Й.Янсен Курс цифровой электроники. Том 1. Основы цифровой электроники на ИС (1987) (1092081), страница 20
Текст из файла (страница 20)
втой форме, задается на карте Карно с помощью 1 в соответствующей клетке. Затем мы группируем единицы в соответст-- 414 Глава 2 вующих полях, которые очерчиваются замкнутыми линиями (рис. 2.50). При изучении карты с очерченными полями оказывается, что если две соседние клетки содержат 1, то из вих всегда можно удалить одну переменную, а именно ту переменную, для которой дополнение располагается в следующей соседней клетке. В клетках 1 и 3 мы встречаем У и У. В клетках 2 и 3 находятся Л и Х Эти переменные удаляются вместе с нх дополнениями.
поле т Поло7 Пале у Поле Г Пале Х Полол Пале Рис. 2.5!. Разбиение полей на карте Карно для трех переменных. В горизонтальном очерченном поле мы сохраняем Л, а в вертикальном очерченном поле — У. В результате получается минимальная сумма, равная У+2. При практическом использовании карты Карно мы не всегда интересуемся тем, какие переменные нужно удалить, а какие сохранить. Важно только то, какие переменные или дополнения переменных сохраняются при формировании минимального члена и затем используются в минимальной сумме. Каждое очерченное поле дает в минимальную сумму один член.
Для определения переменных, которые могут остаться в минимальной сумме, можно воспользоваться следующим правилом: если очерченное поле единиц находится полностью в поле, которое присвоено какой-либо переменной или ее дополнению, то эта переменная или ее дополнение помещается в новый член суммы. На рис. 2.50 единицы в горизонтальном очерченном поле находятся в поле Е, а единицы в вертикальном очерченном поле попадают в поле У, поэтому если данное правило справедливо, то минимальная сумма будет действительно равна У+Я. Карта Карно для трех переменных приведена на рис. 2.51.
Для трех переменных возможны 2'=8 комбинаций, поэтому эта карта состоит из 8 клеток. На рис. 2.51 также показано, какие 115 Элементарные логические схемы поля на карте присвоены соответствующим переменным и их дополнениям.
Если мы снова введем данные таблицы истинности в эту карту Карно, получим распределение, показанное на рис. 2.52. Размещение переменных, которое обеспечивает данное распределение, выполнено так же, как и в случае двух пе- Рис. 2.52. Разбиение карты Карно для трех переменных, о — таблица истинности; б связь клеток с комбннацннми осрсмснимк; е — нумсрацин клеток. ременных, т. е, если мы переходим из какой-либо клетки в соседнюю (как по горизонтали, так и по вертикали), то при этом должна измениться только одна переменная.
В отношении данной таблицы следует отметить, что клетки крайнего левого ряда должны рассматриваться как продолжение клеток, находящихся в крайнем правом ряду. Это означает, что клетки О и 1 рас- Рис. 2,53. Косвенно прилегающие поля. Нпргуальнау ауарна тг Рис, 2,54, Минимизация сунны членов с тремя переменными с помощью карты Карно. 116 г г полагаются против клеток 4 и 5 н их следует рассматривать так, как будто они примыкают непосредственно друг к другу.
На карте Карно это обстоятельство отображается так, как указано на рис. 2.53. В данном примере можно исключить перемен- ныеХиХ. Я к Рис. 2.55. Карта Карно для четырех переменных. а — карта; б ппа» на карте. м аа *Рис. 2.56. Карта Карно, на которую переаесена таблица истинности, приведен- ная на рис. 2.47. В более сложном примере, показанном на рис. 2.54, единицы в клетках 3 и 7 дают нам У7, единицы в клетках 6 и 7 — ХУ и единицы в клетках 0 и 4 — УЛ. Таблица Карно для четырех входных переменных приведена на рис. 2.55. Для четырех переменных возможны 2'=16 комбинаций, которые требуют 16 клеток. На рис. 2.55, б показано, какие поля на карте присванваются определенным переменным и нх дополнениям.
Если ввести в эту карту данные таблицы истинности, то получится распределение, показанное на рис. 2.56. 117 Элементарные логические схемы В отношении этой карты следует отметить, что нижний ряд клеток необходимо рассматривать как примыкающий к верхнему ряду, а левый ряд — к правому. Это означает, что клетка 12считается примыкающей не только к клеткам 4, 8 и 13, но также и к клетке 14.
При заполнении карты Карно для четырех переменных мы также сначала записываем функцию в дизъюнктивной нормальной форме. Затем каждый член, который появляется в нормальной форме, отмечается единицей в соответствующей клетке карты Карно. После этого мы группируем единицы, очерчиваем соответствующие поля и находим минимальную форму, следуя прн этом методу, который уже обсуждался при анализе карты Карно для двух переменных. Поясним этот метод с помощью ряда примеров для карт с четырьмя переменными. Пусть дана функция Р(Ф',Х, У,Л) =Р,+Р,+Р„=УХУЛ+ЮХУЛ+57ХУЛ.
Мы помещаем в клетки (рис. 2.57), которые соответствуют заданным членам, единицы и устанавливаем, что члены, находя1циеся в клетках 1 и 5, прымыкают друг к другу. Эти клетки, а также клетка 15, очерчиваются. Из исходных трех членов ос- Рнс. 2.57. Карта Карно с единицами Рнс.2.55. Карта Карно для Р(рй',Х,У, в клетках 1, 5 н 15. Х) =Рв+Рв+Рт+Рв+Р~в-~-Р~в.
таются только два. Единицы в клетках 1 и 5 лежат внутри полей 1)7, Гн Л, но не внутри полей с Х и Х, поэтому последние переменные можно исключить. Таким образом, для Р, и Р, мы сохраняем единственный член с ФУЯ. Отсюда получаем функцию с минимальной формой Р (Вт, Х, У, Л) = В" т'г, + В'ХУЯ. Член Рм остается в прежнем виде, потому что для него мы имеем в соответствующей клетке 1.
Рассмотрим подробно еще пв Глава 2 один пример функции Р(0Г,Х,У,Р=Р,+Р,+Р,+Р,+Р„+Р„= =ФХУХ+ ФХУЛ+ 1РХУХ+ (РХУХ+ 1РХУХ+ 0УХЮ. После заполнения единицами клеток с соответствующими членами получается карта, показанная на рнс. 2.58. Мы можем объединить единицы в три группы, соответствующие комбинациям 0-8, 5-7 и 12-14.
Комбинации 0-8 и 12-14 являются примыкающими. Клетки 0 и 8 лежат в полях Х, У и Х, клетки 5 и 7— в полях 11У, Х и Х, а клетки 12 и 14 в в полях 10', Х и Х Таким образом, таблица Карно дает функцию с минимальной формой вида Р(ЯУ,Х,У,Л) =ХУЕ+(улХЯ+0УХХ. 2.30. Комбинации большого числа единиц на одной карте Очевидно, что число примыкающих клеток на карте не ограничивается двумя.,Возможны также и другие комбинации. Мы приведем примеры таких расширенных комбинаций. Рис.
2.59. Карта Карно с четырьмя Рис. 2.бб. Карта Карно с минимальной единнцами в одном ряду и четырьмя суммой Г=ХЕ+ХЕ. единицами в одном квадрате. На рис. 2.59 приведена карта, которая содержит четыре единицы в одном ряду и четыре единицы в одном квадрате. Четыре единицы в одном ряду встречаются в полях У и Х Эти единицы располагаются и в полях ЯУ и Я7, Х и Х, однако здесь результатом является исключение соответствующих переменных. Х и У находятся в квадрате, который можно представить себе, если левый ряд карты примкнуть к правому.
я и яу, появляющиеся в комбинациях Л и Ти йт" и Ф, соответственно сокращаются. Элементарнаы логические схемы Отсюда получаем минимальную форму Р()ьо, Х, У, Е) =У2+ХГ. Другой пример показан на рис. 2.60. Единицы в квадрате находятся в полях 2 и Х, ЯУ и )й', У и У. Последние два поля исключаются. Единицы, размещенные в углах, принадлежат полям Х и Л. Здесь ЯУ и йт, а также У и У исключаются. Отсюда получаем минимальную форму Р(бУ,Х, У,г) =Хг+Хг.
В третьем примере на рис. 2.61 мы имеем 8 примыкающих единиц, которые находятся в поле У. Другие переменные появ- Рис. 2.61. Карта Карно с восемью Рис. 2.62. Карта Карно с двумя поля- смежными единицами. ми по 4 единицы в каждом поле. ляются со своими дополнениями в этих же 8 клетках и поэтому сокращаются. В результате получается минимальная форма Р ()хт, Х, У, 2) = У. Приведем еще один пример двух полей с 4 единицами, расположенными у краев карты Карно (рис.
2.62). Эти поля образуют прямоугольник, так как и здесь можно представить, что левый ряд единиц примыкает к правому. Единицы находятся в поле Х. В данном примере также появляются и другие переменные со своими дополнениями, которые исключаются. В результате получается минимальная форма Р (77, Х, У, Л) = Х. Можно представить ситуацию, когда два поля единиц перекрываются так, как показано на 'рис. 2.63. Это вполне допустимо. На этой карте мы видим три очерченные области. Миннмальные члены, которые дают вклад в соответствующие обла.
сти, указаны на рисунке. 120 Глава 2 Результатом является следующая минимальная сумма: г (йр, Х, У, 2) = 'й«Х+ ХЛ+ 1к'Гл. Если области, заполненные единицами, отличаются по форме от квадрата или прямоугольника, нх следует сначала разделить на «элементарные» прямоугольники и квадраты, состоящие ирл Рис. 2.63. Карта Карно, в которой поля с едн- нинами пересекаются между собой. из 2, 4 или 8 клеток. Группы из 2, 4 и 8 клеток затем рассматриваются отдельно. Две сгруппированные клетки приводят к упрощенному члену с тремя переменными, четыре такие клетки дают член с двумя переменными, а восемь клеток — упрощенный член с одной переменной.
Это означает, что в новой упрощенной сумме мы получим столько членов, сколько окажется полей на данной карте Карно. Нят нут я= яг ° я ы яят яа ягыт На ° и»с. я е влит иг Рис. 2.64, Выделение полей. На рис. 2.64 показано несколько случаев такого разделения. Связь, которая существует между полями на карте Карно, заполненными единицами, и различными совпадениями, наблюдаемыми в таблице истинности, показана также на рис. 2.65. !2! Элементарные логические схемы са от м Ряс 2.6З. Связь, которая возникает между полями, заполненными единицами, на карте Карно ц разливными совпадениями в таблице истинности.
а — табанца асти«наст«; б — карта Карно Здесь рассматривается функция Г !!р, Х, !х, г) = !з, + !з, + Р, + !з, + р, + р, + !з, + +т а+ сто+ птт+~ аз+ Ры+Рмм Совпадения приводят к разделению на четыре поля А, В, С и 0 так, что мы имеем ~А Ро+~ 1 ~В ~ в+ зт+ ~ 6+~ 41 по= ~ з+ об+~ ы+! ы р, = рта+ рва+ Ры+ рв.
Для РА значение переменной Л не играет роли, так как при 2=0 или ! в обоих случаях Р= !. Упрощенный член имеет вид Р„= !р'ХУ. 122 г г В случае Рв преобладают переменные йу и Х, а исключаются У и Х. Упрощенный член записывается в виде Рв — — Я7Х. В случае Рс преобладают У и Я, а исключаются мр и Х. Упрощенный член имеет вид Рс = УХ. Наконец, в случае Ро преобладают йр и Л и исключаются Х и У, так что мы получаем следующий упрощенный член: Ро — — мУХ. Если мы внесем эти частные функции, очерченные в таблице истинности, в карту Карно, то увидим знакомые нам квадраты и прямоугольники, с которыми мы уже имели дело выше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
