Числовые и функциональные ряды (1082840), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Чтобы определить,сколько взять первых членов ряда для вычисления 4 17 с точностью 0,0001, вычислимпоследовательно несколько первых членов ряда:a1 = 1; a 2 ≈ 0,01562 ; a3 ≈ −0,00037; a 4 ≈ 0,00001 .Согласно свойству ряда Лейбница, если оставить первые три слагаемые, то ошибкаискомого приближенного значения корня будет меньше 2a4 :2a 4 ≈ 2 ⋅ 0,00001 < 0,0001 ,следовательно,417 ≈ 2(1 + 0,01562 − 0,00037 ) ≈ 2,0305 .Ответ: с точностью 0,0001 4 17 ≈ 2,0305Пусть необходимо посчитать определенный интегралb∫ f ( x)dxaот некоторой функции f (x) , первообразная которой не вычисляется в элементарныхфункциях.
Следовательно, формулу Ньютона-Лейбница применить не удается. Если f (x)разложима в степенной ряд на отрезке [a, b] , принадлежащем области сходимости ряда, тоинтеграл может быть вычислен приближенно. Иногда приближенного вычисления бываетдостаточно и при наличии первообразной функции. Для решения такой задачииспользуются ряды Тейлора. Рассмотрим примеры.1Задача №5. Вычислить определенный интеграл−x∫ e dx с точностью 0,01.20Решение. Заметим, что этот широко используемый интеграл не выражается вэлементарных функциях.В ряде Маклорена для функции y = e x сделаем замену x → − x 2 :e− x2= 1− x2(− x ) + (− x )+2 22!2 33!x4 x6+… = 1− x +−+….2! 3!2Теперь воспользуемся теоремой о том, что степенной ряд можно почленно интегрироватьпо любому отрезку, принадлежащему интервалу сходимости.
Данный ряд сходится навсей числовой прямой, следовательно, его можно интегрировать по любому отрезку, в томчисле по отрезку [0,1] :31111111 8⎛⎞x 4 x 6 x8x4x6x− x222⎜⎟edxxdxdxxdxdxdxdx − … ==−+−+−…=−+−+11∫0∫0 ⎜⎝∫∫∫∫∫⎟2! 3! 4!2!3!4!⎠000001x3= x0 −31111x5x7x91111+−+−… = 1− +−+−…5 ⋅ 2! 0 7 ⋅ 3! 0 9 ⋅ 4! 03 5 ⋅ 2! 7 ⋅ 3! 9 ⋅ 4!10Мы получили числовой ряд, который равен значению определенного интеграла.Оценим погрешность вычислений. Данный ряд – это ряд Лейбница, следовательно,погрешность вычислений не превосходит по модулю первого отброшенного члена ряда.Поэтому, вычисляя по порядку члены ряда, первым отбросим тот, который окажется помодулю меньше заданной точности:1> 0,01 ,7 ⋅ 3!1< 0,01 .9 ⋅ 4!1∫eТогда− x201111dx ≈ 1 − +−= 1 − 0,333 + 0,100 − 0, 024=0,743.3 5 ⋅ 2! 7 ⋅ 3!Ответ: ∫ e − x dx ≈ 0,743.201Задача №6.
Вычислить определенный интеграл∫ cos x dx с точностью 0,001.20Решение. Вычислить этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница нельзя, посколькупервообразная функции f ( x) = cos x 2 не выражается в элементарных функциях.Используем для решения задачи степенной ряд. Запишем разложение в ряд Маклоренафункции f ( x) = cos x :x 2 x 4 x 6 x8cos x = 1 − + − + − … .2! 4! 6! 8!2Сделаем в этой формуле замену x → x :(x ) + (x ) − (x ) + (x )= 1−2 22 42 62 8x 4 x 8 x12 x16+ −++…2!4!6!8!2! 4! 6!8!Данный ряд можно почленно проинтегрировать по отрезку [0,1] :cos x2−… = 1−1111 121 81 16⎛ x 4 x 8 x 12 x 16⎞x4xxx2⎜⎟xdxdxdxdxdxdxcos1…=1−+−+=−+−++∫0∫0 ⎜⎝ 2! 4! 6! 8! ⎟⎠ ∫0∫0 2! ∫0 4! ∫0 6! ∫0 8! dx + … =11111x5x9x 12x 171111= x0 −+−+−… = 1−+−+−… .5 ⋅ 2! 0 9 ⋅ 4! 0 12 ⋅ 6! 0 17 ⋅ 8! 05 ⋅ 2! 9 ⋅ 4! 12 ⋅ 6! 17 ⋅ 8!1Таким образом, вычисляемый определенный интеграл равен сумме знакочередующегосячислового ряда, который удовлетворяет условиям признака Лейбница, следовательно,погрешность вычислений не превосходит модуля первого из отброшенных членов ряда.11> 0,001 ,< 0,001 .9 ⋅ 4!12 ⋅ 6!Поэтому для достижения заданной точности необходимо оставить первые 3 слагаемые.32111∫ cos x dx ≈ 1 − 10 + 216 = 1 − 0,1000 + 0,0046 = 0,905 .201Ответ: ∫ cos x 2 dx ≈ 0,905 .01x − sin xdx с точностью 0,001.x0Решение.
Распишем ряд Маклорена для функции f ( x) = sin x .Задача №7. . Вычислить определенный интегралsin x = x −∫x3 x5 x7 x9+ − + −… .3! 5! 7! 9!Тогда⎛⎞ x3 x5 x7 x9x3 x5 x7 x9x − sin x = x − ⎜⎜ x − + − + − …⎟⎟ = − + − + … .3! 5! 7! 9!⎝⎠ 3! 5! 7! 9!Поделим левую и правую часть формулы на x :x − sin x x 2 x 4 x 6 x 8=− + − +… .3! 5! 7! 9!xПолученный степенной ряд можно почленно проинтегрировать по отрезку [0,1] .1⎛ x3⎞1111x − sin xx5x7x9⎜=−+−dx∫0 x⎜ 3 ⋅ 3! 5 ⋅ 5! 7 ⋅ 7! 9 ⋅ 9! + …⎟⎟ = 3 ⋅ 3! − 5 ⋅ 5! + 7 ⋅ 7! − 9 ⋅ 9! + … .⎝⎠01Получившийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница, поэтому отбрасываемпервым слагаемое, которое меньше объявленной точности:11> 0,001 ,< 0,001 .5 ⋅ 5!7 ⋅ 7!111x − sin x∫0 x ≈ 3 ⋅ 3! − 5 ⋅ 5! = 0,0555 − 0,0017 = 0,054 .1x − sin x≈ 0,054 .x0Рассмотрим еще одно приложение степенных рядов, к приближенному решениюдифференциальных уравнений.
Решение дифференциального уравнения не всегда можновыразить в элементарных функциях. Интегралы многих дифференциальных уравнениймогут быть представлены в виде степенного ряда, сходящегося в некотором интервалезначений независимой переменной. В таком случае ряд, являющийся решениемдифференциального уравнения можно найти с помощью рядов Тейлора.Пусть необходимо найти частное решение дифференциального уравнения с заданныминачальными условиями, т.е.
решить задачу Коши.Проиллюстрируем решение на примере.Ответ:∫Задача №8. Найти первые пять членов разложения в степенной ряд решениядифференциального уравнения y ′′ = 2 xy , удовлетворяющего начальным условиямy (0) = 1, y ′(0) = 1 .Решение. Будем искать частное решение дифференциального уравнения в виде рядаy ′(0)y ′′(0) 2 y ′′′(0) 3y (n ) (0) ny ( x) = y (0) +x+x +x +…+x +… .1!2!3!n!33Мы выбрали разложение в ряд Маклорена, поскольку в условии задачи нам данызначения искомой функции и ее первой производной в точке x0 = 0 .
Для того, чтобынайти приближенное значение функции y (x) , нам необходимо знать значения ее второй,третьей и четвертой производных в точке x0 = 0 . Значения самой функции и первойпроизводной в нуле даны по условию.Значение второй производной при x0 = 0 найдем из дифференциального уравнения,подставив начальные условия:y ′′(0) = 2 ⋅ 0 ⋅1 = 0 .Для нахождения третьей производной продифференцируем данное дифференциальноеуравнение:( y ′′)′ = (2 xy )′ .При этом необходимо учесть, что y -- это функция, а x -- независимая переменная:y ′′′ = 2( x′y + xy ′), y ′′′ = 2( y + xy ′) .Теперь можно вычислить значение третьей производной в точке x0 = 0 :y ′′′(0) = 2(1 + 0 ⋅1) = 2 .Аналогично вычислим значение четвертой производной:( y ′′′)′ = (2( y + xy ′))′ , илиy ′′′′ = 2( y ′ + x ′y ′ + xy ′′), y ′′′′ = 2( y ′ + y ′ + xy ′′), y ′′′′ = 2(2 y ′ + xy ′′) .Подставив в найденное равенство значенияx0 = 0, y (0) = 1, y ′(0) = 1, y ′′(0) = 0, y ′′′(0) = 2 получим:y ′′′′(0) = 2(2 ⋅1 + 0 ⋅ 0 ) = 4 .Осталось подставить вычисленные в заданной точке значения производных в рядМаклорена:102411y ( x) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 = 1 + x + x 3 + x 4 + … .1!2!3!4!3611Ответ: y ( x) = 1 + x + x 3 + x 4 + … .36Задача №9.
Найти первые четыре члена разложения в степенной ряд решенияy′дифференциального уравнения y ′′ + + y = 0 , удовлетворяющего начальным условиямxy (1) = 0, y ′(1) = 1 .Решение. Начальные условия заданы в точке a = 1 , поэтому решение будем искать ввиде ряда Тейлора:y ′(1)y ′′(1)y ′′′(1)y (n ) (1)y ( x) = y (1) +( x − 1) +( x − 1) 2 +( x − 1) 3 + … +( x − 1) n + … .n!1!2!3!Значения самой функции и ее первой производной даны в условии задачи. Вторуюпроизводную в точке a = 1 найдем из дифференциального уравнения:y ′(1)y′− y (1), y ′′(1) = −1 − 0 = −1 .y ′′ = − − y, y ′′(1) = −x1Вычислим третью производную, продифференцировав дифференциальное уравнение:′′⎞− y ⎟ илиx⎠( y ′′)′ = ⎛⎜ − y⎝34y ′′x − y ′− y′ .x2Тогда значение третьей производной равноy ′′′ = −− 1 ⋅1 − 1y ′′(1) ⋅ 1 − y ′(1)− y ′(1), y ′′′(1) = −− 1 = −1 .211Осталось записать искомый ряд:1111123y ( x) = 0 + ( x − 1) − ( x − 1) 2 − ( x − 1) 3 + … = ( x − 1) − ( x − 1) − ( x − 1) + …1!2!3!261123Ответ: y ( x) = ( x − 1) − ( x − 1) − ( x − 1) + …26y ′′′(1) = −§7.
Ряды Фурье.Мы рассмотрели ряды Тейлора, в которых функция разлагалась в ряд по системемногочленовu n ( x) = x n , n = 0,1,2 ,… .Существуют другие способы разложения функции в ряд. Например, можно разложитьфункцию в ряд по системе тригонометрических функций. Такое представление широкоприменяется для описания различных периодических процессов или функций, заданныхна отрезке, которые можно доопределить на всю числовую прямую как периодические.{}Рассмотрим функцию f (x) , периодическую с периодом T = 2l .Определение. Ряд видаa0 ∞ ⎛πkπk ⎞+ ∑ ⎜ ak cos x + bk sin x ⎟ , где2 k =1 ⎝ll ⎠πkπk11a0 = ∫ f ( x)dx, a k = ∫ f ( x) cos xdx, bk = ∫ f ( x) sin xdxl −ll −lll−lназывается рядом Фурье для заданной функции f (x) .Для того, чтобы функцию можно было разложить в ряд Фурье она должна бытькусочно непрерывной, кусочно монотонной и ограниченной (т.н.
условия Дирихле), тоесть требуются гораздо более простые условия, чем для разложения в ряд Тейлора.Если функция f (x) имеет период T = 2π , то получаем в качестве частного случаяследующее разложение в ряд Фурье:∞af ( x) = 0 + ∑ (ak cos kx + bk sin kx ) ,2 k =1la0 =1πlπ∫π−f ( x)dx, a k =1πl`π∫π−f ( x) cos kxdx, bk =1ππ`∫π f ( x) sin kxdx .−Рассмотрим примеры.⎧2, − π < x < 0Задача №1. Разложить в ряд Фурье функцию y = ⎨.1,0xπ−<<⎩Решение. Данную функцию продолжим на всю числовую прямую как периодическую спериодом T = 2π , тогда ряд Фурье для нее будет иметь вид:35a0 ∞+ ∑ (ak cos kx + bk sin kx ) .2 k =1Необходимо найти коэффициенты разложения a0 , a k , bk . Функция задана на интервалеf ( x) =[− π , π ]разными формулами, поэтому при вычислении разобьем интеграл на два:0π⎞ 11⎛⎜a0 = ∫ f ( x)dx = ⎜ ∫ 2dx + ∫ (− 1)dx ⎟⎟ = (2 ⋅ (0 + π ) − 1⋅ (π − 0)) = 1 .π −ππ ⎝ −π0⎠ ππ0π⎞ 1⎛ 111⎛1−π ⎞0⎜ak = ∫ f ( x) cos kxdx = ⎜ ∫ 2 cos kxdx + ∫ (− 1)cos kxdx ⎟⎟ = ⎜ 2 ⋅ sin kx −π − ⋅ sin kx 0 ⎟ = 0 .π −ππ ⎝ −πk⎠0⎠ π⎝ kНапомним, что sin 0 = sin kπ = sin(−kπ ) = 0, при k ∈ Z .1ππ0⎞ 1 ⎛ 21⎛0π ⎞⎞⎛ 1⎜bk = ∫ f ( x) sin kxdx = ⎜ ∫ 2 sin kxdx + ∫ (− 1)sin kxdx ⎟⎟ = ⋅ ⎜⎜ − cos kx −π − ⎜ − coskx 0 ⎟ ⎟⎟ =π −ππ ⎝ −π⎝ k⎠⎠0⎠ π ⎝ k1 ⎛ 211⎞ 1 ⎛ 2⎞kk= ⋅ ⎜ − (1 − cos(− kπ )) + (cos kπ − 1)⎟ = ⋅ ⎜ − 1 − (− 1) + (− 1) − 1 ⎟ =π ⎝ kkk⎠ π ⎝ k⎠π1(() ()() ())1 ⎛21⎞ 1 3kkk⋅ ⎜ (− 1) − 1 + (− 1) − 1 ⎟ = ⋅ (− 1) − 1 .π ⎝kk⎠ π kПри вычислениях использовали, что cos 0 = cos kπ = cos(− kπ ) = (− 1) , k ∈ Z .Таким образом, ряд Фурье для заданной функции имеет вид:1 ∞ ⎛ 3(− 1)k − 1 sin kx ⎞⎟ .y ( x) = + ∑ ⎜2 k =1 ⎝ πk⎠∞1⎛ 3(− 1)k − 1 sin kx ⎞⎟ .Ответ: y ( x) = + ∑ ⎜2 k =1 ⎝ πk⎠⎧ x, − 3 < x < 0Задача №2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
