Числовые и функциональные ряды (1082840), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Исследовать на сходимость ряд ∑ .n =1 n!11,an = , an+1 =Решение.(n + 1)!n!1a(n + 1)! = lim n! = lim 1 = 0 < 1 ,lim n+1 = limn →∞ an →∞n →∞ (n + 1)!n →∞ n1nn!следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.∞n +1Задача №2. Исследовать на сходимость ряд ∑ n .n =1 5Решение.n +1n+2an = n , an +1 = n+1 ,поэтому55⎛ 2⎞n+2n⎜ 1 + ⎟n1n+a(n + 2)5 = 1 lim n + 2 = 1 lim ⎝ n ⎠ = 1 < 1,lim n+1 = lim 5= limn →∞ an →∞ n + 1n →∞ (n + 1)5 n +15 n →∞ n + 1 5 n →∞ ⎛ 1 ⎞ 5nn⎜ 1 + ⎟n5⎝ n⎠ряд сходится по признаку Даламбера.Ответ: ряд расходится.∞3nЗадача №3. Исследовать на сходимость ряд ∑.n =1 (2n )!Решение.103n3 n +13 n +1, a n +1 =, тогда=(2n )!(2(n + 1))! (2n + 2)!an =3 n +1a1(2n + 2)! = lim (2n )!⋅3 n+1 = 3 limlim n +1 = lim= 0 < 1,nnn →∞ an →∞n → ∞ (2n + 2 )!⋅3n → ∞ ( 2n + 1)( 2n + 2)3n(2n )!Ряд сходится по признаку Даламбера.Ответ: ряд сходится.∞4 2n−2Задача №4. Исследовать на сходимость ряд ∑ n +1.nn =1 3Решение.4 n−24 n −1, a n +1 = 2 n +3, тогдаa n = 2 n +13n3n +14 2na4 2 n ⋅ 3 n +1 n42 n1616n3n+2 n + 1=lim=lim= lim=> 1,lim n +1 = limn−22222n−n+n→∞ an →∞n →∞44⋅3n + 1 n →∞ 3 n + 1 3 n →∞ n + 1 3n3 n +1 nпо признаку Даламбера ряд расходится.Ответ: ряд расходится.Рассмотренные примеры позволяют сделать вывод о том, что к большинству рядов,общий член которых содержит функции a n , n!, n n целесообразно применять признакДаламбера.2.
Интегральный признак.Теорема (интегральный признак сходимости Коши-Маклорена).Пусть дан ряд∞∑an =1n= a1 + a 2 + … + a n + … ,члены которого положительны и не возрастают.Пусть f (x) -- функция, которая определена для всех действительных x ≥ 1 , непрерывна,не возрастает и такая, чтоf (1) = a1 , f (2) = a 2 , … , f (n) = a n , … ,∞тогда для сходимости ряда∑an =1nнеобходимо и достаточно, чтобы сходился (существовал)интеграл∞∫ f ( x)dx .1Достоинство интегрального признака состоит в его высокой чувствительности: этотпризнак четко проводит различие между сходящимся и расходящимся рядами, даже есличлены одного из них незначительно отличаются от членов другого.Сформулируем важное следствие интегрального признака: если положительный рядможно исследовать на сходимость по интегральному признаку, то его остаток оцениваетсяпо формуле:11∞rn ≤∫ f ( x)dx .n +1Эта оценка используется для приближенного вычисления суммы сходящихся рядов.∞1Задача №5.
Исследовать на сходимость ряд ∑ .n =1 n1Решение. Воспользуемся интегральным признаком. Введем функцию f ( x) = , такую,x1что a n = f (n) = .nРассмотрим несобственный интеграл∞∞1∫1 f ( x)dx = ∫1 x dx ,и исследуем его на сходимость:A∞11Adx=limln x 1 = lim (ln A − ln 1) = ∞ ,∫1 x A→∞ ∫1 x dx = limA→ ∞A→ ∞интеграл расходится, поэтому должен расходиться и ряд.Ответ: ряд расходится.∞1Задача №6. Исследовать на сходимость ряд ∑ 2 .n =1 n11a n = f ( n) = 2 , f ( x ) = 2 ,Решение.nx()A⎛ 1 A⎞11⎟ = lim (− 1 + 1) = 1 ,dx = lim ⎜ −∫1 x 2 dx = lim⎟ A→ ∞ AA→ ∞ ∫ x 2A→ ∞ ⎜1⎝ x1 ⎠несобственный интеграл сходится (равен конечному числу), следовательно, поинтегральному признаку ряд сходится.Ответ: ряд сходится.∞∞11Ряд ∑ называется гармоническим, а ряд вида ∑ p при p > 0 называется рядомn =1 nn =1 nДирихле или обобщенным гармоническим рядом.
Как было показано в примерах , этугруппу рядов можно исследовать на сходимость с помощью интегрального признака:∞1--сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1 .∑pn =1 n∞1Задача №7. Исследовать на сходимость ряд ∑.n =2 n ln n11, f ( x) =,Решение.a n = f ( n) =n ln nx ln xвычислим несобственный интеграл, используя метод замены переменной:∞dxdx =x∫1 x ln x dx = limA→ ∞ ∫1 x ln xx = 1, t = 0, x = A, t = ln A∞A1()1t = ln x, dt =ln A= limA→ ∞∫0dtt= lim (2 tA→ ∞ln A0== lim 2 ln A − 0 = ∞.A→ ∞Согласно интегральному признаку из расходимости интеграла следует расходимость ряда.12Ответ: ряд расходится.3.
Признаки сравнения положительных рядов.К числу достаточных признаков сходимости относятся признаки, позволяющие выяснитьвопрос о сходимости некоторого ряда с помощью другого ряда, поведение которого всмысле сходимости нам известно. Такие признаки называются признаками сравнения.Теорема 1.(признак сравнения рядов с положительными членами).Если ряд с положительными членами∞∑an =1n= a1 + a 2 + a3 + … + a n + …сравнить с другим рядом с положительными членами∞∑bn =1n= b1 + b2 + b3 + … + bn + …сходимость или расходимость которого нам известна, и если начиная с некоторогономера∞1). a n ≤ bn и ряд∑ bn сходится, то ряд2).
a n ≥ bn и ряд∑bn =1∞n =1n∞∑an =1расходится, то рядтакже сходится;n∞∑an =1nтакже расходится.Заметим, что утверждения, обратные утверждениям 1) и 2) в условии теоремыневерны: если сходится ряд с меньшими членами, то о сходимости ряда с большимичленами ничего определенного сказать нельзя, и наоборот, если расходится ряд сбольшими членами, то ряд с меньшими членами может быть как сходящимся так ирасходящимся.При использовании этого признака исследуемый ряд чаще всего сравнивается либо сбесконечной геометрической прогрессией∞∑a qn =1гармоническими рядами∞1∑nn =1p1n −1, либо с обобщенными, поведение которых в смысле сходимости мы обсудиливыше.Задача №8.
Исследовать на сходимость ряд∞sin 2 n.∑n2n =1∞1.2n =1 nРешение. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом ∑sin 2 nданного ряда, начиная с n = 1 , меньше соответствующего членаКаждый член a n =n21bn = 2 обобщенного гармонического ряда:nsin 2 n 1≤ 2 ,n2n∞1и поскольку ряд ∑ 2 сходится ( p = 2 > 1 ), то согласно утверждению 1) признакаn =1 nсравнения исследуемый ряд также сходится.Ответ: ряд сходится.13Задача №9. Исследовать на сходимость ряд∞1∑ ln n .n =2Решение. Сделаем предположение о том, что данный ряд расходится.
Тогда используемутверждение 2) признака сравнения и подбираем расходящийся ряд с меньшими членами:11, bn = ,an =ln nnПоскольку ln n < n для всех натуральных n , то11> .ln n n∞∞11Гармонический ряд ∑ расходится, следовательно по признаку сравнения ряд ∑n =1 nn =2 ln nтакже расходится.Ответ: ряд расходится.∞ln nЗадача №10. Исследовать ряд на сходимость ∑ 2 .n =1 nРешение. Главная особенность использования признака сравнения состоит в том, чтоздесь, в отличие от других достаточных признаков сходимости, необходимо делатьпредположение о том, сходится ряд или расходится. Докажем сходимость данного ряда.Для этого докажем, что, начиная с некоторого номера n , верно соотношениеln n < k n .Применяя правило Лопиталя (дифференцирование по n ) получим1ln nklim k = lim n1 = lim 1 = 0n→∞n →∞n→∞n1 k −1nnkkзначит, начиная с некоторого n , функция ln n меньше k n для любого k .Положим k = 2 , тогдаln n < n , откуда имеемln nn< 2 .2nnln nn1, bn = 2 = 3 .2nnn2∞31Обобщенный гармонический ряд ∑ 3 сходится ( p = > 1 ), следовательно, по признаку2n =1n2∞ln nсравнения ряд ∑ 2 с меньшими членами также сходится.n =1 nОтвет: ряд сходится.Сформулируем еще один признак сравнения.Теорема 2.
(обобщенный признак сравнения рядов с положительными членами).an =∞Пусть даны два ряда∑ an иn =1∞∑bn =1n. Если предел отношения общих членов этих рядовan= l существует, конечен и не равен нулю, то ряды одновременно сходятся илиbnрасходятся.limn →∞14n+4.2−1n =1Решение. Обсудим сначала, каким образом в этом случае подобрать гармонический ряд.Очевидно, что главными в числителе и в знаменателе являются слагаемые, содержащиестаршие степени переменной n , именно их и оставим при переходе к гармоническомуряду:∞∞∞1n+4n≈∑ 2 =∑ .∑2n =1 3n − 1n =1 nn =1 nn+41an = 2, bn = .Обозначимn3n − 1Вычислим предел, который подтверждает, что ряды сходятся или расходятсяодновременно:⎛ 4⎞n+44n 3 ⎜1 + ⎟1+22an (n + 4 )⎝ n ⎠ = limn = 1 ≠ 0.lim n = lim 3n − 1 = lim= lim2n→∞ bn →∞n →∞ n 3n − 1n →∞1n1 ⎞ n →∞3⎛n3− 2n3 ⎜ 3 − 2 ⎟2nnn ⎠⎝∞Задача №11.
Исследовать на сходимость ряд(∞Ряд1∑n∑ 3n)расходится как гармонический.n =1Следовательно, по обобщенному признаку сравнения исходный ряд также расходится.Ответ: ряд расходится.∞1Задача №12. Исследовать на сходимость ряд ∑.nn =1 5 ⋅ 7 + 3∞1Решение. Сравним данный ряд с рядом ∑ n .n =1 7Докажем, что ряды ведут себя одинаково. Обозначим11an =, bn = n , тогдаn5⋅7 + 371na7n7n1lim n = lim 5 ⋅ 7 + 3 = limlim= lim ≠ 0 .=nn→∞ bn →∞n →∞ 5 ⋅ 7 + 3n →∞13 ⎞ n→∞ 5⎛n7n ⎜5 + n ⎟n77 ⎠⎝∞1Ряд ∑ n состоит из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессииn =1 71q = < 1 и, следовательно, сходится.
По обобщенному признаку сравнения сходится и7исследуемый ряд.Ответ: ряд сходится.∞2n +1.Задача №13. Исследовать на сходимость ряд ∑53n =1 16n − 3n + 1Решение. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом:∞∞∞∞2n + 111n≈==.∑∑∑∑5353n =1 16n − 3n + 1n =1n 5 n =1 2 −1 т =1 2nn12n + 1, bn = 3 .Обозначимan =16n 5 − 3n 3 + 1n215Вычислим предел2n + 11⎞⎛n 5 ⋅n⎜ 2 + ⎟an (2n + 1)n⎠16n + 1⎝lim n = lim= lim= lim=n→∞ bn →∞n →∞n31 ⎞n 16n 5 − 3n 2 + 1 n→∞n5⎛n ⋅ n ⎜16 − 3 + 5 ⎟n5nn ⎠⎝55= lim2+1n=1≠ 0.831+ 53nnСледовательно, ряды в смысле сходимости ведут себя одинаково.∞31Ряд ∑ 3 сходится, поскольку является обобщенным гармоническим, p = > 1 . Тогда по2n =1n2обобщенному признаку сравнения исходный ряд также сходится.Ответ: ряд сходится.∞1Задача №14. Исследовать на сходимость ряд ∑ n ⋅ tg .nn =1Решение. Подберем данному ряду обобщенный гармонический ряд так, чтобы рядысходились или расходились одновременно:∞1 ∞1 ∞ 1ntgn.⋅≈⋅∑∑ n =∑n n =1nn =1n =111a n = n ⋅tg , bn = n ⋅ , тогдаОбозначимnnn →∞16 −alim n = limn →∞ bn →∞n11tgn = lim n = 1 ≠ 0.n →∞ 11n⋅nnn ⋅ tgЗдесь использовалась формулаlimx →0∞1tgx= 1.x1< 1 .
Используя обобщенный2nn =1∞1признак сравнения, делаем вывод о том, что исходный ряд ∑ n ⋅ tg расходится.nn =1Ответ: ряд расходится.Обобщенный гармонический ряд∑расходится, p =Завершая обсуждение признаков сравнения, добавим, что более простым из них вприменении является обобщенный признак сравнения (теорема 2). Признак сравнения(теорема 1) более сложный, но, тем не менее, существуют ряды, которые исследуются насходимость только с помощью этого признака (именно такие ряды рассмотрены впримерах). Это связано с невозможностью в некоторых случаях вычислить предел, и,следовательно, применить обобщенный признак сравнения.16§3. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условнаясходимость.
Признак Лейбница.Все представленные выше достаточные признаки сходимости применимы только крядам с положительными членами, какие мы и рассматривали до сих пор.Перейдем к рассмотрению знакопеременных рядов.Знакопеременным называется ряд, который содержит как положительные, так иотрицательные слагаемые. Опишем методы исследования таких рядов.Важную информацию о поведении такого ряда можно получить, рассматривая ряд,членами которого являются абсолютные величины членов исходного ряда.Определение. Рассмотрим ряд∞∑un =1n= u1 + u 2 + … + u n + … ,где u n -- числа произвольного знака. Знакопеременный ряд называется абсолютносходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов.Теорема. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.Другими словами, из сходимости ряда, составленного из модулей знакопеременногоряда, вытекает сходимость самого знакопеременного ряда.Ряд, составленный из модулей членов знакопеременного ряда, является, очевидно,положительным и, следовательно, к нему применимы все рассмотренные выше признакисходимости положительных рядов.n∞(−1)Задача №1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
