Иванков П.Л. - Конспект лекций по математическому анализу (1081165), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Например, (sh x)0 == сh x. Аналогично=2211(сh x)0 = sh x, (th x)0 = 2 , (cth x)0 = − 2 .сh xsh xСоставим таблицу производных основных элементарных функций.т.е. (arctg x)0 =1.2.3.4.(ax )0 = ax ln a, (ex )0 = ex .11, (ln x)0 = .(loga x)0 =x ln ax√1(xα )0 = αxα−1 , ( x)0 = √ ,2 x(cos x)0 = − sin x. 011= − 2.xx(sin x)0 = cos x .16. (tg x)0 =.cos2 x17. (ctg x)0 = − 2 .sin x18. (arcsin x)0 = √.1 − x219. (arccos x)0 = − √.1 − x2110.
(arctg x)0 =.1 + x2111. (arcctg x)0 = −.1 + x25.3Эту таблицу полезно дополнить формулами:12. C 0 = 0 — производная константы равна нулю .13. (сh x)0 = sh x .14. (sh x)0 = сh x .115. (th x)0 = 2 .сh x1016. (cth x) = − 2 .sh xРекомендуется также запомнить производные некоторых часто встречающихся функций.√xНапример, ( 1 + x2 )0 = √.1 + x2Пусть функция y = f (x) дифференцируема и отлична от нуля на некотором промежутке I. Тогда в точках этого промежутка определена функция y = ln |f (x)|.Найдём производную этой функции. Пусть сначала f (x) > 0 для всех x ∈ I.00f 0 (x).Если f (x) < 0 при всех x ∈ I, тоТогда ln |f (x)|= ln f (x)=f (x)000−f 0 (x)f 0 (x)f 0 (x)ln |f (x)| = ln(−f (x)) ==, т.е.
в обоих случаях ln |f (x)| =.−f (x)f (x)f (x)Производная от логарифма (модуля) функции называется логарифмической производной.Eсли последнюю формулу переписать в виде f 0 (x) = f (x)·(ln |f (x)|)0 , то её можно использовать для вычисления f 0 (x) в тех случаях, когда логарифмическую производную вычислитьпроще, чем производную самой функции.Пример. Пусть y = (f (x))g(x). Тогдаg(x)f 0 (x)· f (x).y = y(ln y) = y (g(x) · ln f (x)) = g (x) · ln f (x) + g(x) ·f (x)Если функция f (x) дифференцируема в каждой точке промежутка I, то на этом промежутке определена функция f 0 (x), для которой также можно рассмотреть вопрос о еёпроизводной в точках промежутка I.
Если такая производная в точке x существует, тоона называется второй производной исходной функции f (x) и обозначается f 00 (x). Производная рассматириваемой функции n-го порядка определяется по индукции. пусть x ∈ I,и пусть в окрестности этой точки определена производная (n − 1)-го порядка f (n−1)0 (x).Тогда производная n-го порядка f (n) (x) в точке x по определению есть f (n−1) (x) .
Таким образом, в соответствии с этим определением для существования f (n) (x) в точке xтребуется, чтобы в некоторой окрестности этой точки существовали производные f (k) (x),k = 0, 1, . . . , n − 1, и чтобы производная (n − 1)-го порядка f (n−1) (x) была дифференцируема в т.
x (при этом под «производной нулевого порядка» здесь и далее понимается самафункция f (x)).Пусть материальная точка движется вдоль ось абсцисс, и пусть зависимость её координаты от времени определяется равенством x = x(t). Тогда мгновенная скорость изменения координаты (в данном случае абсциссы) материальной точки равна, как известно,v(t) = x0 (t). Для характеристики скорости изменения v(t) с течением времени вводятпонятие ускорения материальной точки:00000x0 (t + ∆t) − x0 (t)v(t + ∆t) − v(t)= lim= x0 (t) = x00 (t) ,∆t→0∆t→0∆t∆ta(t) = limт.е. ускорение есть вторая производная координаты по времени.
В этом состоит механический смысл второй производной.Вычислим производные n-го порядка некоторых элементарных функций. Пусть сначала y = ax . В этом случае y 0 = ax ln a, y 00 = ax ln2 a и т.д. Общая формула y (n) = ax lnn a4доказывается по индукции. В частности, при a = e имеем (ex )(n) = ex , n = 0, 1, 2, . . . .Рассмотрим степенную функцию y = xα . Здесь y 0 = α xα−1 , y 00 = α (α − 1) xα−2 и т.д.Общая формула (xα )(n) = α (α − 1) . .
. (α − n + 1) xα−n доказывается по индукции. Для логарифмической функции y = loga x можно воспользоваться этим результатом при α = −1.Имеемy0 =−122·32·3·41, y 00 = 2, y 000 = 3, y IV = − 4, yV = 5и т.д.x ln ax ln ax ln ax ln ax ln aНетрудно угадать общую формулуy (n) =(−1)n−1 (n − 1)!.xn ln a(1)При n = 1, 2, 3, 4, 5 эта формула справедлива. Для производной (n + 1)-го порядка имеемy(n+1)= (y(n) 0) =(−1)n−1 (n − 1)!xn ln a0=(−1)n−1 (n − 1)!(−n)(−1)n n!=,xn+1 ln axn+1 ln aи по индукции формула (1) доказана.Пусть y = sin x.
Докажем, чтоПри n = 0 имеем (sin x)(0)π(sin x)(n) = sin x + n.(2)2π= sin x = sin x + 0 ·. Пусть при некотором n формула (2)2справедлива. Тогда(sin x)(n+1) = (sin x)(n)0 ππ ππ 0= cos x + n= sin x + n +== sin x + n2222π,= sin x + (n + 1)2и формула (2) доказана. Аналогично доказывается и правило вычисления производнойn-го порядка косинуса:π(cos x)(n) = cos x + n.2Рассмотрим еще формулу Лейбница(n)(u v)=n Xnkk=0u(n−k) v (k) ,где для краткости у функций u = u(x) и v = v(x) не указана зависимость от x. Обеэти функции предполагаются дифференцируемыми соответствующее число раз в точкеx.
∗ Для доказательства формулы Лейбница 0 применим 0 индукцию. При n = 1 формула11000справедлива, т.к. (u v) = u v + u v = 0 u v + 1 uv . Пусть при некотором n формулаЛейбница уже доказана. Тогда!0n Xn0(u v)(n+1) = (u v)(n) ) =u(n−k) v (k) =kk=0nn X nXn(n+1−k) (k)(n−k) (k+1)(n+1) (0)=uv +uv=uv +u(n+1−k) v (k) +kkk=0k=15n−1 Xn+u(n−k) v (k+1) + u(0) v (n+1) = u(n+1) v (0) +kk=0 n Xnn++u(n+1−k) v (k) + u(0) v (n+1) =kk−1k=1n+1 Xn+1=u(n+1−k) v (k) .kk=0Доказательство вполне аналогично доказательству формулы бинома Ньютона; на заключительном этапе рассуждения мы воспользовались равенствами nnn+1+=,kk−1kn+1n+1(n+1) (0)(n+1−0) (0)(0) (n+1)uv =uv иu v=u(n+1−n−1) v (n+1) .n+10По индукции формула Лейбница доказана.
∗Рассмотрим вопрос о дифференцировании функции, заданной параметрически. Пустьна интервале (t1 , t2 ) заданы две функцииx = x(t) и y = y(t) ,(3)причём первая их них осуществляет взаимно однозначное отображение интервала (t1 , t2 )на интервал (x1 , x2 ). В таком случае определена обратная функция t = t(x), и на интервале (x1 , x2 ) можно рассмотреть сложную функцию y(x) = y(t(x)). Про эту последнюю функцию говорят, что она задана параметрически равенствами (3). Предположим,что выполнены условия, при которых применимы правила дифференцирования сложной иобратной функций, и в этом предположении вычислим производную y 0 (x); имеем0y 0 (t(x))y 0 (t(x)), т.е.
y 0 (x) = 0.y 0 (x) = y(t(x)) = y 0 (t(x)) · t0 (x) = 0x (t(x))x (t(x))Обычно эту формулу записывают короче: y 0 (x) =y 0 (t).x0 (t)√√x, иПример.Пусть x(t) = t2 , y(t) =t, t ∈ (0, +∞). Здесь t(x) =p√√4y(x) =x = x. Производная этой функции по доказанной формулеy 0 (t)11 110√y (x) = 0=· √ = 3/4 = √.4x (t)2 t 2t t= x 4x4 x3Рассмотрим равенствоF (x, y) = 0 ,(4)где F (x, y) — «функция двух переменных».
Можно считать, что левая часть (4) — это некоторая формула, содержащая x и y. Если для функции y = y(x), заданной на промежуткеI, для всех x из этого промежутка выполняется равенство F (x, y(x)) = 0, то говорят, чтофункция y = y(x) задана неявно равенством (4). Чтобы найти производную функции,заданной неявно, надо продифференцировать равенство F (x, y(x)) = 0 по x, используяправило дифференцирования сложной функции. Из получившегося соотношения между x,y(x) и y 0 (x) можно затем выразить y 0 (x) через x и y(x).Пример. Пусть x2 + y 2 = 1.
Тогда, если x2 + (y(x))2 = 1, то 2x + 2y(x) · y 0 (x) = 0, и√xxy 0 (x) = −. Например, если y(x) = 1 − x2 , то y 0 (x) = − √.y(x)1 − x26Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке x. Тогда приращение этой функцииможет быть записано в виде∆y = f (x + ∆x) − f (x) = f 0 (x)∆x + o(∆x) ,∆x → 0 .Дифференциалом df (x) функции f (x) в точке x называется f 0 (x)∆x. Эта часть приращения ∆y = f (x+∆x)−f (x) линейна относительно ∆x, а при f 0 (x) 6= 0 она является главнойчастью ∆y при ∆x → 0.
Приращение ∆x независимой переменной называется дифференциалом независимой переменной и обозначается dx. В таком случае df (x) = f 0 (x)dx, иdf (x). Правую часть этого равенства используют также для обозначения произf 0 (x) =dxdf (x)водной; при этомследует рассматривать не как дробь, а как единое выражение.dx1dx,Примеры. Имеем по определению dex = ex dx, d xα = α xα−1 dx, d ln x =xd cos x = − sin x dx и т.д.Рассмотрим геометрический смысл дифференциала. Уравнение касательной T к графику функции y = f (x) в точке M (x0 , f (x0 )) есть y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ). Очевидно,ордината касательной при x = x0 равна f (x0 ). При x = x0 + ∆x ордината касательной T равна f (x0 ) + f 0 (x0 )∆x.
Приращение ординаты касательной, следовательно, равноf 0 (x0 )∆x, т.е. равно дифференциалу функции f (x) в точке x0 , отвечающему приращению∆x независимой переменной. В этом состоит геометрический смысл дифференциала.Поскольку дифференциал равен производной функции, умноженной на дифференциалнезависимой переменной, то правила вычисления дифференциалов мало чем отличаютсяот соответствующих правил вычисления производных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
