Числовые и функциональные ряды (1082840), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Разложить в ряд Фурье функцию y = ⎨.⎩ 0, 0 < x < 3Решение. Период функции равен T = 6, l = 3 , следовательно, используем ряд вида∞aπkπk ⎞⎛f ( x) = 0 + ∑ ⎜ ak cos x + bk sin x ⎟ .2 k =1 ⎝ll ⎠Вычислим коэффициенты ряда:0l303⎞ 10111⎛1 x21⎛9⎞3a0 = ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx = ⎜⎜ ∫ xdx + ∫ 0dx ⎟⎟ = ∫ xdx = ⋅−3 =⎜0 − ⎟ = − .3 −33 ⎝ −33 23⎝l −l2⎠20⎠ 3 −3Функция, как и в предыдущем примере, задана разными формулами, поэтому отрезокинтегрирования разбиваем на части.l303⎞ 101kπ1kπ1⎛kπkπkπa k = ∫ f ( x) cosxdx = ∫ f ( x) cosxdx = ⎜⎜ ∫ x cosxdx + ∫ 0 ⋅ cosxdx ⎟⎟ = ∫ x cosxdxl −ll3 −333 ⎝ −33330⎠ 3 −3Интеграл вычисляется по частям:kπkπ3kπu = x, dv = cosxdx, du = dx, v = ∫ cosxdx =sinx , тогда33kπ3k(())3603⎞ 101⎛kπkπkπ⎜ ∫ x sin⎟ = ∫ x sin0sinxdxxdxxdx =+⋅∫⎟ 33 ⎜⎝ −33330−3⎠00⎞31 ⎛⎜33kπkπkπkπcoscoscosxdx, du = dx, v = −x = − x⋅x −3 + ∫xdx ⎟ == u = x, dv = sin⎟333 ⎜⎝33kπkπkπ−3⎠00⎞kπkπ1⎛ 33 3133k(((− 1)k +1x cosx −3 +x −3 ⎟ = −= ⎜−⋅sin0 + 3 cos(− kπ )) + 0 = −− 1) =⎜⎟kπ kπkπkπkπ3 ⎝ kπ33⎠1kπf ( x) sinxdx =∫3 −lllbk =Осталось подставить найденные коэффициенты.3 ∞ ⎛ 33πkk(− 1)k +1 sin πk x ⎞⎟ .Ответ: f ( x) = + ∑ ⎜ 2 2 1 − (− 1) cos x +4 k =1 ⎝ k π33 ⎠kπВычисление коэффициентов ряда Фурье значительно упрощается, если известно, чтоданная функция является четной или нечетной на отрезке (− l, l ) .

В случае четностифункции, в разложении остаются лишь четные слагаемые, содержащие cos kx , а всекоэффициенты bk при sin kx равны нулю.Если f ( x) -- четная, то ряд Фурье имеет вид:∞akπf ( x) = 0 + ∑ ak cosx , где2 k =1l()kπ22a0 = ∫ f ( x)dx, ak = ∫ f ( x) cosxdx .l 0l 0lЕсли f ( x) -- нечетная, то наоборот, ряд состоит из нечетных функций sin kx , а всекоэффициенты a0 и ak равны нулю:ll∞f ( x) = ∑ bk sink =1kπx , гдеlkπ2bk = ∫ f ( x) sinxdx .l 0lРассмотрим теперь задачу о разложении в ряд Фурье непериодической функции,заданной на отрезке [0, l ] . В этом случае можно продлить функцию на всю числовуюпрямую как четную или как нечетную и воспользоваться формулами разложения в рядчетной или нечетной функции. Тогда периодом функции назначается отрезок[− l , l ], T = 2l .

И разложение называется соответственно разложением в ряд Фурье посинусам или косинусам.Задача №3. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию y ( x) = 3x на отрезке [0,2] .Решение. Подчеркнем, что при такой подстановке задачи функция считается заданной наполупериоде, т.е. l = 2, T = 2l = 4 . Ряд по косинусам имеет вид:∞akπy ( x) = 0 + ∑ ak cosx.2 k =12Вычислим коэффициенты:ll2222x2a0 = ∫ f ( x)dx = ∫ 3 xdx = 3∫ xdx = 3 ⋅202l 0004= 3⋅ − 0 = 6 ;2kπ22kπkπf ( x) cosxdx = ∫ 3 x cosxdx = 3∫ x cosxdx =∫l 0l20220lak =22237kπ2kπxdx, du = dx, v =sinx =2kπ22222⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞22 2kπkπkπkπ= 3⎜ xsinsin⋅cos x 0 ⎟ =x 0 −∫xdx ⎟ = 3⎜x ⋅ sinx 0+⎜ kπ⎟ ⎜ kπ⎟2222kπkπ kπ0⎝⎠ ⎝⎠412⎛⎞k= 3⎜ 0 + 2 2 (cos kπ − 1)⎟ = 2 2 (− 1) − 1 .kπkπ⎝⎠Осталось записать ответ.∞12kπkОтвет: y ( x) = 3 + ∑ 2 2 (− 1) − 1 cosx.2k =1 k πАналогично решается задача о разложении функции в ряд Фурье по синусам, при этом l - это по-прежнему длина отрезка, на котором задана функция:∞kπf ( x) = ∑ bk sinx , гдеlk =1= u = x, dv = cos(())kπ2bk = ∫ f ( x) sinxdx .l 0ll68Литература1.Я.С.

Бугров, С.М. Никольский. Высшая математика т.2. Дифференциальноеи интегральное исчисление. Дрофа. М. 2003. 510 с.2.В.А. Ильин, А.В. Куркина. Высшая математика. Издательство МГУ. М.2004. 594 с.3.Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисление.Т.1. М.Наука. 2003.4.Демидович Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу.

М.Астрель.2001.496 с.5.И.П. Натансон. Краткий курс высшей математики. Изд. «Лань»М.2005.736с..

Характеристики

Список файлов книги