда, когда мы предполагаем, что появление напряжения (!) на выходе схемы оказывает какое-либо воздействие (состояние 1 соответствует истине). Когда же значение «истинно» соответствует состоянию О, это означает, что последовательная схема реализует функцию ИЛИ, а параллельная схема — функцию И (т.
е. «истинно»=О). Указанные дополнения становятся очевидными при более детальном анализе таблиц истинности указанных функций. Так из таблицы истинности для схемы И следует, что реализуемая этой схемой функция ведет себя как функция И для единиц на входе и как функция ИЛИ для нулей на входе. И наоборот, нз таблицы истинности для схемы ИЛИ видно, что эта схема ведет себя как функция ИЛИ для единиц и как функция И для нулей на входе'), Глава 2 та схемы, который постоянно разомкнут, обозначается через О, а состояние элемента схемы, который постоянно замкнут (случай короткого замыкания) — через 1.
Переменные обозначаются с помощью букв и могут принимать значения О или 1. С помощью правил вычислений можно упорядочивать и упрощать сложные логические функции сумм и произведений таким образом, что в конце концов получится минимальная сумма или минимальное произведение. Например, за счет выделения переменной и ее дополнения среди членов какой-то суммы получается упрощенное выражение, так как сумма выделенных члевов будет равна 1 (А+А=1).
Такая же ситуация наблюдается н для произведения переменной на ее дополнение, которое оказывается равным нулю (А.А=О). Эти нули и единицы можно использовать в последующих преобразованиях соответствующих функций или же сразу сократить. Итак, правила вычислений сводятся к следующим: А+О=А А+1=1 А+А=А А+Л=1 А+В В+А А+В С=(А+В) (А+С) А+А В=А А+Л В=А+В Л+А В=Л+В А 0=0 А.!=А АА А А.Л=О А В=ВА А (В+С) =А В+А.С А ° (А+В) =А А (Л-1-В) =А В Л (А+В) =А В Л+Л=Л А В+А В=А.В Л и+Л В=Л.В л л=л Л В+Л В=Л В 2.25.
Теорема Де Моргана Постулат 1. Дополнение суммы равно произведению дополнений переменных, т. е. А+В+ С=А В С. Постулат 2. Дополнение произведения равно сумме дополнений переменных, т. е. А В С=А+В+С. Для уточнения этих постулатов следует пояснить понятие дополнения. Если А является переменной, ее дополнение будет равно А. Дополнениями суммы А+В+С и произведения А В С будут А+В+ С и А В С соответственно. 109 Элел~ента1тные логические схемы Постулаты Де Моргана дают в действительности то же са- мое, что мы уже получили в предыдущих разделах, посвящен- ных схемам И-НЕ и ИЛИ-НЕ.
Согласно таблице истинности схема И-НЕ реализует функцию И-НЕ для единиц и функцию ИЛИ-НЕ для нулей, а схема ИЛИ-НЕ реализует функцию ИЛИ-НЕ для единиц и функцию И-НЕ для нулей. Схема И-НЕ реализует функцию И-НЕ для сигналов высокого уровня и функцию ИЛИ-НЕ для сигналов низкого уровня. Схема ИЛИ-НЕ реализует функцию ИЛИ-НЕ для сигналов высокого уровня и функцию И-НЕ для сигналов низкого уровня.
В булевой алгебре справедливы также ассоциативные, ком- мутативные н дистрибутивные правила, которые известны нам из обычной алгебры. Ассоциативный закон: (А+В)+С=(А+С)+В, (А В) С= (А С) В. Коммутативный закон: А+ В=В+А, А ° В=В.А. Дистрибутивный закон: А ° (В+С) =А В+А С. 2.26. Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) Стандартная сумма булевой алгебры имеет следующий вид: г=Х,+Ха+Х + ° ° ° +Х,. Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) — это функция, представляющая собой сумму, каждое слагаемое которой является произведением всех входных переменных или их дополнений: 2=А В С+А.В С+А В С+А В С. ДНФ является избыточной, если в ней имеется избыток числа членов и переменных по сравнению с необходимым для определения данной функции. В общем случае ДНФ является избыточной.
Если удалить избыточные члены и переменные (т. е. упростить выражение), то получится так называемая минимальная сумма. Приведенная выше стандартная сумма упрощается следующим образом: 7 = (С+ С) А В + (В+ В) А С и так как С+С=В+В=!, то #=А В+А С. Это выражение является минимальной суммой. Если протабулировать рассмотренную выше функцию к н таблице истинности, которая приведена на рис. 2А6, то оказы- по Гл аг о о о т ! о о 1 ГС:2] 1 Рис. 2А6. Таблица истинности для функции Я=Ао+АС. вается, что она полностью определяется выражением А В+ +А.С, т.
е. 2=1 при А.В=1 или А С=1, а во всех остальных случаях 2=0. 2.27. Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) Стандартное произведение имеет следующий вид: Л=Х, Х, Х, ...Х„. Конъюнктивная нормальная форма — это функция, представляющая собой произведение членов, каждый из которых является суммой всех переменных или их дополнений: 2 =(А+ В+С) (А+ В+С) (А+В+С) (А+ В+С). Как и ДНФ, КНФ избыточна. Минимальное произведение является упрощенным нензбыточным произведением. Если мы упростим приведенное выше стандартное произведение Я, то получим г=((А+В)+С.С)((А+С)+В В! Так как С С=В В=О, то Л=(А+В) (А+С).
2.28. Карта Карно Как мы видели в предыдущих разделах, при разработке логической схемы можно минимизировать необходимое число элементарных схем. Эту схему можно упростить с помощью правил булевой алгебры, однако реального успеха можно достичь лишь при хорошем знакомстве с булевой алгеброй. Другой способ оптимизации основан на применении карт Карно — графического Элементарные логические скемы метода, который легко усваивается и оказывается гораздо проще чисто алгебраического метода.
Прежде чем описывать структуру карт Карно, рассмотрим более подробно какую-нибудь логическую функцию с ее таблицей истинности и исследуем следующую проблему: нельзя ли сделать каких-либо упрощений, которые привели бы к уменьшению количества логических операцийР Нееадпадающае лесюп Нееадпадающае япапепая ми к те~ = ее Рис. 2Л7, Таолица истяяиости лля функции Р(11т, Х, У, Х)=Ро+Рь+Рг+Р~е. Пусть дана функция Р()Р', Х, У, Х) с соответствующей таблицей истинности (рис.
2.47). При этом ПУ, Х, У и Х вЂ” переменные, про которые известно, что они входят в состав 16 групп, реализующих 16 различных комбинаций нулей н единиц. Эти комбинации располагаются в двоичном порядке следования, как показано в таблице, Каждый член, т. е. каждая комбинация единиц и нулей в этой таблице, обозначается буквой Р с нижним индексом, который изменяется от 0 до 15. Допустим, что в разрабатываемой логической схеме реализуется следующее соотношение. булевой алгебры: Р=Р,+Р,+Р +Р, =УХУ'Х+ят"ХУ'~+ЦХУМ+'яУХ)т~.
Из таблицы истинности следует, что в членах Р, и Р, переменная Х не дает вклада в ближайшую логическую комбинацию. 112 Г 2 Как для Рм так и для Р, функция Р=1 и не зависит от того, в каком состоянии находится 2. Таким образом, мы можем вычеркнуть 2 и Тв первых двух членах. То же наблюдается для членов Р, и Р,е, в которых можно вычеркнуть 1Р' и У. Оба рассмотренных случая согласуются с результатами анализа в рамках булевой алгебры, так как Р = УХт'л + 1р'ХУ'~+ 1е'ХУ'х.
+ йУХт'х. приводится к Р = УХУ (Л+ Д+ ХУ2 (йр+ У>, и так как 2+Т='йр+У=1, то в результате получается минимальная форма Р = Ф'Хг'+ ХУЛ. Отсюда видно, что таблица истинности позволяет упростить логическое выражение без использования правил булевой алгебры. На карте Карно эти упрощения можно произвести еще быстрее и получить сразу минимальную форму.
2.29. Карта Карно для двух входных переменных На рис. 2.48,а приведена карта Карно для двух входных переменных. Логические члены в ней представлены в отдельных клетках. Для двух переменных получается 2'=4 комбинации, поэтому карта состоит из 4 клеток. На рис. 2.48, б показано, какие поля карты относятся к переменным, а какие — к их дополнениям, т. е. переменным с чертой. Если мы внесем в карту Кар- Пола у ПппаХ Пасам Рис, 2.48. Карта Карно для двух переменных Элсментарноте логические сгамаа но соответствующие комбинации с данными из таблицы истинности с учетом размещения переменных, то получим распределение, показанное на рис. 2.49. Переменные размещаются на карте так, что, когда мы переходим из данной клетки в соседнюю клетку (как по горизонтали, так и по вертикали), должна измениться только одна переменная.
Это означает, что нумерация у о оо ю ! 3 оз Кгум пяггг4 рг уг тг г о о о з о тг оз Рис. 2.49. Разбиение карты Карно для двух переменных. о — заблнца истинности; б — связь клеток с комбинациями неременныа; а — нумерацию клеток. г= уг. тг.
тг ябтг паяя У 11яроггбинт1нуа~ь поля2 га рг. тг. уг = гсо тз. югмп =г. у =у.г Рис. 250. Методы минимизации суммы членов с помощью карты Карно. Одновременно приводятся результаты обработки в рамках булевой алгебры. о о ~п 1р1 клеток происходит с помощью одномерного массива. На рисунке одновременно приводится десятичная нумерация клеток, которая получается из преобразования соответствующего двоичного кода. Если требуется получить карту Карно для какой-нибудь. функции, мы сначала записываем эту функцию в дизъюнктивной нормальной форме. Каждый член, который появляется в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
