Числовые и функциональные ряды (1082840), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Выражение вида23∞∑un =1n( x) = u1 ( x) + u 2 ( x) + … + u n ( x) + …называется функциональным рядом.Дадим определение степенного ряда, который является важным частным случаемфункционального.Определение. Функциональный ряд вида∞∑сn =0nx n = с0 + c1 x + c 2 x 2 + … + c n x n + … ,где ck -- числа, не зависящие от x , называется степенным рядом.Ряд вида∞∑сn =0n( x − a) n = с 0 + c1 ( x − a ) + c 2 ( x − a ) 2 + … + c n ( x − a ) n + …также является степенным и называется рядом по степеням ( x − a) , здесь a -- число.При любом фиксированном значении x степенной ряд превращается в числовой, которыйлибо сходится, либо расходится.Определение. Множество всех значений переменной x , при которых степенной рядсходится, называется его областью сходимости.∞Всякий степенной ряд∑сn =0∞∑сn =0nnx n сходится при x = 0 , соответственно ряд( x − a ) n сходится при x = a .Область сходимости степенного ряда – это числовой интервалx <R,∞симметричный относительно нуля для ряда∑с xn =1nnи числовой интервалx−a < R ,∞симметричный относительно точки a для ряда∑сn =1n( x − a) n .При этом число R называется радиусом сходимости степенного ряда.
Число Rможет принимать любые неотрицательные значения. В частности, если R = 0 , то рядсходится в одной точке x = 0 , если R = ∞ степенной ряд сходится на всей числовойпрямой.Для нахождения области сходимости степенного ряда обычно используют признакДаламбера. Кроме того, существует формула (Коши-Адамара) для нахождения радиусасходимости степенного ряда:cR = lim n .n →∞ cn +1При x < − R и при x > R ряд расходится, а поведение ряда при x = ± R подлежитотдельному исследованию.∞xnЗадача №1. Найти область сходимости степенного ряда ∑.n ⋅ 3nn =1Решение. Применим признак Даламбера:x n +1xn=uun =,, тогдаn +1n + 1 ⋅ 3 n +1n ⋅ 3n24x n +1xxxn ⋅ 3 n ⋅ x n +1nnn + 1 ⋅ 3 n +1limlimlim==⋅=⋅=.n →∞3 n →∞ n + 1 3 n →∞3xnn + 1 ⋅ 3 n +1 ⋅ x n1n ⋅ 1+nn ⋅ 3nРяд сходится, еслиx< 1 , т.е.
x < 3, − 3 < x < 3 .3Таким образом, R = 3 .Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.Пусть x = 3 . Подставим это значение в формулу для исходного ряда. Получимположительный ряд∞∞3n1=.∑∑nn ⋅3nn =1n =11Он расходится как обобщенный гармонический, p = < 1 .2Следовательно, значение x = 3 не принадлежит области сходимости.Пусть x = −3 . Тогда получаем числовой ряд∞∞(− 1)n ⋅ 3n = ∞ (− 1)n ,(−3) n=∑∑∑n ⋅ 3n n=1 n ⋅ 3nnn =1n =1который является знакопеременным. Исследуем его на абсолютную сходимость.
Дляэтого рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда:u n +1= limn →∞ un →∞nlim∞(− 1)n∞1.nnn =1n =1Получили положительный обобщенный гармонический ряд, который расходится,n∞(1−1)поскольку p = < 1 . Следовательно, исследуемый знакопеременный ряд ∑не2nn =1сходится абсолютно.Дальнейшее исследование на сходимость проведем, используя признак Лейбница.1.
Ряд является знакочередующимся.11<.2. Модули членов ряда монотонно убывают:n +1n1=0.3. Модуль n -го члена ряда стремиться к нулю: limn →∞nПоскольку все условия признака Лейбница выполняются и ряд не сходится абсолютно,то ряд сходится условно. Таким образом, при x = −3 степенной ряд сходится.Теперь можно записать ответ.Ответ: x ∈ [− 3,3) .Степенной ряд вида∑∞=∑∑ с ( x − a)n =1nnимеет интервал сходимости, симметричный относительно точки x = a ,интервал сходимости имеет видa−R< x<a+R,поведение ряда при x = a − R и x = a + R подлежит, как и в предыдущем случае,дополнительному исследованию.25Задача №2. Найти область сходимости степенного ряда∞∑(x + 4)n.n3 ⋅ 5nРешение. Для нахождения интервала сходимости используем, как и прежде, признакДаламбера:( x + 4) n( x + 4) n +1,u n = 3 n , u n +1 =n ⋅5(n + 1) 3 ⋅ 5 nn =1ulim n +1n→∞ un(x + 4)n+13(n + 1) ⋅ 5 n +1= limn→∞( x + 4 )n= limn →∞n 3 ⋅ 5 n ⋅ (x + 4)n +1(n + 1)3 ⋅ 5 n+1 ⋅ (x + 4)n=x+45⋅ limn →∞n3(n + 1)3=n 3 ⋅ 5n=x+4⋅ limn31 ⎞⎛n 3 ⎜1 + 3 ⎟⎝ n ⎠Степенной ряд сходится, если5n →∞=x+45x+45< 1,отсюда имеем:x+4 < 5,следовательно, радиус сходимости степенного ряда R = 5 .− 5 < x + 4 < 5, − 9 < x < 1 ,интервал сходимости симметричен относительно точки x = −4 .Теперь необходимо выяснить, как ведет себя степенной ряд на концах интерваласходимости.Пусть x = 1 .
После подстановки этого значения в степенной ряд получим:∞(1 + 4)n = ∞ 1 .∑∑3n3n =1 n ⋅ 5n =1 nЭто сходящийся обобщенный гармонический ряд и значит число x = 1 принадлежитинтервалу сходимости.Пусть x = −9 . Подставим это значение в исходный ряд вместо x :∞(− 5)n = ∞ (− 1)n .∑∑3n3n =1 n ⋅ 5n =1 nПолучили знакочередующийся числовой ряд, который будем исследовать на абсолютнуюсходимость, т.е. будем исследовать ряд∞∑n =1(− 1)nn3∞1.3т =1 n=∑Этот положительный ряд сходится как обобщенный гармонический при p = 3 > 1 .Отсюда следует, что знакопеременный ряд∞(− 1)n∑3n =1 nсходится абсолютно и значение x = −9 принадлежит интервалу сходимости.Ответ: x ∈ [− 9,1] .Задача №3.2n(x − 2)Найти область сходимости ряда ∑.nn =1 (n + 1) ⋅ 9∞262( n +1)( x − 2)( x − 2) 2 nu=Решение..un =,(n + 1) ⋅ 9 n n +1 ( n + 2) ⋅ 9n+1Вычислим предел:(x − 2)2(n+1)(n + 2) ⋅ 9 n+1= limn →∞( x − 2 )2 n(n + 1) ⋅ 9 nu n +1n→∞ unlim=x−292(n + 1) ⋅ 9 n ⋅ (x − 2)2 n+ 2n → ∞ (n + 2 ) ⋅ 9 n +1 ⋅ ( x − 2 )2 n= limn + 1 (x − 2)=n →∞ n + 292⋅ lim=⎛ 1⎞n⎜1 + ⎟2n ⎠ (x − 2)=⋅ lim ⎝n →∞ ⎛2⎞9n⎜1 + ⎟⎝ n⎠Интервал сходимости находим из неравенства(x − 2)2 < 1 :92(x − 2) < 9, x − 2 < 3 , т.е.радиус сходимости R = 3 , a = 2 .Интервал сходимости имеет вид: − 1 < x < 5 .Исследуем поведение ряда на границах интервала сходимости.Подставим значение x = −1 в исходный ряд:∞(− 1 − 2)2 n = ∞ (− 3)2 n = ∞ 9 n = ∞ 1 .∑∑∑∑nnnn =1 (n + 1) ⋅ 9n =1 (n + 1) ⋅ 9n =1 (n + 1) ⋅ 9n =1 n + 1∞1расходится.
Таким образом, при x = −1 степенной ряд расходится.Ряд ∑n =1 n + 1При x = 5 получим:∞(5 − 2)2 n = ∞ 32 n = ∞ 1 ,∑∑∑nnn =1 (n + 1) ⋅ 9n =1 (n + 1) ⋅ 9n =1 n + 1Следовательно, при x = 5 степенной ряд расходится.Ответ: x ∈ (− 1, 5) .Задача №4. Найти область сходимости рядаРешение. u n =ulim n +1n→∞ un∞(x + 1)nn =1n!∑.( x + 1) n( x + 1) n +1, u n +1 =n!(n + 1) !(x + 1)n+1(n + 1)!= limn →∞ ( x + 1)n= limn →∞n !⋅( x + 1)n +1(n + 1)!⋅(x + 1)n1= x + 1 ⋅ 0 = 0.n →∞ n + 1== x + 1 ⋅ limn!u n +1= 0 < 1 независимо от значения x , следовательно,n →∞ unпри любом x ∈ R степенной ряд сходится, поэтому область сходимости ряда – всячисловая прямая.Мы получили, что lim27Ответ: x ∈ (−∞,+∞) .∞Задача №5. Найти область сходимости ряда∑nn⋅ xn .n =1Решение.u n = n n ⋅ x n , u n +1 = (n + 1) n +1 ⋅ x n +1nu(n + 1) n +1 ⋅ x n +1⎛ n + 1⎞= x ⋅ lim⎜lim n +1 = lim⎟ ⋅ (n + 1) =nnn→∞ un →∞n →∞n ⋅x⎝ n ⎠nn⎛ 1⎞= x ⋅ lim⎜1 + ⎟ ⋅ (n + 1) = x ⋅ e ⋅ lim (n + 1) = ∞.n →∞n →∞⎝ n⎠Степенной ряд расходится при любом значении x ≠ 0 .Ответ: x ∈ { 0 }.§6.
Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Использование степенных рядов вприближенных вычислениях.Рассмотрим задачу разложения некоторой функции в степенной ряд.Пусть задана функция f (x) , имеющая на некотором отрезке производные всех порядков,тогда она разлагается на этом отрезке в ряд видаf ′(a )f ′′(a )f ′′′(a )f (n ) (a )f (a) +( x − a) +( x − a) 2 +( x − a) 3 + … +( x − a) n + … ,1!2!3!n!который называется рядом Тейлора.
Здесь a -- заданное число.Формально ряд Тейлора можно написать для всякой функции, которая в окрестноститочки a имеет производные любого порядка. Однако этот ряд будет сходиться кпородившей ее функции только при тех значениях x , при которых остаток рядастремиться к нулю:lim Rn ( x) = 0 .n →∞Остаток ряда Тейлора записывается в форме Лагранжа следующим образом:f (n+1) (c )(x − a )n+1 ,Rn ( x ) =(n + 1)!где c заключено между a и x .Если a = 0 , то получаем частный случай ряда Тейлора, который называется рядомМаклорена:f ′(0)f ′′( x) 2 f ′′′(0) 3f (n ) (0) nf ( x) = f (0) +x+x +x +…+x +….1!2!3!n!Рассмотрим ряды Маклорена для некоторых элементарных функций.x 2 x3xnex = 1+ x + + +…++…n!2! 3!x3 x5 x7x 2 n−1sin x = x − + − + … ++…(2n − 1)!3! 5! 7!x2 x4x 2 n−2+ +…++…(2n − 2)!2! 4!m(m − 1) 2 m(m − 1)(m − 2 ) 3m(m − 1)… (m − n + 1) n(1 + x) m = 1 + mx +x +x +…+x + … -2!3!n!cos x = 1 −28данный ряд называется биномиальным, поскольку при натуральном m из него получаетсябином Ньютона.x2 x3 x4xnln(1 + x) = x −+−+ … + (−1) n +1+…3n24Подчеркнем, что степенные ряды для функций y = e x , y = sin x, y = cos x сходятся ксоответствующим функциям при x ∈ (− ∞,+∞ ) , а степенные ряды для функций y = (1 + x )и y = ln(1 + x) сходятся лишь при x < 1 .m3Задача №1.
Написать разложение в степенной ряд функции y = e x .Решение. В качестве исходной формулы возьмем разложение в ряд Маклоренафункции y = e x :ex = 1+ x +Заменим x на x 3 :x 2 x3xn+ +…++….n!2! 3!( )3ex3x6 x9x 3n(x3 )2(x3 )nx3= 1+ x +++…++ … = 1 + x3 +++…++…n!2!3!2 ! 3!n!33Ответ: e x = 1 + x 3 +x6 x9x 3n++…++…2! 3!n!Задача №2. Написать разложение в степенной ряд функции y =11+ x2.Решение.Запишем биномиальный рядm(m − 1) 2 m(m − 1)(m − 2) 3m(m − 1)… (m − n + 1) n(1 + x) m = 1 + mx +x +x +…+x +…2!3!n!и сделаем в нем замену x → x 2 :m(m − 1) 2 2 m(m − 1)(m − 2 ) 2 3m(m − 1)… (m − n + 1) 2x(1 + x 2 ) m = 1 + mx 2 +x +x +…+2!3!n!( )(1 + x 2 ) m = 1 + mx 2 +( )( )n+…m(m − 1) 4 m(m − 1)(m − 2 ) 6m(m − 1)… (m − n + 1) 2 nx +x +…+x + ….2!3!n!1, подставим это значение в предыдущую формулу:21⎛ 1 ⎞1 ⎛ 1 ⎞⎛ 1⎞− ⎜ − − 1⎟⎜ − − 2 ⎟− ⎜ − − 1⎟1−12⎝ 2 ⎠ 42 ⎝ 2 ⎠⎝ 2⎠ x6 + … +(1 + x 2 ) 2 = 1 − x 2 +x +22!3!1⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞− ⎜ − − 1⎟ … ⎜ − − n + 1⎟2⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠ x 2n + …+n!1−11⋅ 3 4 1⋅ 3 ⋅ 5 61 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ (2n − 1) 2 nx − 3x +…+x +…(1 + x 2 ) 2 = 1 − x 2 + 222 ⋅ 2!2 ⋅ 3!2 n ⋅ n!111⋅ 3 4 1⋅ 3 ⋅ 5 61 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ (2n − 1) 2 nОтвет:= 1− x2 + 2x − 3x +…+x +….222 ⋅ 2!2 ⋅ 3!2 n ⋅ n!1+ xСтепенные ряды широко используются в приближенных вычислениях.
Рассмотримприменение рядов Тейлора для приближенного вычисления значений функций, значенийопределенных интегралов и приближенного решения дифференциальных уравнений.По условию m = −29Задача №3. Вычислить 6 e приближенно с точностью 0,0001.Решение. Для любого x имеет место формула:x2 x3xnex = 1+ x +++…++… .n!2! 3!1При x = получим611111e6 = 1+ + 2+ 3+…+ n+ ….6 6 ⋅ 2! 6 ⋅ 3!6 ⋅ n!Оценим погрешность вычислений с помощью остаточного члена в форме Лагранжа:f (n +1) (c ) n +1Rn ( x ) =x .(n + 1)!Так какf (n +1) ( x) = e x , f (n +1) (c) = e c , тоecRn ( x ) =x n +1 ,(n + 1)!где c лежит между 0 и x .1При x = имеем6ec ⎛ 1 ⎞⎛1⎞Rn ⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎝ 6 ⎠ (n + 1)! ⎝ 6 ⎠где 0 < с <n +1,1.616Учитывая, что e < e < 2 , получимc2⎛1⎞Rn ⎜ ⎟ < n+1.⎝ 6 ⎠ 6 ⋅ (n + 1)!При n = 2При n = 3221⎛1⎞R2 ⎜ ⎟ < 2+1==> 0,0001 .⎝ 6 ⎠ 6 ⋅ (2 + 1)! 216 ⋅ 3! 648221⎛1⎞R3 ⎜ ⎟ < 3+1==< 0,0001 .⎝ 6 ⎠ 6 ⋅ (3 + 1)! 1296 ⋅ 4! 15552Таким образом, для достижения требуемой точности достаточно взять n = 3 (или более):1116e ≈ 1+ + 2+ 3 .6 6 ⋅ 2! 6 ⋅ 3!Каждое слагаемое вычислим с одним дополнительным знаком после запятой, чтобы кнашей ошибке не добавлялись ошибки от округления:6e ≈ 1+ 0,16667 + 0,01389 + 0,00077 = 1,1813 .Ответ: с точностью 0,00016e ≈ 1,1813 .Задача №4.
Вычислить 4 17 приближенно с точностью 0,0001.Решение. Для вычисления 4 17 будем использовать биномиальный ряд, которыйсходится только при x < 1 , поэтому сначала преобразуем данный корень:3011⎞1 ⎞4⎛⎛17 = 16 + 1 = 4 16⎜1 + ⎟ = 2 ⋅ ⎜1 + ⎟ .⎝ 16 ⎠⎝ 16 ⎠11В биномиальном ряде положим m = , x = :4161⎛1 ⎞1 ⎛ 1 ⎞⎛ 1⎞1⎜ − 1⎟⎜ − 1⎟⎜ − 2 ⎟231 ⎞41 1 4⎝4 ⎠⎛ 1 ⎞4 ⎝ 4 ⎠⎝ 4⎛⎛1⎞⎠⎜ ⎟ +… =⎜1 + ⎟ = 1 + ⋅ +⎜ ⎟ +4 162!3!⎝ 16 ⎠⎝ 16 ⎠⎝ 16 ⎠11⋅ 31⋅ 3 ⋅ 7= 1+−+−…224 ⋅ 16 2!⋅4 ⋅ 163!⋅4 3 ⋅ 16 34411 ⎞411⋅ 31⋅ 3 ⋅ 7⎛⎡⎤417 = 2 ⋅ ⎜1 + ⎟ = 2 ⋅ ⎢1 +−+− …⎥ .22333!⋅4 ⋅ 16⎝ 16 ⎠⎣ 4 ⋅ 16 2!⋅4 ⋅ 16⎦Данный знакочередующийся числовой ряд является рядом Лейбница.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
