Шпоры по физике 5 (1083207), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Поэтому S` ( E <sup>( 0 )</sup> – E <sub>n N</sub> , N <sup>( 0 )</sup> - N )  S`( E⁽⁰⁾ , N⁽⁰⁾ ) – (E_nN / T) + (N / T)

причем химический потенциал  ( как и температура) для тела и среды совпадает в силу условий равновесия, даже после второй точки.

• Условие нормировки требует равенства единице результата суммирования _nN сначала по всем квантовым состояниям ( при данном N) и затем по всем значениям N:
  
  
  отсюда для термодинамического потенциала
  
  
  

• В классической статистике d_N = _N dp^(N)dq^(N)

(11) .

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Распределение Больцмана. Число столкновений.

• Идеальный газ – газ, взаимодействием между частицами которого можно пренебречь.

• Задача об определении уровней энергии газа в целом E_n сводится к определению уровней энергии отдельной молекулы. Эти уровни будем обозначать по средствам _к, где индекс k представляет собой совокупность квантовых чисел, определяющих состояние молекулы. Энергии Е_n выразятся тогда в виде сумм энергий каждой из молекул. Обозначим по средствам n_к число частиц в газе, находящихся в k-ом квантовом состоянии; числа n_k иногда называют «числами заполнения» различных квантовых состояний. Применив к молекулам газа формулу распределения Гиббса, можно утверждать, что вероятность молекуле находится в k-ом состоянии, а потому и среднее число n_k молекул в этом состоянии, пропорциональны exp( -_k / kT ) , т.е. n_k = a  exp( -_k / kT ) - распределение молекул идеального газа по различным состояниям называется распределением Больцмана, где а – постоянная определяющаяся условием нормировки. _k n_k = N , где N – полное число частиц в газе.

• Распределение Больцмана можно получить в виде n_k = exp(_k / kT) Таким образом коэффициент а оказывается выраженным через химический потенциал газа.

• Число столкновений (в единицу времени) данной частицы с другими, сопровождающихся некоторым процессом с эффективным сечением , равно
  
  
  Полное число таких столкновений, происходящих в единицу времени во всем объеме газа, равно `N / 2.

• Молекулы газа, заключенного в сосуде сталкиваются при своем движении с его стенками. Число d_v столкновений молекул в единицу времени (отнесенное к единице площади поверхности стенки), при которых компоненты скорости лежат в заданных интервалах dv_x, dv_y, dv_z получится, умножением распределения Максвелла dNv на объем цилиндра с основанием 1см² и высотой, равной v_z. Мы получим:
  
  Проинтегрировав эту формулу по всем скоростям, найдем полное число  ударов молекул газа об единицу поверхности стенки сосуда в единицу времени.
  

(12) .

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Свободная энергия идеального газа. Уравнение состояния идеал. газа. Распределение энергии по степеням свободы.

• Написав энергию Е_n в виде суммы энергий _к , мы можем свести суммирование по всем состояниям газа к суммированию по всем состояниям отдельной молекулы. Каждое состояние газа будет определяться набором N (N – число молекул в газе) значений _к , которые в больцмановском случае можно считать все различными между собой (в каждом молекулярном состоянии не больше одной молекулы)
  F = -NT ln[ (e / N)  _kexp(-_к/kT)] Эта формула позволяет вычислить свободную энергию газа, состоящего из одинаковых частиц и подчиняющегося статистике. Формула должна быть записана в виде:
  
  где интегрирование производится по фазовому пространству молекулы а
  d = dpdq / (2k)^Г . Г- число степеней свободы молекулы.

• pV=NT – уравнение состояния идеального газа (ур-ние Клаперона) если температура измеряется в градусах, то: pV=NkT, где N = 6,023 10²³ – число Авогадро, а R = NK = 8,314 10 ^-7 эрг/град – газовая постоянная.

• Распределение энергии по степеням свободы окончательное выражение для свободной энергии: F=N₀  NT ln(eV/N)  Nc_vT lnT  NT
  -химическая постоянная газа. c_= i/2, соответственно - c_p= c_+1  (i+2)/2 таким образом, чисто класический идеальный газ должен обладать постоянной теплоемкостью. Формула c_ = i/2 позволяет при этом высказать следующее правило: на каждую переменную в энергии Е(p,q) молекулы приходиться по равной доле Т/2 в теплоемкости c_ газа, или, что тоже по равной доле Т/2 в его энергии. Это правило называется законом распределения.
  Имея ввиду, что от поступательных и вращательных степеней свободы в энергию (p,q) входят только соответствующие им импульсы, мы можем сказать, что каждая из этих степеней свободы, вносят в теплоемкость вклад, равный ½ . От каждой не колебательной степени свободы в энергию (p,q) входят по две переменных (координата и импульс) и ее вклад в теплоемкость равен 1.

• Степени свободы – количество независимых параметров, характеризующих систему.

• У атома 3 поступательных степени свободы и 3 соответствуют ее вращению, как целого. Нелинейная n-атомная молекула имеет 3n6 колебательных степеней свободы, а линейная 3n5, при n=1 колебательных степеней свободы нет, т.к. все соответствуют поступательному движению. i – число колебательных степеней свободы, но при n=1 i=3

(13) .

1. Одноатомный идеальный газ. Влияние электрон. момента.

• Полное вычисление свободной энергии идеального газа требует конкретного вычисления статистической суммы стоящей в аргументе логарифма в формуле:
  
  здесь `_k представляют собой уровни энергии атома или молекулы. Если производить суммирование лишь по всем различным уровням энергии, то надо учесть, что уровень может быть вырожденным, и тогда соответствующий член должен войти в сумму по всем состояниям столько раз, какова кратность вырождения. Обозначим последнюю посредством g_k; в этой связи кратность вырождения уровня называют статистическим весом Z = _k g_k exp(-_k / T).

• Рассмотрим простейший случай атомов, которые в своем нормальном состоянии не обладают ни орбитальным моментом, ни спином (L=s=0), таковы например атомы благородных газов. При этом нормальный уровень не вырожден и статистическая сумма сводится к одному члену: Z = exp(₀ / kT). Для одноатомных газов обычно полагают ₀ = 0, т.е. отсчитывают энергию от нормального уровня атома; тогда Z=1. Разлагая логарифм на сумму нескольких членов, мы получим для свободной энергии выражение типа F = N ₀ – N kT ln(eV / N) – Nc_vT ln(kT) – N k  T с постоянной теплоёмкостью c_v = (3/2)k и химической постоянной газа
   = (3/2) ln(m / 2h²). Полученое значение теплоёмкости целиком связано с поступательными степенями свободы атома – по k/2 на каждую степень свободы.

• Полученные выражения позволяют вывести критерий применимости статистики Больцмана. В этой статистике предполагаются малыми числа n_k = exp(_k) / kT << 1. Достаточно потребовать выполнения условия, что exp( / kT) << 1. Для химического потенциала  = Ф / N имеем из
  Ф = N₀ + N kT ln(p) – N c_pT ln(kT) – N k  T со значениями c_v и :
  
  
  поэтому получаем критерий: (N / V) (h² / mkT)^3/2 << 1 - критерий применимости статистики Больцмана. Это условие требует при заданной температуре достаточной разреженности газа.

(продолжение смотри на следующей странице)

(14) .

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- (14) -

• Истолкования критерия: поскольку большинство атомов обладает энергией порядка Т, а потому импульсом ~mkT, то можно сказать, что все атомы занимают в фазовом пространстве объем ~V(mkT)^3/2. На этот объем приходится ~V(mkT)^3/2 / h³ квантовых состояний. В больцмановском случае это число должно быть велико по сравнению с числом N частиц, откуда и получается (N / V) (h² / mkT)^3/2 << 1

• Уровень со спином s вырожден с кратностью 2s+1. Все отличие, по сравнению с рассмотренным ранее в том, что статистическая сумма Z станет равной 2s+1 (вместо 1), в результате чего к химической постоянной добавится величина _s = ln(2s+1).
  Обозначим уровни отсчитываемые от наиболее низкого из них, по средствам _J . Каждый уровень с данным J вырожден по направлениям полного момента с кратностью 2J+1, поэтому статистическая сумма приобретает вид Z = _J (2J+1)  exp( _J / kT) . Суммирование производится по всем возможным (при данных L и s) значениям J. Для свободной энергии получаем:
  

(14) .

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Статистика Ферми. Функция распределения. Термодинамический потенциал.

• Если температура идеального газа (при заданной его плотности) достаточно низка, то статистика Больцмана становится неприменимой и должна быть построена другая статистика, в которой средние числа заполнения различных квантовых состояний не предполагаются малыми.

• Эта статистика, однако, оказывается различной в зависимости от того, какого рода волновыми функциями описывается газ, рассматриваемый как система N одинаковых частиц. Как известно волновые функции должны быть либо антисимметричными либо симметричными по отношению к перестановкам любой пары частиц, причем первый случай имеет место для частиц, с полуцелым, а второй  для частиц с целым спином.

• Для системы частиц, описывающейся антисимметричными волновыми функциями, справедлив принцип Паули: в каждом квантовом состоянии может находиться одновременно не более одной частицы. Статистика основанная на этом принципе называется статистикой Ферми

• Энергия n_k частиц в к-ом состоянии есть n_k  _k

• Среднее число частиц в системе равно производной от потенциала  по химическому потенциалу , взятой с обратным знаком.

Функция распределения идеального газа, подчиняющегося статистике Ферми или, как говорят коротко, для Ферми-газа.

• Распределение Ферми нормировано условием:

Где N – полное число частиц в газе

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)