Диссертация (1090191), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Распределение Вейбулла (Вейбулла – Гнеденко) применяется тогда, когдавероятность (интенсивность) событий меняется с течением времени (в отличие отэкспоненциального распределения, при котором интенсивность потока постоянна). С помощью этой модели оценивают время функционирования (безотказнойработы) многих технических систем, если вероятность отказа меняется с течениемвремени.Здесь λ выступает параметром масштаба (при его изменении кривая распределения сжимается или растягивается; имеет те же единицы измерения, что и х), апоказатель степени m при х – параметром формы (таблица 2.3).
Интенсивностьотказа – вероятность отказа после момента времени t на единицу времени Δt приусловии, что до момента t отказа объекта не было, определяется по формулеλ( x) =f ( x).1 − F ( x)(2.1)Следовательно, интенсивность отказов – это отношение числа отказавших (погибших) объектов к объектам, которые еще не отказали (остались «живыми») в заданном интервале времени.
Эта функция интенсивности отказов имеет Uобразную форму, физический смысл которой в теории надежности заключается вследующем. На ранней стадии жизни объекта (в так называемый период прира-84ботки, или обкатки) риск его выхода из строя (отказ) достаточно велик (явление«детской смертности), то есть функция λ(х) имеет высокие значения. Далее интенсивность отказов уменьшается до определенного предела – у функции λ(х)проявляется явная тенденция к убыванию (чаще всего она монотонно убывает).Это можно объяснить наличием объектов с явными и скрытыми дефектами, которые приводят к относительно быстрому выходу из строя этих изделий. Затем наступает более продолжительный период нормальной эксплуатации, характеризующийся приблизительно постоянной (не зависящей от времени) и сравнительнонизкой интенсивностью отказов.
Природа отказов в этот период носит внезапныйхарактер (аварии, ошибки эксплуатационных работников и т.п.) и не зависит отдлительности эксплуатации единицы продукции [468]. Далее интенсивность отказов вновь увеличивается из-за старения (износа) изделий. Причина отказов в этотпериод – в необратимых физико-механических и химических изменениях материалов, приводящих к прогрессирующему ухудшению качества продукции иокончательному полному выходу ее из строя.Каждому периоду соответствует свой вид функции λ(х). Рассмотрим класс степенных зависимостейλ(х) = λ0mxm–1,(2.2)где λ0 > 0 и m > 0 – некоторые числовые параметры. Значения m < 1, m = 0 и m > 1отвечают виду интенсивности отказов в периоды приработки, нормальной эксплуатации и старения соответственно.
Следовательно, для m < 1 интенсивностьотказов λ будет монотонно убывающей функцией, а при m > 1 – монотонно возрастающей (рисунок 2.2).Соотношение (2.1) при заданной интенсивности отказа λ(х) – дифференциальное уравнение относительно функции F(x).Рисунок 2.2 – Зависимость интенсивности отказов от времени85В первом приближении параметр формы m соответствует обратной величине коэффициента вариации выборки V [378] и определяется с помощью гамма-функции.Особенностью распределения Вейбулла является то, что с изменением параметра формы m изменяется и характер зависимости показателей надежности отвремени (рисунок в таблице 2.3).
Благодаря этому, все периоды эксплуатацииможно описать одним и тем же семейством распределения f(x). Данное свойствораспределения позволяет соответствующим подбором параметров λ и m обеспечить хорошее совпадение результатов опытных данных с аналитическими выражениями показателей распределения f(x).Экспоненциальное распределение – частный случай распределения ВейбуллаГнеденко, соответствующий значению параметра формы m = 1.6.
Гамма-распределение применяется, если мода рассматриваемой случайнойпеременной не равна 0.Оно хорошо описывает многие ситуации в экономике и менеджменте, теории ипрактике надежности и испытаний, в различных областях техники, метеорологиии т.д. В частности, гамма-распределению подчинены такие величины, как общийсрок службы изделия, длина цепочки токопроводящих пылинок, время достижения изделием предельного состояния при коррозии, время наработки до k-го отказа, k = 1, 2, …, и т.д.
Продолжительность жизни больных хроническими заболеваниями, время достижения определенного эффекта при лечении в ряде случаевимеют гамма-распределение. Это распределение наиболее адекватно для описания спроса в экономико-математических моделях управления запасами (логистики). На рисунке в таблице 2.3 приведено гамма-распределение с α = 2, β = 2.7. Так как при изучении отходообразования нас интересуют время выбытииизделий из эксплуатации и остаточный срок службы, здесь применимы еще дваподхода, используемые в медицине, биологии, актуарной практике и в экономических науках при оценке материальных и нематериальных активов.При исследовании продолжительности жизни организмов составляются таблицы времен жизни (смертности), содержащие данные о смертности за выбран-86ные интервалы времени, и строятся кривые выживания или смерти (рисунок 2.3).Эти таблицы используются для расчета средней продолжительности жизни организма и вероятной продолжительности его жизни в любом возрасте [369].
Болеечасто, чем обычная функция распределения, в этих методах используется так называемая функция выживания s(t), представляющая собой вероятность того, чтообъект проживет время больше t [537, 623]:s(t) = P(T > t) = 1 – F(t).Построение таблиц времен жизни, подгонка распределения выживаемости,оценивание функции выживания с помощью процедуры Каплана-Мейера являются описательными методами исследования цензурированных (неполных) данных.Рисунок 2.3 – Числа умирающих dx (распределениенаселения по продолжительности жизни)С точки зрения статистики в анализе выживаемости участвуют три вида данных:– собственно время до наступления события – количественная переменная, выраженная в годах, месяцах, днях, часах и т.п.;– индикатор события (цензор) – качественная переменная, указывающая, произошло ли основное событие;– факторы, влияющие на выживаемость, то есть, частоту и временное распределение событий.Таблица времен жизни (таблиц выживания, или демографических таблиц)представляет собой «расширенную» таблицу частот.
Область возможных временнаступления критических событий (смертей, отказов и др.) разбивается на некоторое число интервалов. Для каждого интервала вычисляется число и доля объектов, которые в начале рассматриваемого интервала были «живы», число и доля87объектов, которые «умерли» в данном интервале, а также число и доля объектов,которые были изъяты, или цензурированы в каждом интервале.8. Кривые Айова (Survivor Iowa) – один из инструментов определения оставшегося срока службы. В инженерной практике и экономике используется сходныйс предыдущим подход при наличии возрастных данных о выбывших из эксплуатации машинах и оборудовании для оценки выбытия и прогнозирования вероятных сроков службы аналогичных изделий, остающихся в эксплуатации.По имеющимся данным строятся кривые выживаемости – нисходящие графики(или графики в форме перевернутой буквы S), отображающие количество единицобъектов определенного возраста, которые все еще действуют (активны) по сравнению с предыдущим возрастным интервалом [478].
Ординаты или значения пооси y кривой в любом конкретном возрасте, измеряемом по оси x, представляютпроцент или фактическое количество единиц в исходной группе объектов, которые все еще действуют (т.е. находятся в эксплуатации) в этом возрасте. Построенная кривая выживаемости начинается со 100 процентов действующих объектовв нулевом возрасте и доходит до y процентов действующих объектов в возрасте x.Кривые выживаемости аналитического типа (теоретические кривые) получаются спомощью различных количественных методов изучения и анализа фактическихданных о выбытии объектов. На рисунке 2.4 показано, какие характеристики и какможно определить по кривой выживаемости.Рисунок 2.4 – Кривая выживаемости объектов [478]88В результате исследований эмпирических данных, относящихся к характеристикам сохранивших работоспособность объектов промышленных и коммунальных предприятий многих различных видов, были построены оригинальные кривые выживаемости типа Айова.
Эти данные включали эмпирические наблюденияв отношении: рельсовых шпал, крытых железнодорожных вагонов, телефонныхстолбов, станционного оборудования (например, телефонного оборудования),электрических трансформаторов и электропроводов, автомобилей, грузовых автомобилей коммерческого образца и т.д.На основе 176 стандартных кривых выживаемости, построенных по эмпирическим данным, были выведены три оригинальных семейства или типа кривых Айова, в зависимости от того, где на кривой распределения вероятностей находитсямода плотности распределения: слева от среднего срока службы – левомодальные (L), симметрично – симметричные (S) или справа – право-модальные(R) (рисунок 2.5).Рисунок 2.5 – Различные типыкривых выживаемостиL-кривые характеризуются положительной асимметрией, длинным хвостомсправа от моды и отрицательным старением объектов, то есть объекты выбываютиз эксплуатации более интенсивно до достижения своего среднего срока службы.Чем дольше объект эксплуатируется, тем меньше вероятность того, что он выйдетиз строя, то есть здесь функция риска уменьшается при больших значениях t.
Этоимеет смысл, когда отдельные компоненты объекта различаются по качеству:плохо сделанные компоненты обычно выбывают рано, поэтому все, что находитсяв эксплуатации в течение длительного времени, вероятно, является особеннопрочным и, как правило, будет дольше жить.
Такому распределению могут бытьтакже подвержены объекты, различающиеся по условиям эксплуатации и защит-89ным (ремонтным) мероприятиям (рисунок 2.6), например, обработанные деревянные покрытия служат гораздо дольше необработанных, свесы на крышах защищают стены от действия осадков и прямых солнечных лучей, коррозия быстрееразъедает незащищенный металл и т.п.Рисунок 2.6 – Лево-модальнаякриваяS-кривые симметричны относительно среднего значения кривой в форме колокола и предсказывают, что объекты будут выбывать с одинаковым темпом в любом заданном возрасте по обе стороны от среднего срока службы.Для R-кривых характерны отрицательная асимметрия, длинный хвост слева отмоды и положительное старение объектов, то есть объекты выбывают из эксплуатации в основном после достижения среднего срока службы, а функция рискавозрастает при больших значениях t.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
