Шпоры по физике 5 (1083207), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

• Термодинамический потенциал  - газа в целом получается суммированием _k по всем квантовым состояниям
  =  Е _k ln (1+exp(  _k) / kT)

(17) .

1. Статистика Бозе. Функция распределения.

• Перейдем теперь к изучению статистики, которой подчиняется идеальный газ, состоящий из частиц, описывающихся симметричными волновыми функциями, так называемой статистикой Бозе.

• Д ля газа Больцмана химический потенциал всегда имеет отрицательные (больше по абсолютной величине) значения, а для Ферми-газа  может быть как отрицательным, так и положительным.

• Это и есть функция распределения идеального газа, подчиняющегося статистике Бозе. Она отличается от функции распределения Ферми знаком перед 1 в знаменателе

• Полное число частиц в газе определяется формулой:
  
  

• А термодинамический потенциал  газа получается суммированием _k по всем квантовым состояниям

(18) .

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Вырожденный электронный газ. Его теплоемкость.

• Имея ввиду наиболее важные применения статистики Ферми, будем говорить об электронном газе; соответственно этому мы полагаем g=2 (спин s = 1\2 )

• Начнем с рассмотрения электронного газа при абсолютном нуле температуры (полностью вырожденный Ферми-газ). В таком газе электроны будут распределены по различным квантовым состояниям таким образом, чтобы полная энергия газа имела наименьшее возможное значение. Поскольку в каждом квантовом состоянии может находиться не более одного электрона, то электроны заполнят все состояния с энергией 0, наименьшей (равной нулю) до некоторой большей величины, которая определяется числом электронов в газе

• Э лектроны заполняют все состояния с импульсами от нуля до граничного значения p=p_F; об этом значении говорят, как о радиусе Ферми-сферы в импульсном пространстве. Полное число электронов в этих состояниях::
  для электронов g=2
  откуда для граничного импульса имеем: 
  и для граничной энергии:

• Х имический потенциал газа при T=0 совпадает с граничной энергией электронов  = _F

• Полная энергия газа получится умножением числа состояний на p`/2m и интегрированием состояния газа: 
  таким образом, давление по всем импульсам:

• У равнение Ферми-газа при абсолютном нуле температуры пропорционально его плотности в степени 5/3.

• Полученные формулы применимы также и при температурах, достаточно близких к абсолютному нулю. Условие их применимости (условие сильного вырождения газа) требует, малости Т по сравнению с _F. T<< h²/m (N / V)^2/3.
  Это условие противоположно условию применимости статистики Больцмана. Температуру T_p  _F называют температурой вырождения.

• Теплоемкость вырожденного идеального газа.
  (c_V = c_p)

(19) .

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Вырожденный электронный Бозе-газ. Его теплоемкость.
   Бозе-Эйнштейновская конденсация.

• При низких температурах свойства Бозе-газа не имеют ничего общего со свойствами Ферми-газа. Это заранее очевидно из того, что у Бозе-газа состоянием наименьшей энергии, в котором газ находится при Т=0, должно быть состояние с Е=0 (все частицы в квантовом состоянии с =0), между тем как Ферми-газ при абсолютном нуле обладает отличной от нуля энергией.

• Е сли при заданной плотности N / V газа понижать его температуру, то химический потенциал  будет увеличиваться, т.е. будучи отрицательным уменьшаться по абсолютной величине. Он достигнет значения =0 при T₀.

• При понижении температуры частицы должны скапливаться в состоянии с наименьшей энергией, пока при Т=0 туда не попадут они все.

• П олное число частиц с энергиями >0 будет: N_>0= N (T/T₀)^3/2, а при =0 будет равно N_=0 = N [1 - (T/T₀)^3/2]. Энергия газа при Т<Т₀ определяется, конечно, только теми, частицами, которые имеют >0.
  Отсюда теплоемкость c_V= 5E / 2T т.е. тепло-емкость пропорциона-льна Т^3/2.
  
  S = 5E / 3T F = E – TS = – 2/3  E p = – (F / V)T = 0,0851 g ([mT] / h)³
  мы видим, что при Т<Т₀ давление пропорционально Т^5/2 и вовсе не зависит от объема. Это обстоятельство – естественное следствие того, что частицы, находящиеся в состоянии с =0, не обладая импульсом, не дают никакого вклада в давление.

• Явление накапливания частиц в состоянии с =0 называют конденсацией Бозе-Эйнштейна. Подчеркнем, что речь может при этом идти разве что о «конденсации» в импульстном пространстве, никакой реальной конденсации в газе, конечно, не происходит.

(20) .

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Э нтропия. Связь S и Г. Закон возрастания энтропии.

• Статистич. вес - есть число квантовых сос-тояний, соответствующее интервалу E значений энергии.

•  (Ē) p q = 1 – фазовый объем p q аналогично Г характеризует размеры той области фазового пространства, в которой данная подсистема проводит почти все время.

• В квазиклассическом случае число состояний Г можно записать в виде (см. ф-лу справа), где S – число степеней свободы данной подсистемы.

• В еличину Г называют статистическим весом, а ее логарифм S = lnГ называют энтропией подсистемы.
  В классическом случае она определяется выражением:
  Определенная таким образом энтропия, как и сам стат. вес, есть безразмерная величина. Поскольку число состояний Г во всяком случае не меньше 1, то энтропия не может быть отрицательной.

• Определение энтропии может быть записано в виде:
  S = -  ln [ (2 ħ)^s  ]  = - _  ln [ (2 ħ)^s  ] dpdq

• Вернемся к замкнутой системе в целом, и пусть Г₁, Г₂,… - стат. веса ее различных подсистем. Если каждая из подсистем может находится в одном из Г_а квантовых состояний, то этому, очевидно, соответствует Г = _аП Г_а различных состояний в целом. Эта величина называется стат. весом, а ее логарифм – энтропией S замкнутой системы. Ясно, что S = _а S_а т.е. определенная таким образом энтропия является величиной безразмерной и равна сумме энтропий ее частей.

• Энтропия есть величина, характеризующая средние свойства тела за некоторый отличный от нуля промежуток времени t. Нельзя говорить о мгновенном значении энтропии S.

• Закон возрастания энтропии: если замкнутая система в некоторый момент времени находится в неравновесном макроскопическом состоянии, то наиболее вероятным следствием в последующие моменты времени будет монотонное возрастание энтропии системы.

• Если в некоторый момент времени энтропия системы отлична от максимальной, то в последующие моменты энтропия не убывает, а увеличивается или в предельном случае остается постоянной.

(2) .

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Свободная энергия и термодинамический потенциал.
   Теорема о малых приращениях.

• Р аботу, произведенную над телом при бесконечно малом изометрическом обратимом изменении его состояния, можно написать в виде дифференциала некоторой величины. dA = dE – dQ = dE – TdS = d(E – TS) или dA = dF, F = E–TS - есть новая функция состояния тела, называемая его свободной энергией. Таким образом, работа, производимая над телом при обратимом изометрическом процессе, равна изменению его свободной энергии.

• E , W, F - термодинамические потенциалы.
  Ф = E – TS + pV = F + pV = W – TS термодинамический потенциал.

• Если значения параметров _i (определяют состояние системы) немного изменятся, то величины E, W, F, Ф так же будут испытывать небольшие изменения. Очевидно, что их изменения будут равны друг другу, если каждое из них рассматривать при соответствующей паре постоянных величин:
  (E)_S,V = (F)_T,V = (W)_S,p = (Ф)_T,p - теорема о малых приращениях.

• 
  
  При изометрическом процессе в постоянном объеме (V,T = const). Тогда это неравенство можно записать в виде:
  
  
  Следовательно необратимые процессы происходящие при постоянных температуре и объеме, сопровождаются уменьшением свободной энергии тела.
  Аналогично при p=const и T=const неравенство приобретает вид
  dФ / dt < 0 т.е. необратимые процессы, происходящие при постоянных температуре и давлении, сопровождаются уменьшением термодинамического потенциала.

(5) .

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)