lect7quant (1083142), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельныйэффект.Рассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы(высота U и ширина l ) для одномерного движения частицы: 0, x < 0U ( x) = U , 0 ≤ x ≤ l 0, x > l(область 1)(область 2)(область 3)Вид волновых функций, являющихсярешениями уравнения Шредингера дляобластей 1, 2 и 3 (см. рисунок и таблицу)свидетельствует о том, что:1)В области 1 волновая функцияпредставляет собой сумму двух плоскихволн — движущейся в сторону барьера иотраженной от барьера.2)В области 2 в случае E < U :q = iβ , где β =Квантовая физика2m(U − E )h7–127–213)ОбластьВ области 3 имеется только волна, прошедшая через барьер( B3 = 0) , которая имеет вид волн де Бройля с той же длиной волны, номеньшей амплитудой.УравнениеШредингераОбщее решение2∂ ψ1ψ 1 ( x) = A1 e ikx + B1 e −ikx+ k 2ψ 1 = 0 ,∂x 2∂ 2ψ 22+ q 2ψ 2 = 0 , ψ 2 ( x) = A2 e iqx + B2 e −iqx∂x 2∂ 2ψ 13+ k 2ψ 2 = 0 , ψ 3 ( x) = A3 e ikx + B3 e −ikx∂x 22mE 2 2m( E − U )2Здесь k =, q =h2h21Решение при E < Uψ 1 ( x) = A1 e ikx + B1 e −ikxψ 2 ( x) = A2 e − βx + B2 e βxψ 3 ( x) = A3 e ikxТаким образом, квантовая механика приводит к принципиально новомуспецифическому квантовому явлению, получившему название туннельногоэффекта, в результате которого микрообъект может "пройти" сквозьпотенциальный барьер.Для описания туннельного эффекта используют понятие коэффициентапрозрачности D потенциального барьера, определяемого как отношениеквадратов модулей прошедшей и падающей волны.

Для случаяпрямоугольного потенциального барьераD=A32A12 2l= D0 exp −2m(U − E )  hДля потенциального барьера произвольнойформы 2 x2D = D0 exp − ∫ 2m[U ( x) − E ] dx  hx1Прохождение частицы сквозь область, в которую, согласно законамклассической механики, она не может проникнуть, можно пояснитьсоотношением неопределенностей. Неопределенность импульса ∆p наh. Связанная с этим разбросом в значенияхl( ∆p ) 2импульса кинетическая энергияможет оказаться достаточной для того,2mотрезке ∆x = l составляет ∆p >чтобы полная энергия частицы оказалась больше потенциальной.15. Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике.Линейный гармонический осциллятор — система, совершающаяодномерное движение под действием квазиупругой силы, является моделью,которая часто используется при описании классических и квантовых систем.Пружинный, физический и математический маятники — примерыклассических гармонических осцилляторов.А.Н.Огурцов.

Лекции по физике.Закон, связывающий частоты линий с атомным номером Z испускающегоих элемента, называется законом Мозли:1  1ν = R( Z − σ ) 2  2 − 2 n mгдеR — постоянная Ридберга,m = 1,2,3,K определяет рентгеновскую серию( L, M , N ,K ), n принимает целочисленныезначения начиная с m + 1 (определяетотдельную линию α , β , γ ,K соответствующей серии), σ — постоянная экранирования,учитывающаяэкранированиеданногоэлектрона от атомного ядра другимиэлектронами атома. Закон Мозли обычновыражают формулойω = C ( Z − σ ) ( C и σ — константы).25. Молекулярные спектры.Молекула — это наименьшая частица вещества, состоящая изодинаковых или различных атомов, соединенных между собой химическимисвязями, и являющаяся носителем его основных химических свойств.Химические связи обусловлены взаимодействием внешних (валентных)электронов атомов.

Наиболее часто в молекулах встречаются два типа связи:1) Ионная связь осуществляется кулоновским притяжением атомов припереходе электрона от одного атома к другому (например, в молекуле+−NaCl: Na LCl )2) Ковалентная связь осуществляется при обобществлении валентныхэлектронов двумя соседними атомами (вследствие неразличимоститождественных частиц). Наглядно можно представить себе, чтоэлектрон каждого атома молекулы проводит некоторое время у ядрадругого атома (обмен электронами).

Такое специфически квантовоевзаимодействие называется обменным взаимодействием.Молекула является квантовой системой; она описывается уравнениемШредингера, учитывающим движение электронов в молекуле, колебанияатомов в молекуле, вращение молекулы.

Решение этого уравнения — оченьсложная задача, которая (учитывая огромное различие в массах электронов иядер) обычно разбивается на две: для электронов и ядерЭнергию изолированной молекулы можно представить в виде суммы:E ≈ Eэл + Екол + Евращгде E эл — энергия движения электронов относительно ядер, Eкол — энергия колебаний ядер, Eвращ — энергия вращения ядер. Соотношение между ними:Eэл : Eкол : Евращ = 1 :m m:M Mгде m — масса электрона, M — величина, имеющая порядок массы ядерm≈ 10 −5 ÷ 10 −3 . Поэтому: Eэл >> Eкол >> Евращ .M−2−1−5−3Масштаб энергий: E эл ≈ 1 ÷ 10 эВ, E кол ≈ 10 ÷ 10 эВ, Евращ ≈ 10 ÷ 10 эВатомов в молекуле.Квантовая физика7–207–13Принцип Паули, лежащий в основе систематики заполнения электронныхсостояний в атомах, объясняет периодическую систему элементовД.И.Менделеева повторяемостью в структуре внешних оболочек у атомовродственных элементов (см.

стр.7–32).24. Рентгеновские спектры.Самым распространенным источником рентгеновского излучения являетсярентгеновская трубка, в которой вылетающие скатода K электроны бомбардируют анод A(антикатод), изготовленный из тяжелых металлов(W, Cu, Pt и т.д.).Рентгеновское излучение, исходящее из анода,состоит из сплошного спектра тормозногоизлучения, возникающего при торможении электронов в аноде, и линейчатогоспектра характеристического излучения, определяемого материаломанода.Тормозное излучение имеет коротковолновую границу λ min , называемуюграницей сплошного спектра, которая соответствует ситуации, при которойвся энергия электрона переходит в энергию рентгеновского квантаE max = hν max = eU ,где U — разность потенциалов между анодом и катодом.Граничная длина волны:λmin =cν max=chch=eU E maxне зависит от материалаанода, а определяется тольконапряжением на трубке.Линиихарактеристического излучения возникают врезультате переходов электронов во внутреннихоболочках атомов, которые имеют сходное строение у всех элементов.

Поэтомуспектры характеристического излучения разных элементов имеют сходныйхарактер, они состоят из нескольких серий, обозначаемых K , L , M , N и O .Каждая серия, в свою очередь, содержитнебольшойнаборотдельныхлиний,обозначаемых в порядке убывания длиныволны индексами α , β , γ , …Привозбужденииэлектроном(илифотоном) из атома удаляется один извнутренних электронов, например, из K -слоя.Освободившееся место может быть занятоэлектроном из какого-либо внешнего слоя ( L ,M , N и т.д.

— при этом возникает K -серия).При увеличении атомного номера Z весьрентгеновский спектр смещается в коротковолновую часть, не меняя своей структуры.А.Н.Огурцов. Лекции по физике.Потенциальная энергия гармонического осциллятора равна: U =mω 02 x 2,2где ω 0 — собственная частота колебаний осциллятора, m — масса частицы.Классический осциллятор не может выйти за пределы "потенциальнойямы" с координатами − xmax ≤ x ≤ + xmax .Уравнение Шредингера для стационарных состояний квантовогоосциллятора:mω 02 x 2 ∂ 2ψ 2m  ⋅ψ = 0+ 2  E −22 ∂xh где E — полная энергия осциллятора.Собственные значения энергии для этогоуравнения:1E n =  n +  hω 0 (n = 0, 1, 2, K)2Таким образом, энергия квантового осциллятора квантуется (можетиметь лишь дискретные значения). Уровни энергии расположены наодинаковых расстояниях, равных hω 0 .Минимальнаяэнергия1E0 = hω 02называетсяэнергиейнулевыхколебаний.Существование энергии нулевых колебаний — типично квантовый эффект— прямое следствие соотношения неопределенностей.Частица в яме любой формы не может находиться на ее дне, поскольку внульобращаетсяимпульсчастицыиегонеопределенность,анеопределенность координаты становится бесконечной, что противоречит, всвою очередь, условию пребывания частицы в "потенциальной яме".Правилами отбора в квантовой механике называются условия,накладываемые на изменения квантовых чисел.Для гармонического осциллятора возможны лишь переходы междусоседними подуровнями, т.е.

переходы, удовлетворяющие правилу отбора:∆n = ±1Следовательно, энергия гармонического осциллятора может изменятьсятолько порциями hω и гармонический осциллятор испускает и поглощаетэнергию квантами.Квантово-механическое решение задачи о квантовом осцилляторепоказывает, что имеется отличная от нулявероятностьобнаружитьчастицузапределами области − xmax ≤ x ≤ + xmax .Нарисункеприведенаквантоваяплотностьвероятностиобнаруженияосциллятора при n = 1 , имеющая конечныезначения для x ≥ x max .Квантовая физика7–147–19Квантовая физика атомов и молекул.распределение16. Атом водорода в квантовой механике.На примере водородоподобных атомов — простейших атомов, содержащих единственный внешний электрон, — рассмотрим основы систематикиквантовых состояний атомов.

Поле водородоподобного атома— это пример центрального поля. В таком поле удобноиспользовать сферическую систему координат: r , θ , ϕ .Потенциальная энергия кулоновского взаимодействияэлектрона с атомным ядром, обладающим зарядом Ze (дляатома водорода Z = 1 )U (r ) = −Ze 2,4πε 0 rгде r — расстояние между электроном и ядром.Стационарное уравнение Шредингера∆ψ +Ze 2 2m ψ = 0+E4πε 0 r h 2 только при собственных значениях энергииEn = −1 Z 2 me 4n 2 8h 2ε 02(n = 1, 2, 3, K)(т.е. для дискретного набора отрицательных энергий (квантованиеэнергии)) имеет решения, удовлетворяющие требованиям однозначности,конечности и непрерывности волновой функции ψ ( r ,θ ,ϕ )Выражение для E n совпадает с полученным в теории атома Бора.Нижайший уровень E1 — основной, все остальные — возбужденные.При E < 0 движение электрона — связанное, при E > 0 — свободное(атом ионизуется).Энергия E = E∞ = 0 достигается при n = ∞ .4me= 13,55 эВ.8h 2ε 02Собственные волновые функции ψ = ψ nlm (r ,θ ,ϕ ) определяются тремяквантовыми числами: главным n , орбитальным l и магнитным m .Энергия ионизации атома водорода: Ei = − E1 =17.

Квантовые числа. Главное квантовое числоэлектрона в атоме:n определяет энергетические уровниn = 1, 2, 3, KОрбитальное квантовое число l при заданном n принимает значения:l = 0, 1, 2, K, (n − 1)иопределяетвеличинумоментаимпульсаорбитальный момент) электрона в атоме:Ll = h l (l + 1)А.Н.Огурцов. Лекции по физике.(механическийМаксвелла–Больцмана:E N i = A exp i  , kT где µ A = exp  .

Характеристики

Список файлов лекций