Автореферат (1091497), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Если выполняются условия (15), то решение обратнойзадачи QRε1 , l1 существует и единственно и выражается формулами (16) и(17):πn12γ0 γ1 1)+l1 =arctg( 2.(17)Aγ1γ1 − γ02 Im Bγ1Толщина диафрагмы l1 восстанавливается однозначно, если существуют два числа l2 и l1 такие, что l2 > l1 и π/γ1 < |l2 − l1 | < 2(π/γ1 ).Для обратных задач PεC1 (l1 ≪ 1) и QCε1 (l1 ≪ 1) доказаны следующиетеоремы соответственно.11Теорема 1.5. Решение задачи PεC1 (l1 ≪ 1) выражается формулой 2iA iγ0 l1π2ε1 ≈ γ01− e− γ0 + 2 k0−2 .(18)l1FaТеорема 1.6.
Решение обратной задачи QCε1 (l1 ≪ 1) в случае тонкойодносекционной диафрагмы выражается следующей! формулой:BBπ22γ02A −1A − γ0 B+ 2 k0−2 .(19)ε1 ≈ iBl1 A + 1a+1AДля анизотропной односекционной диафрагмы предложен метод поворота диафрагмы, с помощью которого решаются поставленные обратные задачи: PεbR1 , PµbR1 , QRµb1 , PεbR1 ,µb1 .Суть метода состоит в том, чтобы, пространственно ориентируя диафрагму относительно волновода определенным образом, получить ряд измерений для каждого положения диафрагмы в волноводе ина основе данных измерений (коэффициентов F ) определить все трикомпоненты тензора.Обозначим измерения при поворотах диафрагмы верхним индексомj = 1, 2, 3, где j = 1 – исходное положение диафрагмы; j = 2 – поворотна угол ϕ = π2 относительно оси Oz и j = 3 – поворот на угол ϕ = π2относительно оси Ox.Для обратных задач PεbR1 и PεbR1 ,µb1 доказаны следующие теоремы.Теорема 1.7.
Пусть известны проницаемости (j) тензор магнитнойiγ0 l1(j)(j)iγ0 l1(j)b1 , ρи ρ(j) < 1,= Im Ae /Fµ= Re Ae /F , ζ(ρ(j) )2 + (ζ (j) )2 ≥ 1, j = 1, 2, 3. Тогда решение обратной задачи PεbR1 существует и единственно и выражается формулами: 1π 2 µ22 τ (2) 2ε11 = 2+,ω µ22 ε0a µ33l1 1π 2 µ11 τ (1) 2ε22 = 2+,(20)ω µ11 ε0a µ33l1 π 2 µ11 τ (3) 21+,ε33 = 2ω µ11 ε0a µ22l1где (1) p + (ρ(1) )2 + (ζ (1) )2 − 1µ11 ζ(1)p,τ (1) = τ1 = γ0 l1µ01 − (ρ(1) )2 (2) p + (ρ(2) )2 + (ζ (2) )2 − 1µ22 ζ(2)(2)pτ = τ1 = γ 0 l 1,(21)µ01 − (ρ(2) )2 (3) pζ + (ρ(3) )2 + (ζ (3) )2 − 1µ11(3)pτ (3) = τ1 = γ0 l1,µ01 − (ρ(3) )212(j)(2)(j)(2)при условии, что (τ1 µ0 )/(γ0 l1 µ11 ) ≥ 1 (j = 1, 3) и (τ1 µ0 )/(γ0 l1µ22 ) ≥ 1,(j)(j)(j)(j)= sign sin τ1ε11 > ε0 , ε22 > ε0 , ε33 > ε0 , cos τ1 = ρ , sign ζ(j = 1, 2, 3) иpµ1 − (ρ(1) )211(1)(1) pτ = τ2 = γ 0 l 1,µ0 ζ (1) + (ρ(1) )2 + (ζ (1) )2 − 1p1 − (ρ(2) )2µ22(2) pτ (2) = τ1 = γ0 l1,(22)µ0 ζ (2) + (ρ(1) )2 + (ζ (2) )2 − 1p1 − (ρ(3) )2µ11(3)(3) p,τ = τ1 = γ 0 l 1µ0 ζ (3) + (ρ(3) )2 + (ζ (3) )2 − 1при условии, что (τ1 µ0 )/(γ0 l1 µ11 ) < 1 (j = 1, 3) и (τ1 µ0 )/(γ0 l1µ22 ) < 1,(j)(j)(j)(j)= sign sin τ2ε11 > ε0 , ε22 > ε0 , ε33 > ε0 , cos τ2 = ρ , sign ζ(j = 1, 2, 3).Иначе обратная задача PεbR1 не имеет решения.Теорема 1.8.
Пусть известны значениемагнитной (j)прони (j) µ33 тензораiγ0 l1(j)(j)iγ0 l1(j)b1 , ρ = Re Aeи ρ < 1,цаемости µ/F , ζ = Im Ae /F(ρ(j) )2 + (ζ (j) )2 ≥ 1, j = 1, 2, 3. Тогда решение обратной задачи PεbR1 ,µb1существует и единственно и выражается формулами: 2−2−2π 2(ω−ω)µ012µ11 = a 2 µ−1(23)33 ,2e (1) (ω2 )e (1) (ω1 )γ0QQ−ω2ω1 2−2−2π 2(ω−ω)µ0(24)µ−1µ22 = a 2 1 2 233 ,(2)(2)eeγ0Q (ω2 )Q (ω1 )−ω2ω1где (j) pζ + (ρ(j) )2 + (ζ (j) )2 − 1(j)epQ =, j = 1, 2,1 − (ρ(j) )2компоненты диэлектрического тензора определяются либо по форму(j)лам (20)–(21) при условии, что (τ1 µ0 )/(γ0 l1 µ11 ) ≥ 1 (j = 1, 3) и(2)(j)(τ1 µ0 )/(γ0 l1 µ22 ) ≥ 1, ε11 > ε0 , ε22 > ε0 , ε33 > ε0 , cos τ1 = ρ(j) ,(j)(j = 1, 2, 3), либо по формулам (20), (22) приsign ζ (j) = sign sin τ1(j)(2)условии, что (τ1 µ0 )/(γ0 l1 µ11 ) < 1 (j = 1, 3) и (τ1 µ0 )/(γ0 l1 µ22 ) < 1,(j)(j)(j)(j)ε11 > ε0 , ε22 > ε0 , ε33 > ε0 , cos τ2 = ρ , sign ζ= sign sin τ2(j = 1, 2, 3).Иначе обратная задача PεbR1 ,µb1 не имеет решения.13Таким образом, теоремы 1.7 и 1.8 дают ответ на вопрос существования и единственности решения обратных задач PεbR1 и PεbR1 ,µb1 .В главе 2 рассматриваются задачи восстановления электромагнитных параметров многосекционной диафрагмы в прямоугольном волноводе.Постановка обратных задач для анизотропной многосекционной диафрагмы (класс M)Сформулируем постановки обратных задач в случае изотропноймногосекционной диафрагмы:Постановка обратных задач PεRj , PεCj (QRεj , QCεj ): требуется поизвестному коэффициенту прохождения F/A (или отражения B/A)электромагнитного поля определить вещественную или комплексную диэлектрическую проницаемость εj (j = 1, .
. . , n) каждой секцииизотропной диафрагмы.Постановка обратных задач PεRj , lj (QRεj , lj ): требуется по известному коэффициенту прохождения F/A (или отражения B/A ) электромагнитного поля определить вещественную диэлектрическуюпроницаемость εj (j = 1, . . . , n) и толщину lj (j = 1, . . . , n) каждойсекции изотропной диафрагмы.Постановка обратных задач PεCj (lj ≪ 1)( QCεj (lj ≪ 1)): требуется по известному коэффициенту прохождения F/A (или отраженияB/A) электромагнитного поля определить комплексную диэлектрическую проницаемость εj каждой секции изотропной тонкой (l1 ≪ 1)многосекционной диафрагмы.Сформулируем постановку обратной задачи в случае анизотропноймногосекционной диафрагмы.Постановка обратной задачи PεbRj : требуется по известному коэффициенту прохождения F/A электромагнитного поля определитьтензор диэлектрической проницаемости εbj каждой секции анизотропной многосекционной диафрагмы.Для решения обратной задачи PεCj используется следующая формазаписи формул (6)–(7):2Aγ0 eiγ0 lnG (h) = H, H =,(25)Fгде(+)(+)γn pn+1 + γ0 qn+1, h := (ε1 , .
. . , εn ) .(26)G (h) =nQγjj=0Тогда рассматривая (26) как комплексную функцию n комплексныхпеременных, доказываются теорема 2.1 и теорема 2.2 методами теории функции комплексных переменных, а именно с использованием теоремы Хартогса. В этом случае постановка обратной задачи имеет следующий вид.14Постановка обратной задачи PεCj :Пусть даны n различных частот Ω = (ω1 , . . . , ωn ) и функции Gj (h) := G (h, ωj ), j = 1, n. Необходимо найти решение нелинейной системы из n уравнений относительнонеизвестных ε1 , . . . , εn :Gj (h) = Hj , Hj = H (ωj ) , j = 1, n.(27)Ответ на вопрос существования и единственности решения обратной задачи PεCj дает следующая теорема.Теорема 2.1. Функция G (h) – голоморфная функция на Cn какфункция n комплексных переменных.Теорема 2.2.
(теорема существования и единственности решения обратной задачи PεCj ). Если (27) выполняется при h=h∗ , и если1 ,G2 ,...,Gn )∗якобиан ∂(G∂(ε1 ,ε2 ,...,εn ) 6= 0 в точке h , тогда функция G (h) локально обратима в окрестности точки h∗ и обратная задача имеет единственноерешение для каждого h из этой окрестности.Для решения обратной задачи QCεj используется следующая формазаписи формул (9)–(10):AG(B) (h) = H, H = ,(28)Bгде(+)(+)γn pn+1 + γ0 qn+1(B)G (h) =(29)(−)(−)γn pn+1 + γ0 qn+1и h := (ε1 , .
. . , εn ).Тогда рассматривая (29) как комплексную функцию n комплексныхпеременных, доказываются теоремы 2.3, 2.4. В этом случае постановкаобратной задачи имеет следующий вид.Постановка обратной задачи QCεj :Пусть даны n различных ча-(B)стот Ω = (ω1 , . . . , ωn ) и функции Gj (h) := G(B) (h, ωj ), j = 1, . . . , n.Необходимо найти решение нелинейной системы из n уравнений относительно неизвестных ε1 , . .
. , εn :(B)(30)Gj (h) = Hj , Hj = H (ωj ) , j = 1, . . . , n.Для обратной задачи QCεj доказаны следующие теоремы.Теорема 2.3. Функция G(B) (h) – голоморфная функция на Cn какфункция n комплексных переменных.Теорема 2.4. (теорема существования и единственности решения обратной задачи QCεj ). Если (30) выполняется при h = h∗ , и(B)(B)(B)∂ (G1 ,G2 ,...,Gn )6= 0 в точке h∗ , тогда функция G(B) (h)если якобиан∂(ε1 ,ε2 ,...,εn )локально обратима в окрестности точки h∗ , и обратная задача имеетединственное решение для каждого h из этой окрестности.Условия неравества нулю якобиана в теоремах 2.3, 2.4 можно проверить численно.
Таким образом, теорема 2.3, 2.4 показывают возможность корректного решения рассматриваемых задач.15Глава 3 посвящена численному методу решения систем нелинейныхуравнений, которые соответствуют рассматриваемым в диссертации обратным задачам. Разработанный метод представляет собой модифицированный метод Левенберга–Марквардта. Новизна заключается в выбореначального приближения. Выбор начального приближения осуществляется двумя способами:1) с помощью решения задачи для тонких диафрагм;2) с помощью решения задачи для односекционной диафрагмы.В случае решения реальной задачи значения коэффициентов прохождения или отражения известны из эксперимента.Рассмотрим алгоритм решения обратной задачи для многосекционной диафрагмы.1.
На первом шаге мы предполагаем, что исходная многосекционнаядиафрагма представляет собой односекционную диафрагму. С помощьюаналитических формул (10)-(11) определяем так называемую эффективную диэлектрическую проницаемость εef f всей диафрагмы.2. Значение эффективной диэлектрической проницаемости, полученное на первом шаге, используется в качестве начального приближенияx0 для решения обратной задачи для многосекционной диафрагмы.3.
Далее решается нелинейное уравнение или система нелинейныхуравнений исходной обратной задачи для многосекционной диафрагмыметодом Левенберга–Марквардта по следующему алгоритму.3.1. Выполняется вычисление по следующей формуле:xi+1 = xi − (H + λdiag[H])−1 ∇f (xi ),где H – матрица Гессе, вычисленная в точке xi ; diag[H] – диагональгессиана; λ – задаваемый параметр,mX∇f (x) =rj (x)∇rj (x) = J(x)T r(x),j=1nQγj (ωj )Fj=0.rj (x) = (ωj ) −(+)(+)Ae−iγ 0 ln γn (ωj ) p̃n+1 (ωj ) + γ0 (ωj ) q̃n+1 (ωj )23.2. Оценивается невязка rj в новом векторе параметров.
Если|f (xi )| < δ для ранее заданной погрешности δ, то переходим к шагу4. Если нет, то переходим к следующему шагу.3.3. Если в результате вычисления параметра невязка увеличилась,вернуться на шаг назад и увеличить λ в 10 раз. Затем повторить выполнение, начиная с шага 1.4. В результате решения уравнения или системы уравнений находимзначения диэлектрической проницаемости каждой секции диафрагмы.Данный алгоритм применяется в изотропном случае.
Расчеты показали эффективность выбора метода Левенберга–Марквардта.В случае односекционной диафрагмы, заполненной средой с комплексной диэлектрической проницаемостью, выбор начального приближения может быть осуществлен с помощью решения соответствующейзадачи для тонкой диафрагмы с комплексной проницаемостью.16В анизотропном случае выбор начального приближения осуществляется аналогично. Здесь в качестве начального приближения выбираетсядиагональный тензор с равными εef f ненулевыми компонентами.В главе 4 представлены описания комплексов программ (Приложение 2) и численные результаты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
