Шпоры по физике 5 (1083207), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Системы с переменным числом частиц. Химический
   потенциал. Принцип Ле-Шателье. Теорема Нернста.

• Будем рассматривать здесь тела, состоящие из одинаковых частиц (молекул): все результаты могут быть непосредственно обобщены на тела, состоящие из различных частиц – смеси.

• Аддитивность величины означает, что при изменении количества вещества (а с ним и числа частиц N) в некоторое число раз эта величина меняется во столько же раз. Другими словами, можно сказать, что аддитивная термодинамическая величина должна быть однородной функцией первого порядка относительно аддитивных переменных.

• 
  
  
  
  
  
  , где N – параметр, имеющий для каждого тела задан. постоянное знач.
  
  

• d E = TdS – PdV + dN dF =  SdT – pdV + dN , где
  dW = TdS + Vdp + dN dФ =  SdT + Vdp + dN
  и называется химическим потенциалом тела.
  
  

• Химический потенциал можно получить дифференциро-ванием любой из величин E, W, F, Ф
  по числу частиц, однако при этом он окажется выраженным через различные переменные.

• Ф = N Таким образом, химический потенциал тела  (состоящего из одинаковых частиц) есть, не что иное, как термодинамический потенциал, отнесенный к одной молекуле.

• d =  SdT + Vdp, где S и V – энтропия и объем, отнесенные к одной молекуле.

• (E)_S,V,N = (F)_T,V,N = (Ф)_T,p,N = (W)_S,p,N = ()_T,V, - расширенная теорема о малых приращениях, где  =  pV - новый термодинамический потенциал. F – Ф = – pV

• Принцип Ле-Шателье: внешнее воздействие, выводящее тело из равновесия, стимулирует в нем процессы, стремящиеся ослабить результаты этого воздействия.

(продолжение смотри на следующей странице)

(8) .

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Вывод термодинамических соотношений
   из распределения Гиббса..

• П рименение теоремы Лиувилля позволяет сделать заключение о том, что логарифм функции распределения подсистемы должен быть линейной функцией ее энергии: ln_n =  +  E_n , причем коэффициенты  одинаковы для всех подсистем данной замкнутой подсистемы. Отсюда
  _n = exp( +  E_n). Если ввести формальным образом обозначение
   = 1/ kT,  = F / T, то это выражение совпадает по форме с распределением Гиббса. Величина Т, а потому и  должна быть одинаковой для всех частей находящейся в равновесии системы. Далее должно быть  < 0 т.е. Т > 0. В противном случае нормировочная сумма _n неизбежно разойдется.
  Для вывода количественного соотношения исходим из условия нормировки _n exp (F – E_n) / kT  = 1. Продифференцируем это равенство, рассматривая его левую сторону как функцию Т и некоторых величин ₁, ₂,… характеризующих внешние условия, в которых находится рассматриваемое тело. Уровни энергии E_n зависят от значений ₁, ₂,…, как от параметров. Производя дифференцирование пишем:
  (для краткости рассматриваем здесь всего один внешний параметр ).
  Отсюда:
  
  

В левой стороне равенства _n = 1, а в правой


Учитывая также, что F – Ē =  TS и что  E_n /  =  Ĥ / , получаем окончательно dF =  S dT + ( Ĥ / ) d. Это и есть общий вид термодинамического тождества для свободной энергии.

• Таким же образом может быть получено и распределение Гиббса с переменным числом частиц. Если рассматривать число частиц, как динамическую переменную, то ясно, что оно тоже будет (для замкнутой системы) «интегралом движения» и к тому же аддитивным. Поэтому надо будет писать: ln_nN =  +  E_n + N, где , как и , должно быть одинаковым для всех частей равновесной системы. Положив  =  / kT,  = 1 / kT,
   =  / kT, мы получим распределение вида _nN = exp( + N – E_nN) / kT После чего тем же способом как и выше, можно получить термодинамическое тождество для потенциала .

1. .

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Свободная энергия идеального газа. Уравнение состояния идеал. газа. Распределение энергии по степеням свободы.

• Написав энергию Е_n в виде суммы энергий _к , мы можем свести суммирование по всем состояниям газа к суммированию по всем состояниям отдельной молекулы. Каждое состояние газа будет определяться набором N (N – число молекул в газе) значений _к , которые в больцмановском случае можно считать все различными между собой (в каждом молекулярном состоянии не больше одной молекулы)
  F = -NT ln[ (e / N)  _kexp(-_к/kT)] Эта формула позволяет вычислить свободную энергию газа, состоящего из одинаковых частиц и подчиняющегося статистике. Формула должна быть записана в виде:
  
  где интегрирование производится по фазовому пространству молекулы а
  d = dpdq / (2k)^Г . Г- число степеней свободы молекулы.

• pV=NT – уравнение состояния идеального газа (ур-ние Клаперона) если температура измеряется в градусах, то: pV=NkT, где N = 6,023 10²³ – число Авогадро, а R = NK = 8,314 10 ^-7 эрг/град – газовая постоянная.

• Распределение энергии по степеням свободы окончательное выражение для свободной энергии: F=N₀  NT ln(eV/N)  Nc_vT lnT  NT
  -химическая постоянная газа. c_= i/2, соответственно - c_p= c_+1  (i+2)/2 таким образом, чисто класический идеальный газ должен обладать постоянной теплоемкостью. Формула c_ = i/2 позволяет при этом высказать следующее правило: на каждую переменную в энергии Е(p,q) молекулы приходиться по равной доле Т/2 в теплоемкости c_ газа, или, что тоже по равной доле Т/2 в его энергии. Это правило называется законом распределения.
  Имея ввиду, что от поступательных и вращательных степеней свободы в энергию (p,q) входят только соответствующие им импульсы, мы можем сказать, что каждая из этих степеней свободы, вносят в теплоемкость вклад, равный ½ . От каждой не колебательной степени свободы в энергию (p,q) входят по две переменных (координата и импульс) и ее вклад в теплоемкость равен 1.

• Степени свободы – количество независимых параметров, характеризующих систему.

• У атома 3 поступательных степени свободы и 3 соответствуют ее вращению, как целого. Нелинейная n-атомная молекула имеет 3n6 колебательных степеней свободы, а линейная 3n5, при n=1 колебательных степеней свободы нет, т.к. все соответствуют поступательному движению. i – число колебательных степеней свободы, но при n=1 i=3

(13) .

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Статистика Ферми. Функция распределения. Термодинамический потенциал.

• Если температура идеального газа (при заданной его плотности) достаточно низка, то статистика Больцмана становится неприменимой и должна быть построена другая статистика, в которой средние числа заполнения различных квантовых состояний не предполагаются малыми.

• Эта статистика, однако, оказывается различной в зависимости от того, какого рода волновыми функциями описывается газ, рассматриваемый как система N одинаковых частиц. Как известно волновые функции должны быть либо антисимметричными либо симметричными по отношению к перестановкам любой пары частиц, причем первый случай имеет место для частиц, с полуцелым, а второй  для частиц с целым спином.

• Для системы частиц, описывающейся антисимметричными волновыми функциями, справедлив принцип Паули: в каждом квантовом состоянии может находиться одновременно не более одной частицы. Статистика основанная на этом принципе называется статистикой Ферми

• Энергия n_k частиц в к-ом состоянии есть n_k  _k

• Среднее число частиц в системе равно производной от потенциала  по химическому потенциалу , взятой с обратным знаком.

Функция распределения идеального газа, подчиняющегося статистике Ферми или, как говорят коротко, для Ферми-газа.

• Распределение Ферми нормировано условием:

Где N – полное число частиц в газе

• Термодинамический потенциал  - газа в целом получается суммированием _k по всем квантовым состояниям
  =  Е _k ln (1+exp(  _k) / kT)

(17) .

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Квазизамкнутые подсистемы. Теорема Лиувилля.
   Микроканоническое распределение.

2. Энтропия. Связь S и Г. Закон возрастания энтропии.

3. Температура. Адиабатический процесс.

4. Работа и количество теплоты. Теплоемкость.
   Тепловая функция.

1. Свободная энергия и термодинамический потенциал.
   Теорема о малых приращениях.

2. Процесс Джоуля-Томсона. Расширение газа в пустоту.

3. Термодинамические неравенства.

1. Системы с переменным числом частиц. Химический
   потенциал. Принцип Ле-Шателье. Теорема Нернста.

2. Распределение Гиббса. Статистическая сумма.
   Распределение Максвелла.

3. Вывод термодинамических соотношений
   из распределения Гиббса.

4. Распределение Гиббса с переменным числом частиц.

5. Распределение Больцмана. Число столкновений.

6. Свободная энергия идеального газа. Уравнение состояния идеал. газа. Распределение энергии по степеням свободы.

7. Одноатомный идеальный газ. Влияние электрон. момента.

10. Статистика Ферми. Функция распределения. Термодинамический потенциал.

11. Статистика Бозе. Функция распределения.

12. Вырожденный электронный газ. Его теплоемкость.

13. Вырожденный электронный Бозе-газ. Его теплоемкость.
    Бозе-Эйнштейновская конденсация.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)