Лекции по физике. Оптика. Элементы квантовой механики (1083144), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

9.2. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Попытаемся определить значение координаты х свободно летящей микрочастицы, поставив на ее пути щель шириной х, расположенную перпендикулярно к направлению движения частицы. До прохождения частицы через щель р_х имеет точное значение, равное 0, так что неопределенность импульса р_х= 0, зато координата х частицы является совершенно неопределенной. В момент прохождения частицы через щель положение меняется. Вместо полной неопределенности координаты х появляется неопределенность х, но это достигается ценой утраты определенности значения р_х. Действительно, вследствии дифракции имеется некоторая вероятность того, что частица будет двигаться в пределах некоторого угла 2, где  – угол, соответствующий первому дифракционному минимуму. Таким образом, появляется неопределенность импульса

р_х=рsin . (8)

Краю центрального дифракционного максимума (первому минимуму), получающемуся от щели шириной х соответствует угол , для которого [cм. (4.8) при b=х и m=1]

sin=/ х. (9)

Следовательно,

р_х=р/ х. (10)

Отсюда с учетом (1) получается соотношение

хр_х =р=h (11)

В общем случае соотношение

хр_х  h, yр_y  h, zр_z  h (12)

называют соотношением неопределенностей Гейзенберга.

Из него следует, что чем точнее определена координата (х мало, т.е. узкая щель), тем больше неопределенность в импульсе частицы р_х h/х. Точность определения импульса будет возрастать с увеличением ширины щели х [cм. (9), (8)] и при х не будет наблюдаться дифракционная картина, и поэтому неопределенность импульса р_х будет такой же, как и до прохождения частицы через щель, т.е. р_х=0. Но в этом случае не определена координата х частицы, т.е. х.

Невозможность одновременно точно определить координату и импульс (скорость) не связана с несовершенством методов измерения или измерительных приборов. Соотношение неопределенности является квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

Выразим (11) в виде

хv_х h/m. (13)

Из (13) следует, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости. Для пылинки массой 10^-12 кг и линейными размерами 10^-6 м, координата которой определена с точностью до 0.01 от ее размеров (т.е. х=10^-8 м) неопределенность скорости согласно (13) v_х=6.6210^-31/(10^-810^-12)=6.6210^-14 м/c, т.е. будет ничтожно малой. Т. о. для макроскопических тел их волновые свойства не играют никакой роли, координата и скорость макротел могут быть измерены достаточно точно.

В квантовой механике рассматривается также соотношение неопределенностей между энергией частицы Е и временем t нахождения частицы в данном энергетическом состоянии (или времени наблюдения за состоянием частицы). Оно аналогично (11) и имеет вид

Еth. (14)

Из (14) следует, что частота излучения фотона также должна иметь неопределенность

v Е/h, (15)

т.е. линии спектра должны характеризоваться частотой vv. Действительно, опыт показывает, что все спектральные линии размыты.

9.3. Волновая функция и ее статистический смысл

Мы привыкли к тому, что физически реальное – измеримо. Бор и Гейзенберг сделали обратное высказывание: «Принципиально неизмеримое – физически нереально». Поэтому «не надо говорить о вещах, которые невозможно измерить» (Фейнман). Поскольку из соотношения неопределенностей следует, что частица не имеет одновременно импульс и координату, то не следует об этом и говорить. А «говорить» следует о волновой функции, которая описывает микросостояние системы, ее волновые свойства.

Де Бройль связал со свободно движущейся частицей плоскую волну. Известно [cм. (1.5), (1.6)], что плоская волна, распространяющаяся в направлении оси х описывается уравнением

S=Acos(t- kх+_О)

или в экспоненциальной форме

S=А_Oехр[i(t- kх+_О)].

Заменив в соответствии с (1) и (2)  и k=2/ через Е и p, уравнение волны де Бройля для свободной частицы пишут в виде

=А_Oехр[(-i/ )(Еt- pх)] (16)

(в квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус, но поскольку физический смысл имеет  ², то это [cм. (16)] несущественно).

Функцию  называют волновой функций или пси-функцией. Она, как правило, бывает комплексной.

Интерпретацию волновой функции дал в 1926 г. Борн: квадрат модуля волновой функции определяет вероятность того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV:

dP= ² dV=^*, (17)

где ^* – комплексно-сопряженная волновая функция.

Величина  ²=^* = dP/ dV – имеет смысл плотности вероятности.

Интеграл от (17), взятый по всему пространству, должен равняться единице (вероятность достоверного события Р=1).

(18)

Выражение (18) называют условием нормировки.

Отметим еще раз, что волновая функция описывает микросостояние частицы, ее волновые свойства, и она позволяет ответить на все вопросы, которые имеет смысл ставить. Например, найти энергию и импульс частицы. Для этого следует вычислить следующие частные производные  по координате х и времени t:

откуда

. (19)

9.4. Уравнение Шредингера для стационарных состояний

В развитие идеи де Бройля о волновых свойствах частиц Шредингер в 1926 г. получил уравнение

, (20)

где m – масса частицы, – мнимая единица, U – потенциальная энергия частицы,  – оператор Лапласа [см. (1.10)].

Решение уравнения Шредингера позволяет найти волновую функцию (x,y,z,t) частицы, которая описывает микросостояние частицы и ее волновые свойства.

Если поле внешних сил постоянно во времени (т.е. стационарно), то U не зависит явно от t. В этом случае решение уравнения (20) распадается на два множителя

(x, y, z, t) =(x, y, z) exp[-i(E/ )t], (21)

где E/ =.

В стационарном случае уравнение Шредингера имеет вид

, (22)

где Е, U – полная и потенциальная энергия, m – масса частицы.

Следует заметить, что исторически название "волновой функции" возникло в связи с тем, что уравнение (20) или (22), определяющее эту функцию, относится к виду волновых уравнений.

9.5. Собственные функции и собственные значения. Свободная частица

Функции , удовлетворяющие уравнению Шредингера при данных U, называются собственными функциями.

Значения Е, при которых существуют решения уравнения (22), называются собственными значениями.

В качестве примера определим  и Е для свободной частицы.

Свободной называют частицу, на которую не действуют силы, т.е. . Следовательно, U(x)=const и ее можно принять равной нулю. Таким образом, в случае свободного движения частицы, ее полная энергия совпадает с кинетической, а скорость . Направим ось Х вдоль вектора . Тогда (22) можно записать в виде

. (23)

Прямой подстановкой можно убедится, что частным решением этого уравнения является функция (х)=Аexp(ikx), где А=сonst, k=const c собственным значением энергии

Е= . (24)

C учетом (21) волновая функция

(х)=Аexp(-it+ ikx)= Аexp[-(i/ )(Еt- р_xх)]. (25)

здесь =Е/ , k=р_x/ .

Функция (25) представляет собой плоскую монохроматическую волну де Бройля [cм. (16)].

Из (24) следует, что зависимость энергии от импульса

Е= ²k²/(2m)=Р_х²/(2m)=mv²/2 (26)

оказывается обычной для нерелятивиских частиц. Следовательно, энергия свободной частицы может принимать любые значения, т.е. ее энергетический спектр является непрерывным.

Плотность вероятности обнаружить частицу в данной точке пространства

 ²=^*=A²,

т.е. все положения свободной частицы в пространстве являются равновероятными.

9.6. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме»

Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида

При таком условии частица не проникает за

пределы "ямы", т.е. (0)= (l)=0. (27)

В пределах ямы (0<x<l) уравнение (22) сведется к уравнению

или , (28)

где k²= . Общее решение (28) (х)=Аsinkx+Bcoskx. (29)

Так как согласно (27) ψ(0)=0, то В=0, тогда (х)=Аsinkx . (30)

Условие (27) (l)=Аsinkl=0 выполняется только при kl=n, где n=1,2...целые числа, т.е. необходимо, чтобы k=n/l. (31)

Из (29) и (31) следует, что (32)

Таким образом, энергия в «потенциальной яме» принимает лишь определенные, дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Е_n называются уровнями энергии, а число n, определяющее энергетические уровни, называется главным квантовым числом.

Заметим, что n=1 cоответствует минимальная энергия Е₁0.

Характеристики

Список файлов лекций