lect7quant (1083142), страница 5

Файл №1083142 lect7quant (Лекции Огурцова по физике) 5 страницаlect7quant (1083142) страница 52018-01-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Общее уравнение Шредингера.Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики имеет видh2∂Ψ∆Ψ + U ( x, y, z , t ) ⋅ Ψ = ih2m∂t2h∂∂2∂2где h =; m — масса частицы; ∆ = 2 ++ 222π∂x∂y∂z−Лапласа; i =— оператор− 1 — мнимая единица; U ( x, y, z , t ) — потенциальная функциячастицы в силовом поле, в котором она движется; Ψ ( x, y , z , t ) — искомаяволновая функция частицы.Уравнение дополняется условиями, накладываемыми на волновуюфункцию: (1) волновая функция должна быть конечной, однозначной инепрерывной; (2) производные∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψдолжны быть непрерывны;,,,∂x ∂y ∂z ∂t2(3) функция Ψ должна быть интегрируема; это условие в простейших случаяхсводится к условию нормировки вероятностей.11. Уравнение Шредингера для стационарных состояний.Важным частным случаем общего уравнения Шредингера, являетсяуравнение Шредингера для стационарных состояний, в котором исключеназависимость Ψ от времени и, поэтому, значения энергии этих состоянийявляются фиксированными (не изменяются со временем).В этом случае силовое поле, в котором движется частица, стационарно,т.е.

функция U = U ( x, y , z ) не зависит явно от времени и имеет смыслпотенциальной энергии. Решение уравнения может быть представлено в видепроизведения двух функций — функции только координат и функции тольковремени: E Ψ ( x, y, z, t ) = ψ ( x, y, z ) ⋅ exp − i t  , где E — полная энергия h частицы. Уравнение Шредингера:−h2 E  E  E E ⋅ exp − i t  ⋅ ∆ψ + U ⋅ψ ⋅ exp − i t  = ih − i  ⋅ψ ⋅ exp − i t 2m h  h  h h Квантовая физика7–107–23после упрощений приобретает вид:h2−∆ψ + Uψ = Eψ2mили2m∆ψ + 2 ( E − U )ψ = 0h— уравнение Шредингера для стационарных состояний.Физический смысл имеют только регулярные волновые функции — конечные,однозначные и непрерывные вместе со своими первыми производными.

Этиусловия выполняются только при определенном наборе E . Эти значенияэнергии называются собственными. Решения, которые соответствуютсобственным значениям энергии, называются собственными функциями.Собственные значения E могут образовывать как непрерывный, так идискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном (или сплошном)спектре, во втором — о дискретном спектре.12. Движение свободной частицы.Для свободной частицы U ( x ) = 0 (пусть она движется вдоль оси x ).∂ 2ψ 2m+Eψ = 0∂x 2 h 2 i ( Et − p x x) Ψ ( x, t ) = A exp(−iωt + ikx) = A exp −будет функция:,hpxEгде A = const , ω = , k =— волновое число — может принимать любыеhhh 2 k 2 p x2=— непрерывный спектр энергий.положительные значения, E =2m 2 mРешением уравнения Шредингера:Таким образом, свободная квантовая частица описывается плоскоймонохроматической волной де Бройля. Этому соответствует не зависящая отвремени плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке2∗2пространства Ψ = ΨΨ = A , т.е.

все положения свободной частицы впространстве являются равновероятными.13. Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками".Рассмотрим одномерную "потенциальную яму":∞, x < 0U ( x) =  0, 0 ≤ x ≤ l∞, x > lгде l — ширина "ямы", а энергия отсчитывается отее дна.Уравнение Шредингера для стационарных состояний в пределах ямы:∂ 2ψ 2m+Eψ = 0∂x 2 h 2или∂ 2ψ2mE+ k 2ψ = 0 , где k 2 = 2∂x 2hЗа пределы "ямы" частица не проникает, поэтому волновая функция вне"ямы" равна нулю, следовательно, на границах "ямы" непрерывная волноваяфункция также должна обращаться в нуль:ψ (0) = ψ (l ) = 0А.Н.Огурцов.

Лекции по физике.Линии в спектре комбинационного рассеяния с частотами ν = ν 0 − ν i ,меньшими частоты ν 0 падающего света, называются стоксовыми (иликрасными) спутниками.ν = ν 0 + ν i , бóльшими ν 0 , называютсяЛиниисчастотамиантистоксовыми (или фиолетовыми) спутниками.Квантовомеханическое объяснение эффекта Рамана: комбинационноерассеяние света есть процесс неупругого "столкновения" фотонов смолекулами, в котором один фотон поглощается и один фотон испускаетсямолекулой.Если энергии фотонов одинаковы, то в рассеянном свете наблюдаетсянесмещенная линия.Если молекула под действием света перейдет в возбужденное состояние,то испущенный фотон будет иметь меньшую частоту — возникает стоксов(красный) спутник.Если молекула перейдет из возбужденного состояния в основное, тоиспущенный фотон будет иметь бóльшую частоту — возникает антистоксов(фиолетовый) спутник. Интенсивность фиолетовых спутников растет стемпературой, а красных практически не изменяется.27.

Поглощение. Спонтанное и вынужденное излучение.Рассмотрим два квантовых состояния с энергиями E1 и E 2 .1. Поглощение. Если атом находится в основном состоянии1, то под действием внешнего излучения можетосуществиться вынужденный переход в возбужденноесостояние 2, приводящий к поглощению излучения.2. Спонтанное излучение. Атом, находясь в возбужденномсостоянии 2, может спонтанно (без внешних воздействий)перейти в основное состояние, испуская при этом фотон сhν = E2 − E1 . Процесс испускания фотонаэнергиейвозбужденным атомом без внешних воздействий называетсяспонтанным излучением. Чем больше вероятностьспонтанных переходов, тем меньше среднее время жизниатома в возбужденном состоянии. Так как спонтанныепереходы взаимно не связаны, то спонтанное излучениенекогерентно.3. Вынужденное излучение. А.

Эйнштейн для объяснения наблюдавшегосяна опыте термодинамического равновесия между веществом и испускаемым ипоглощаемым им излучением постулировал, что помимо поглощения испонтанного излучения должен существовать третий, качественно иной типвзаимодействия.Еслинаатом,находящийсяввозбужденном состоянии 2, действует внешнее излучение счастотой, удовлетворяющей условию hν = E 2 − E1 , товозникает вынужденный (индуцированный) переход восновное состояние 1 с излучением фотона той же энергииhν = E2 − E1 дополнительно к тому фотону, под действиемкоторого произошел переход. Таким образом, в процессвынужденного излучения вовлечены два фотона: первичный фотон,вызывающий (стимулирующий) испускание излучения возбужденным атомом,и вторичный фотон, испущенный атомом.Квантовая физика7–227–11Каждая из энергий квантуется и определяется квантовымичислами.Колебательная энергия, при небольших значениях колебательногоквантового числа υ , определяется формулой для энергии гармоническогоосциллятора:1Eкол = (υ + )hω2(υ = 0, 1, 2, K) .При этом правило отбора для колебательного квантового числа: ∆υ = ±1 .Вращательная энергия молекулы, вращающейся с угловой скоростьюω r , и имеющей момент инерции I относительно оси, проходящей через центрее инерции, равна:Iω r2 ( Iω r ) 2 M 2==22I2Iгде M = Iω r — момент импульсаEвращ =молекулы.Момент импульса квантуется позакону:M = h j ( j + 1)( j = 0, 1, 2, K)где j — вращательное квантовое число.Следовательно, вращательнаяэнергия молекулы может иметь толькоквантованные значения:Eвращ =h 2 j ( j + 1)2IПравило отбора для вращательногоквантового числа: ∆j = ±1 .Припереходеизодногоэнергетического состояния в другое, с учетом правил отбора, поглощается илииспускается фотон с энергией ∆E = hν .

На рисунке представлена схемауровней энергии двухатомной молекулы (для примера представлены толькодва электронных уровня: основное электронное состояние и первоевозбужденное электронное состояние).Типичные молекулярные спектры представляют собой совокупностьполос (полосатые спектры), которые в свою очередь состоят из огромногочисла настолько тесно расположенных линий — переходов междуэнергетическими уровнями, что их можно разделить, только используяспектральные приборы высокой разрешающей силы.26. Комбинационное рассеяние света (эффект Рамана).Если на вещество (газ, жидкость, прозрачный кристалл) падает строгомонохроматический свет с частотой ν 0 , то в спектре рассеянного света нарядус частотой ν 0 источника излучения наблюдаются дополнительныелинии с частотами ν = ν 0 ± ν i , где ν i — частоты колебательных иливращательных переходов рассеивающих молекул.А.Н.Огурцов.

Лекции по физике.Этим граничным условиям удовлетворяет решение уравнения Шредингераψ ( x) = A sin kx + B cos kx при B = 0 и k =En =n 2π 2 h 22ml 2nπ2mE2. Поскольку k =, тоlh2(n = 1, 2, 3, K) — собственные значения энергии.При этом минимально возможное значение энергии:E min =π 2h 2.2ml 2Таким образом, энергия частицы в бесконечно высокой потенциальной"яме" принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется.Квантованные значения энергии E n называются уровнями энергии, ачисло n , определяющее энергетические уровни частицы называется главнымквантовым числом.Собственныенормировкиlволновыеl∫0ψ n ( x)dx = A ∫0 sin222функцииψ n ( x) = A sinnπx,lсучетомnπx dx = 1 , будут иметь вид:l2nπψ n ( x) =sinx (n = 1, 2, 3, K)llНа рисунке изображены графикисобственных функций (а) и плотностьвероятности (б) обнаружения частицына разных расстояниях от "стенок"ямы, определяемая выражением2ψ n ( x) = ψ n ( x)ψ n∗ ( x) .14.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
669,96 Kb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6480
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее