Иванков П.Л. - Конспект лекций по математическому анализу (1081165), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

А если потребовать, чтобы для всех x 6= x0выполнялось строгое неравенство f (x) < f (x0 ) или f (x) > f (x0 ), то получится определение соответственно строгого локального максимума и строгого локального минимума. Вовсех этих четырех случаях точка x0 называется точкой локального экстремума; в двухпоследних случаях говорят о точке строгого локального экстремума. Из теоремы Фермаследует, что если в точке экстремума x0 функции f (x) существует производная, то этапроизводная равна нулю: f 0 (x0 ) = 0.

Таким образом, в точках экстремума производнаяфункции либо не существует, либо равна нулю. Равенство нулю производной являетсялишь необходимым условием наличия в этой точке экстремума. Достаточным это условие не является. Рассмотрим, например, функцию y = x3 . Эта функция всюду возрастает,однако, f 0 (0) = 3x2 |x=0 = 0.

Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками этой функции. Точки, в которых производная функцииравна нулю, бесконечности или не существует, называются критическими точками функции (а также точками, подозрительными на экстремум). Если функция, определенная впроколотой окрестности (x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ), δ > 0, точки x0 , принимает положительные значения во всех точках интервала (x0 − δ, x0 ) и отрицательные значения во2всех точках интервала (x0 , x0 + δ), то говорят, что эта функция меняет знак с плюса наминус при переходе через точку x0 . Аналогично определяется ситуация, когда функцияменяет знак с минуса на плюс при переходе через точку x0 .

Если во всех точках указанной проколотой окрестности функция принимает значения одного знака, то говорят, чтофункция сохраняет знак в проколотой окрестности точки x0 .Рассмотрим теоремы о достаточных условиях наличия экстремума.Теорема (первая теорема о достаточном условии наличия экстремума). Пустьфункция f (x) непрерывна в окрестности (x0 − δ, x0 + δ), δ > 0, точки x0 и дифференцируема в проколотой окрестности (x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ) этой точки.

Тогда, еслиf 0 (x) меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку x0 , то в этой точке функцияf (x) имеет строгий локальный минимум, а если f 0 (x) меняет знак с плюса на минус припереходе через x0 , то функция f (x) имеет в этой точке строгий локальный максимум.Если же f 0 (x) сохраняет знак в проколотой окрестности точки x0 , то экстремума в этойточке нет.Доказательство. Рассмотрим первое утверждение теоремы. Если f 0 (x) < 0 привсех x ∈ (x0 − δ, x0 ), то на полуинтервале ( x0 − δ, x0 ] функция f (x) убывает, и длялюбого x ∈ (x0 − δ, x0 ) имеем по теореме о достаточных условиях убывания функциинеравенство f (x) > f (x0 ).

На полуинтервале [x0 , x0 + δ) функция f (x) возрастает,и f (x0 ) < f (x) для всех x ∈ (x0 , x0 + δ). Мы видим, что x0 и в самом деле естьточка строгого локального минимума. Аналогично доказывается и второе утверждениетеоремы. В случае последнего утверждения функция f (x) либо возрастает, либо убываетна интервале (x0 − δ, x0 + δ) в зависимости от знака производной f 0 (x); экстремума вточке x0 в обоих случаях нет.

Теорема доказана.Теорема (вторая теорема о достаточном условии наличия экстремума). Пусть вточке x0 у функции f (x) существуют все производные до n-го порядка включительно,причем f 0 (x0 ) = ... = f (n−1) (x0 ) = 0, f (n) (x0 ) 6= 0. Тогда, если n четно, и f (n) (x0 ) > 0,то в точке x0 функция f (x) имеет строгий локальный минимум.

Если n четно,и f (n) (x0 ) < 0, то в точке x0 строгий локальный максимум. Если n нечетно, тоэкстремума в точке x0 нет.Доказательство. Запишем для функции f (x) в окрестности точки x0 формулуТейлора с остаточным членом в форме Пеано; в силу условия f 0 (x0 ) = ... = f (n−1) (x0 ) = 0имеем такое равенство:f (n) (x0 )(x − x0 )n + o ((x − x0 )n ), x → x0 .f (x) = f (x0 ) +n!Отсюда1 (n)(f (x0 ) + α(x)) · (x − x0 )n ,n!o ((x − x0 )n )гдеα(x) = n!−→ 0 при x → x0 .(x − x0 )nПусть теперь n четно, и f (n) (x0 ) > 0.

Тогдаf (x) − f (x0 ) =(1)lim (f (n) (x0 ) + α(x)) = f (n) (x0 ) > 0,n→x0и по теореме о сохранении функцией знака своего предела существует проколотая окрестность Ů (x0 ) точки x0 такая, что f (n) (x0 ) + α(x) > 0 для всех x ∈Ů (x0 ). Далее, т.к.n четно, то также и (x − x0 )n > 0 для указанных x. Поэтому из (1) следует, что длявсех x ∈Ů (x0 ) выполняется неравенство f (x) > f (x0 ), т.е. в точке x0 функция f (x)имеет строгий локальный минимум. Второе утверждение теоремы доказывается аналогично.

Пусть n нечетно, и пусть для определенности f (n) (x0 ) > 0. Тогда, как и выше,3найдется проколотая окрестность Ů (x0 ) такая, что для любого x ∈Ů (x0 ) выполняетсянеравенство f (n) (x0 )+α(x) > 0. Поскольку n нечетно, то при x < x0 имеем неравенство(x − x0 )n < 0, а при x > x0 — неравенство (x − x0 )n > 0. Поэтому из (1) получаем,что при x < x0 выполняется неравенство f (x) < f (x0 ), а при x > x0 − неравенствоf (x) > f (x0 ), если, конечно, x ∈Ů (x0 ).

Мы видим, что экстремума в точке x0 нет. Ктакому же выводу мы придем, если предположим, что f (n) (x0 ) < 0. Теорема доказана.Чаще всего эту теорему применяют при n = 2, т.е. наличие экстремума и его характеропределяют по знаку f 00 (x0 ).Пусть функция f (x) определена на интервале (a, b). Говорят, что функция f (x)является выпуклой вверх (вниз) на этом интервале, если для любой касательной к графикуэтой функции каждая точка касательной, отличная от точки касания, лежит выше (ниже)точки графика функции с той же абсциссой.

Точка x0 ∈ (a, b) называется точкой перегибафункции f (x), если эта функция непрерывна в точке x0 и если существует δ > 0 такое,что направления выпуклости функции f (x) на интервалах (x0 − δ, x0 ) и (x0 , x0 + δ)различны (т.е. при переходе через точку перегиба направление выпуклости функции меняется на противоположное). Точка (x0 , f (x0 )) называется при этом точкой перегибаграфика функции y = f (x).Теорема (достаточные условия выпуклости функции). Пусть функция f (x) дваждыдифференцируема на интервале (a, b), причем в каждой точке x ∈ (a, b) выполняетсянеравенство f 00 (x) > 0. Тогда функция f (x) выпукла вниз на указанном интервале.Если же во всех точках интервала (a, b) вторая производная f 00 (x) отрицательна, тофункция f (x) выпукла вверх на этом интервале.Доказательство.

Докажем лишь первое утверждение теоремы (второе доказывается аналогично). Рассмотрим касательную к графику функцииy = f (x) вточке (x0 , f (x0 )), x0 ∈ (a, b). Уравнение такой касательной, как известно, имеетвид y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ). Пусть для определенности x0 < x < b. Тогда разность ординат точки касательной (x, f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )) и точки графика (x, f (x)) равна ∆y = f (x0 ) − f (x) + f 0 (x0 )(x − x0 ). По теореме Лагранжаf (x) − f (x0 ) = f 0 (c)(x − x0 ). Поэтому ∆y = (f 0 (x0 ) − f 0 (c))(x − x0 ), c ∈ (x0 , x).Применим еще раз теоремму Лагранжа: ∆y = −f 00 (c1 )(c − x0 )(x − x0 ), c1 ∈ (x0 , c).

Здесьf 00 (c1 ) > 0, c − x0 > 0, x − x0 > 0, поэтому ∆y < 0, и точка касательной лежит нижесоответствующей точки графика функции. Аналогично можно доказать это утверждениеи в случае a < x < x0 . Таким образом, точки касательной лежат ниже соответствующихточек графика функции, и функция f (x) выпукла вниз на интервале (a, b). Теоремадоказана.Теорема (необходимые условия наличия точки перегиба).

Пусть функция f (x) дважды дифференцируема в окрестности точки x0 , причем вторая производная непрерывнав указанной точке. Тогда если x0 — точка перегиба графика функции y = f (x), тоf 00 (x0 ) = 0.Доказательство. Пусть f 00 (x0 ) 6= 0, и пусть для определенности f 00 (x0 ) > 0. Тогдав силу непрерывности f 00 (x) в точке x0 существует окрестность (x0 − δ, x0 + δ), δ > 0,этой точки такая, что f 00 (x) > 0 во всех точках этой окрестности. Тогда на обоихинтервалах (x0 − δ, x0 ) и (x0 , x0 + δ) функция f (x) выпукла вниз, что противоречитналичию перегиба в точке x0 . Поэтому на деле f 00 (x0 ) = 0, и теорема доказана.Как и в случае точек экстремума условие f 00 (x0 ) = 0 лишь необходимо для наличияперегиба в соответствующей точке.

Достаточным это условие не является, как показываетпример функции y = x4 . Здесь y 00 (0) = 12x2 |x=0 = 0, однако эта функция выпукла внизна интервале (−∞, ∞) и не имеет перегиба при x = 0.Теорема (первое достаточное условие наличия точки перегиба). Пусть функция4f (x) определена в окрестности (x0 − δ, x0 + δ), δ > 0, точки x0 и непрерывна в указаннойточке.

Характеристики

Список файлов лекций