Лекции по физике. Оптика. Элементы квантовой механики (1083144), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Подставив в (30) значения k из (31), найдем собственные функции

.

Постоянную А найдем из условия нормировки (18), которое для данного случая имеет вид

.

В результате интегрирования получим , а собственные функции будут иметь вид

(33)

Графики этих функций, соответствующие уровням энергии при n=1, 2, 3, приведены на рис. 5 (а). На рис. 5 (б) изображены плотности вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы

Из рис. следует, что, например, в квантовом состоянии с n=2 частица не может находится в середине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траектории частицы в квантовой механике несостоятельны.

9.7. Квантовый осциллятор

Классическим осциллятором в классической механике называли частицу массой m, колеблющуюся с частотой ₀=k/m под действием упругой силы F=-kx.

Потенциальная энергия такой частицы U=kx²/2=m x²/2; в точках с координатами х_max она равна полной энергии Е. Т.о., энергия частицы могла принимать любые значения, т.е. изменяться непрерывно (рис.6).

В квантовой механике понятие силы не используется, поэтому квантовый осциллятор следует определить как частицу с потенциальной энергией U=kx²/2=m x²/2. (34)

Подставляя (34) в (22) и учитывая, что частица движется только вдоль одной прямой (вдоль оси х), получим

. (35)

Решая уравнение (35), можно получить, что энергия (энергетический уровень) частицы принимает только дискретные значения (квантуется).

(36)

n=0, 1, 2... – квантовые числа.

Наименьшее значение энергии E₀= ₀/2 определяется только собственной частотой ₀ и ее невозможно отнять у частицы никаким охлаждением, она сохранилась бы и при Т=0К.

Из (36) следует, что уровни находятся на равных расстояниях друг от друга

(37)

т.е. уровни эквидистантны [см. рис. 7, где на границе с потенциальной кривой U(х_max)=Е_n]. При больших квантовых числах n Е/Е_n=1/(n+12)0, т.е. происходит относительное сближение энергетических уровней и получаются результаты, близкие к результатам классического рассмотрения, когда энергия частицы может изменяться непрерывно, и, следовательно, может иметь любые значения. В этом заключается принцип соответствия, сформулированный Бором в 1923 г.:

При больших квантовых числах выводы и результаты квантовой механики должны соответствовать выводам и результатам классической механики.

Более общая трактовка принципа соответствия заключается в следующем: всякая новая, более общая теория, являющаяся развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее применения. Причем в определенных, предельных случаях, новая теория переходит в старую.

Лекция 11. Физика атомов и молекул

11.1. Модель атома Резерфорда

До 1911 г. не было правильных представлений о строении атома. В 1911 г. Резерфорд и его сотрудники исследовали рассеяние -частиц при прохождении через тонкие металлические слои (-частицы испускают радиоактивные элементы. Они представляют собой ядра атомов гелия с зарядом 2е и массой, приблизительно в 4 раза большей, чем масса атома водорода. Скорость их достигает  10⁷ м/с). Было установлено, что при облучении листка золота толщиной 6 мкм значительное отклонение от первоначального направления движения испытывала лишь одна из 8000 -частиц. Результат получился таким же неожиданным для того времени, как если бы при обстреле кирпичами кирпичной стены толщиной в несколько тысяч кирпичей почти все кирпичи проходили бы сквозь стену и лишь некоторые отскакивали бы от стены.

На основании своих исследований Резерфорд предложил ядерную модель атома. Согласно этой модели атом состоит из положительного ядра, имеющего заряд Zе (Z – порядковый номер элемента в таблице Менделеева, е – элементарный заряд), размер 10^-5 -10^-4 А (1А= 10^-10 м) и массу практически равную массе атома. Вокруг ядра по замкнутым орбитам движутся электроны, образуя электронную оболочку атома. Так как атомы нейтральны, то вокруг ядра должно вращаться Z электронов, суммарный заряд которых – Zе. Размеры атома определяются размерами

внешних орбит электронов и составляют порядка единиц А.

Масса электронов составляет очень малую долю массы ядра (для водорода 0,054%, для остальных элементов менее 0,03%). Понятие “размер электрона” не удается сформулировать непротиворечиво, хотя r_o  10^-3 А называют классическим радиусом электрона.

Итак, ядро атома занимает ничтожную часть объема атома и в нем сосредоточена практически вся (99,95%) масса атома. Если бы ядра атомов располагались вплотную друг к другу, то земной шар имел бы радиус  200 м а не 6400 км (плотность вещества атомных ядер  1,810¹⁷ кг/м³). Поэтому с точки зрения атомистических представлений всякую среду следует рассматривать как вакуум, в который вкраплены атомные ядра и электроны (или по-другому – как вакуум, слегка испорченный вкрапленными в него атомными ядрами и электронами).

Результаты опытов по рассеиванию -частиц свидетельствуют в пользу ядерной модели атома. Однако ядерная модель оказалась в противоречии с законами классической механики и электродинамики. Покажем это.

Предположим, что электрон движется вокруг ядра по круговой орбите радиуса r. При этом кулоновская сила взаимодействия между электроном и ядром сообщает электрону нормальное (центростремительное) ускорение, определяемое из второго закона Ньютона.

. (1)

При r = 1А из (1) находим, что а_n  10²²м/с². Согласно классической электродинамике, ускоренно движущиеся электроны должны излучать электромагнитные волны (см. параграф 2.4.) и вследствие этого терять энергию. В результате электроны будут приближаться к ядру и, в конце концов, упадут на него, что противоречит действительности.

Выход из создавшего тупика был найден в 1913 г. Нильсом Бором, который сформулировал 2 постулата, противоречащие классическим представлениям.

11.2. Постулаты Бора

1. Первый постулат заключается в следующем:

Существуют только некоторые стационарные состояния атома, находясь в которых он не излучает энергию. Этим стационарным состояниям соответствуют вполне определенные (стационарные) орбиты, по которым движется электроны. При движении по стационарным орбитам электроны, несмотря на наличие у них ускорения, не излучают электромагнитных волн.

В стационарном состоянии атома электрон должен иметь дискретные (квантованные) значения момента импульса

L_n = mrv = n , n = 1, 2, ... (2)

Здесь m, v – масса и скорость электрона, r – радиус его орбиты. С учетом (1) и (2) находим радиусы стационарных орбит электронов

. (3)

Для атома водорода (Z=1) радиус первой орбиты электрона при n = 1, называемый первым боровским радиусом (а), равен

r₁ = a = 0,528 А. (4)

внутренняя энергия атома слагается из кинетической энергии электрона (Т = mv²/2) и потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром (U =-Ze²/(4₀r)),

(5)

при выводе формулы (5) учли формулу (1). Подставляя в (5) квантовые радиусы орбит электронов (3), получим, что энергия атома (которая равна энергии электрона, так как ядро атома неподвижно) может принимать только следующие дозволенные дискретные (квантовые) значения

(6)

или

где знак минус означает, что электрон находится в связанном состоянии. (В атомной физике энергия измеряется в электронвольтах, 1 эВ = 1,610^-19Дж).

2. Второй постулат устанавливает:

При переходе атома (электрона) из одного стационарного состояния в другое испускается или поглощается один фотон с энергией

, (7)

где Е_n, Е_m – энергии атома (электрона) в стационарных состояниях n и m, которые определяются согласно (6).

Исходя из своих постулатов Бор создал полуклассическую теорию простейшего водородоподобного атома и объяснил линейчатый спектр атом водорода. К водородоподобным атомам относятся атом водорода (z=1), ион гелия Не⁺ (z=2), ион лития Li⁺⁺ (Z=3) и др. Для них характерно, что вокруг ядра с зарядом = Ze вращается только один электрон.

11.3. Линейчатый спектр атома водорода

Спектр излучения атомарного водорода состоит из отдельных спектральных линий, которые располагаются в определенном порядке. В 1885 г. Бальмер установил, что длины волн (или частоты) этих линий могут быть представлены формулой. Действительно, из (7) с учетом (6) для водорода (Z = 1), следует, что

, (8)

где R = 2,07 10¹⁶ с ^-1 – постоянная Ридберга. Учитывая, что 1/ = v/с = /2с и используя (8), найдем

, (9)

где R =1,097410⁷ м^-1 – называется также постоянной Ридберга.

На рис. 1 изображена схема энергетических уровней атома водорода, рассчитанных согласно (6) при z = 1.

Е_n, эВ

0 n = 

-0,85

n = 4

n = 3

-1,51

Характеристики

Список файлов лекций