Степаненко И. Основы теории транзисторов и транзисторных схем (1977) (1086783), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Имеется результирующий ток; поэтому, в частности, полупроводник должен быть элементом замкнутой пепи Соответственно помимо демберовского поля, со- средоточенного вблизи инжектируюшей поверхности, во всей толще полупроводника действует «обычное» вЂ” омическое поле, обусловленное приложенным напряжением. 2. Потоки дырок и электронов направлены в р а з и ы е стороны: дырки двигаются в глубь кристалла, а электроны — в сторону инжектируюшей поверхности, в район электронно-дырочного «облачка», где происходит интенсивная рекомбинапия и необходимо пополнение основных носителей.
результируюший ток является суммой дырочной и электронной составляюших. 3. В связи с постоянством результирующего тока дырочная и электронная составляющие меняются в разные стороны: убывание дырочнаго тока от поверхности в глубь кристалла сопровождается соответствуюшим ростом электронной составляющей. На самой инжектпрующей поверхности электронный ток равен нулю, так как близко к нулю электрическое уте «ге~~ 1р» о Ю поле. Следовательно, в непосред ственной близости ат инжектируюРис.
1-32. Моиополирнвп диЧ«рувия в'результате иижокции рок шей поверхн 'и 'бу 'пален в влектроиимй полупроволвик. только дырками. В глубине крис- талла, где дырочный ток благодаря рекомбинапии делается равным нулю, обрашается в нуль и диффузионная составляющая электронного тока. Следовательно, вдали от инаектируюшей поверхности ток обусловлен только электронами и имеет чисто дрейфовый характер: электроны дввгаются а омическом поле, созданном внешним напряжением.
Указанные отличия принципиальны с физической точки зрення. С математической же точки зрения распределения бр (х) я Ли (х) = Лр (х) описываются либо уравнением биполярной диффузии (1-102) (еслн полупроводннк близок к собственному), либо (в случае электронного полупроводника) уравнением (1-78а). Что касается выражения для поля Е, то оно в данном случае будет отличаться от (1-1006), поскольку результирующий ток не равен нулю. Подставляя (1-72) и (1-73) в (1-71), легко получить: (1-108) т.
е отношением концентрация избыточных носителей к равновес- ной концентрация основных носителей. Малому возмущению соот- ветствует неравенство 6 <, '1, т, е. (1-1091 Ьр -'Ьл ~ ла. которое называют условием низкого Уровня инжащии. Это условие дает право пренебречь эффектом модуляции проводимости на возмущенном участке и принять в формуле (1-103а) соотношение о = о„ь ор, характерное для равновесного электронного полупроводника.
Следствием этого мох~но считать равенство О, = Вр, Йиффузионное приближение характеризуется тем, что в уравнении (1-102) пренебрегают членом с Е. С учетом этого пренебрежения, а также условия В, = Ор уравнение (1-102) переходит в диффузионное уравнение (1-79а). Поделив обе части (1-79а) на 0„, запишем нестацнонарный я стационарный варианты диффузионного уравнения в следующем ваде: (1-110а) (1-110б) Рад Лр тр дар дх~ Тт Е" й ' а Р сР лр ай — — — =О. йР гч Р Сравнивая (1-108) с (1-100б), замечаем, что поле прн монополярной диффузии складывается нз постоянной (омнческой) и демберовской составляющих. В глубоких, квазиравновесных слоях, где арЯх = О, остается омяческое поле Е = ~!а в соответствии с выражением (1-104) для однородного полупроводника. Строгое решение задачи о распределении носителей при моно- полярной диффузии затруднительно.
Поэтому решим эту задачу для малых возмушеннй и в диффузионном прнблнженяи Величину возмущения принято характеризовать уровнем ин- Ж6КЦИИ Величина 1. (индекс для общности опушен) определяется выражением 1. =)/От; (1-111) она имеет размерность длины и носит название средней диффузионной длина или средней длины диффузии. Физический смысл величины Е будет ясен из дальнейшего. Остановимся сначала на с т а ц и о н а р н о м уравнении (1-110б). Как известно, его решение является суммой двух экспонент ,Ьр (х) А,е '~~ь+ Азе"~~а> (1-112) где коэффициенты А, и Аз определяюгся из граничных условий (обычно при х = 0 и х = ш). Если гс = оо и Лр (сс) = О, то А, = = 0 и А, = Ьр (0).
Тогда (1-113) Лр (х) = Лр (0) е т. е. избыточные концентрации спадают по экспоненте. Это один из характерных случаев в теории полупроводниковых приборов. Из выражения (1-113) следует, что дирфузионная длина есть то расстояние, на ксторои концентрация диффундируюи(их носителей (при их экспоненциальном распределении) уиеньшаетсл е е раз. На участке длиной (3 —:4) й концентрация уменьшается в 20 — 50 раз, т. е, становится пренебрежимо малой по сравнению с исходной.
Дифференцируя (1-113), получаем градиент концентрации: (1-114 ) На инжектирующей плоскости, т. е. в точке х = О, ыр зр (о) (1-114б) Как видим, при экспоненциальном распределении носителей градиент их концентрации (в том числе начальный) пропорциона- лен избыточной концентрации в каждой данной точке, В процессе диффузии избыточные носители (в нашем случае— дырки) приобретают определенную скорость, которую можно оце- нить из соотношения (см.
сноску ч на с. 42): и =//Х, гле ). = 4 Лр — плотность заряда избыточных дырок. Используя выражения (1-73а), (1-114а) и опуская для общности индекс р, получаем диффузионную скорость в виде 0 л пд ь= ь. = —. ° Следовательно, при экспоненднальном распределении носителей их диффузионная скорость является постоянной величиной. Исходя из выражения (1-115), можно дать еп(е одно определение величины Е: диффузионная длина есть то среднее расстояние, которое носители в процессе диф4узии проходят за время жизни. Если подставить орЯх нз (1-114а) в (1-73а), получим выражение длл диффузионной составллющей лырочного тока.
Запишем ее в следующем виде: — к~У. ((р) нз (х) =()р)м«З (0) е л, (1-1!ба) где граничное значение в точке х = 0 бл) (О) = дП, ао (о) 1.л Зал«еппи, что зто граничное значение совпадает с полным током: йл),р (О) = 1. (1-1!7) поскольку нри х = 0 электронный ток отсутствует (см, начало данного раздела, п. 3), а дрейфовой составляющей дырочяого тока мы пренебрегли с самого на- чала, приняв «диффузяоньое приближеннез. Подставляя «(р7«(х из (1-114а) в (1-103) н учитывая выражения (1-113), (1-1!бб) и (1-117), получаем напряженность того поля, которым пренебрегли при решении уравнения непрерывности.
Если использовать обозначение (1-3!), то Е (х) = — [1+ (Ь вЂ” 1) е л~'. (1-1 РЗ) Граничные значения поля: Е (0) = Ь (Уо); Е (оо) =(/О. Напряженность дембеоовской составляющей поля определяегся вторым слагаеплм в форь~уле (1-113): ( — кт Е„,„в= — (Ь вЂ” Це (1-119) граничные значения атой составля.ошей имеют вид: Еа«кз (0) = (Ь вЂ” 1) (Уо)' Еае«а (со) = О. Распределение потенциала при монополярной диффузии несколько отличается от распределения при биполярной диффузии из-за различия полей.
Е частности, на расстоянии (2 —: 3) С от плоскости инжекции, т. е. в области квази- равновесия, потенциал меняется почти линейно (ср. с рис. 1-17„б). Квазнуровни Ферми, определяемые избыточными концентрацилмн, менлкпся практически так же, как при биполярной диффузии. Н ест а ц н он ар н о е уравнение (1-110а) может быть решено разными способами. В инженерной практике наиболее распространен операторный метод (см. 122)). Как известно, при этом методе функция времени, в нашем случае Лр (х, (), заменяется ее операторным изображением Лр (х, в), а производная по времени— произведением т (1-120) э (Лр (х, з) — Лр (х)юз1, Здесь и ниже оператор Лапласа обозначается через з, а не через р (как «'бычно) во избежание путаницы с обозначением концентрации дырок. После этого при решении диффузионного уравнения оператор рассматривается как алгебраический множитель, а иаидеииос решение типа (1-!12) оказывается илобрижением искомой функции Лр (х, 1).
Эта функция (оригинал изображения) в большинстве случаев может быть найдена по таблицам соответствия. Полагая начальное состояние равновесным, т. е. сэр (х)еа = =- О, яетрудно привести уравнение йв ьл) (1-110а) к виду — = агфа з — — Лр = О. (1-121) йхз ьл вб Как видим, отличие этой формулы от (1-1!Об) состоит только в фу том, что диффузионная длина должна рассматриваться как операторная веду личина в=а Е(з)= р'!+аг в в,ч в,в г,г 36 фу Оригинал изображения Е (з) имеет аид Рнс.
1-33. Зависимость диффу- (рис. 1-33): ниенной длины от аремени 1" 1 ) !функция ошибок ег1 (Гй)1. !т/'. где ег1 (1!т) — функция ошибок г. Необходимо заметить, что определение диффузионной длины (см. выше) связано с з кс и о не н ц и а л ь н ы м распределением носителей, тогда нак ао время переходного процесса (особенно н его начальной части) распределенне кезкспонснциальнсе. Поэтому имран«ение Е (Г) нельзя механически подставлять аместо Е а «готоаысэ формулы (1-!!2) и (1-!13).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
