Иванков П.Л. - Конспект лекций по математическому анализу (1081165), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Например,d(f (x) + g(x)) = df (x) + dg(x) ,d(f (x) · g(x)) = df (x) · g(x) + f (x) · dg(x) ,dg(x) df (x) − f (x) dg(x)f (x)=.g(x)(g(x))2Докажем лишь последнее равенство. Имеем0f (x)f (x)f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)g(x) df (x) − f (x) dg(x)d=dx =dx=.g(x)g(x)(g(x))2(g(x))2Пусть функция f (x) дифференцируема в точке x. Тогдаdf (x) = f 0 (x) dx .(1)Рассмотрим теперь сложную функцию f (x(t)). Дифференциал этой функции можно найтис помощью правила дифференцирования сложной функции: df (x(t)) = f 0 (x(t)) x0 (t) dt. Поскольку x0 (t) dt = dx(t), то имеем также равенство df (x(t)) = f 0 (x(t)) dx(t). Если не указывать здесь зависимость от t, то мы вернёмся к прежней форме (1) записи дифференциала:7df (x) = f 0 (x) dx.
Подмеченное свойство называется инвариантностью формы записи дифференциала: в равенстве (1) можно считать x независимой переменной или функциейновой переменной t — в обоих случаях это равенство справедливо.Вернемся вновь к равенствуf (x + ∆x) − f (x) = f 0 (x)∆x + o(∆x) ,∆x → 0 .Если в правой части отбросить o(∆x), то мы получим приближённое равенствоf (x + ∆x) − f (x) ≈ f 0 (x)∆x .Обычно оно используется для вычисления (приближённого) f (x + ∆x):f (x + ∆x) ≈ f (x) + f 0 (x)∆x .(2)√√Пример.
Пусть требуется вычислить 3 8.1. Возьмём f (x) = 3 x, x = 8, ∆x = 0.1. Тогда√√110.133f 0 (x) = √,ипоформуле(2)8.1≈8+ √· 0.1 = 2 +≈ 2.008.332123 643 xЗафиксировав в равенстве df (x) = f 0 (x) dx дифференциал независимой переменнойdx, мы получим функцию от x, для которой можно вычислить дифференциал в точкеx. Если при этом считать дифференциал независимого переменного равным его прежнему значению dx, то мы получим дифференциал второго порядка исходной функции:d2 f (x) = d (f 0 (x) dx) = (f 0 (x) dx)0 dx = f 00 (x) dx2 , т.е. d2 f (x) = f 00 (x) dx2 . Дифференциал n-го порядка определяется по индукции.
Если дифференциал порядка n − 1 ужеопределен, то дифференциал n-го порядка по определению есть dn f (x) = d (dn−1 f (x)).При этом в качестве dx берётся то же значение, что и в дифференциале (n − 1)-го порядка. Докажем по индукции, что dn f (x) = f (n) (x) dxn . При n = 1 и n = 2 это равенство справедливо. Пусть при некотором n имеем равенство dn f (x) = f (n) (x)dx; тогдаdn+1 f (x) = d (dn f (x)) = d (f (n) (x) dxn ) = (f (n) (x) dxn )0 dx = f (n+1) (x) dxn+1 , и по индукцииформула dn f (x) = f (n) dxn доказана.Примеры. Из полученных выше результатов следуют такие равенства: dn ex = ex dxn ,π n(n − 1)! n ndx,dcosx=cosx+ndx и т.д.dn ln x = (−1)n−1xn2Из доказанной выше формулы для дифференциала n-го порядка следует, чтоdn f (x)f (n) (x) =.
Правую часть этого равенства часто используют для обозначения проdxndn f (x)изводной n-го порядка; в этом случаеследует рассматривать не как дробь, а какdxnединый символ.Заметим еще, что для дифференциалов порядка выше первого свойство инвариантности формы записи уже не имеет места. В самом деле, пустьd2 f (x) = f 00 (x) dx2 .Предположим, что x = x(t). Тогда (f (x(t)))0 = f 0 (x(t)) · x0 (t);= f 00 (x(t))(x0 (t))2 + f 0 (x(t))x00 (t). Отсюда(3)(f (x(t)))00 =d2 f (x(t)) = (f (x(t)))00 dt2 = (f 00 (x(t))(x0 (t))2 + f 0 (x(t))x00 (t))dt2 == f 00 (x(t)) (dx(t))2 + f 0 (x(t)) d2 x(t).Если здесь не указывать зависимость от t, т.е. заменить x(t) на x, то мы получимd2 f (x) = f 00 (x) dx2 +f 0 (x) d2 x, и мы не возвращаемся к прежней форме записи дифференциала (3), когда x было независимым переменным. Равенство нарушается из-за слагаемогоf 0 (x) d2 x = f 0 (x(t)) x00 (t) dt2 .8Пусть имеется параметрически заданная функцияy = y(t) , t ∈ (t1 , t2 ).x = x(t) ,(3)Предположим, что на интервале (t1 , t2 ) функция x = x(t) имеет обратную функциюt = t(x), определённую на интервале (x1 , x2 ).
Тогда, как известно, при условии x0 (t) 6= 0при всех t ∈ (t1 , t2 ), функция y = y(x) = y(t(x)), заданная параметрически равенствами(3) дифференцируема в каждой точке интервала (x1 , x2 ), причемy 0 (x) =y 0 (t(x))y 0 (t)=.x0 (t(x))x0 (t)Дифференцируя это равенство, получаем, используя известные правила дифференцирования функций:00 000y 0 (t(x)) x0 (t(x)) − x0 (t(x)) y 0 (t(x))y (t(x))000=y (x) = y (x) ==2x0 (t(x))x0 (t(x))x0 (t(x))y 0 (t(x))00y (t(x)) 0− x (t(x)) · 0y 00 (t) x0 (t) − x00 (t) y 0 (t)x (t(x))x (t(x))==, где t = t(x) .23x0 (t(x))x0 (t)00Дифференцируя еще раз полученное равенствоy 00 (x) =y 00 (t) x0 (t) − x00 (t) y 0 (t),3x0 (t)и не забывая при этом, что t = t(x), можно найти y 000 (x) и т.д.При вычислении производных высших порядков неявно заданных функций равенствоF (x, y) = 0 дифференцируют соответствующее число раз, считая y функцией от x. Изполученного таким способом равенства можно выразить y (n) через x, y, y 0 , .
. . , y (n−1) . Еслитребуется выразить y (n) через x и y, то все производные y 0 , . . . , y (n−1) надо последовательновыразить через указанные переменные и получившиеся выражения подставить в формулудля y (n) .Пример. Ранее из соотношенияx2 + y 2 = 1(4)xмы нашли первую производную y 0 = − . Дифференцируя (4), получаем последовательно:y 2x1+0 21 + (y )x2 + y 21y2x + 2yy 0 = 0, 2 + 2 (y 0 )2 + 2yy 00 = 0, и y 00 = −=−=−= − 3.3yyyy√√1√Если например, y = 1 − x2 , то y 00 = ( 1 − x2 )00 = −. Здесь можно прове(1 − x2 ) 1 − x2x,рить получившийся результат непосредственным дифференцированием: y 0 = − √1 − x2√x21 − x2 + √11 − x2√y 00 = −=−.21−x(1 − x2 ) 1 − x29кафедра «Математическое моделирование»проф.
П. Л. ИванковМатематический анализконспект лекцийдля студентов 1-го курса 1-го семестравсех специальностей ИУ, РЛ, БМТ (кроме ИУ9)Лекция 13.Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля,Лагранжа и Коши. Теорема Бернулли - Лопиталя и раскрытие неопределенностей (док-во только для [0/0]). Сравнение роста показательной, степенной и логарифмической функций в бесконечности.ОЛ-2, гл.
5, 6.Говорят, что функция f (x), определенная на некотором промежутке I, принимает вточке x0 этого промежутка наибольшее значение, если для любой точки x ∈ I выполняетсянеравенство f (x) 6 f (x0 ). Если же для всех x ∈ I выполняется неравенство f (x) > f (x0 ),то говорят, что в точке x0 функция f (x) принимает наименьшее значение.Рассмотрим основные теоремы дифференциального исчисления.Теорема (Ферма). Пусть функция f (x) определена на промежутке I и в некоторойвнутренней точке x0 этого промежутка принимает наибольшее (или наименьшее) значениена этом промежутке. Тогда, если существует производная f 0 (x0 ), то эта производная равнанулю.Доказательство.
Для определённости будем считать, что в точке x0 функция f (x)принимает наибольшее значение. Тогдаf (x0 + ∆x) − f (x0 )6 0,∆x→0+∆xf 0 (x0 ) = limт.к. здесь числитель неположителен, а знаменатель положителен. Далее,f (x0 + ∆x) − f (x0 )> 0,∆x→0−∆xf 0 (x0 ) = limт.к. числитель по-прежнему неположителен, а знаменатель отрицателен. Таким образом,f 0 (x0 ) 6 0 и f 0 (x0 ) > 0.
Следовательно, f 0 (x0 ) = 0. Случай, когда в точке x0 функция f (x)имеет минимальное значение рассматривается аналогично. Теорема доказана.Заметим, что если точка x0 не является внутренней точкой промежутка I, то утверждение теоремы может оказаться несправедливым. Пусть, например, функция y = x рассматривается на отрезке [0, 1]. Производная этой функции тождественно равна единице ине обращается в нуль в точках 0 и 1, в которых данная функция достигает соответственнонаименьшего и наибольшего значений.Теорема (Ролля).
Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), и пусть f (a) = f (b). Тогда на интервале (a, b) найдётся точка cтакая, что f 0 (c) = 0.1Доказательство. Поскольку функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M в точке c1 и наименьшего значенияm в точке c2 . Если m = M , то, поскольку, m 6 f (x) 6 M , функция f (x) постоянна на[a, b] и её производная равна нулю во всех точках интервала (a, b); в качестве точки c, вкоторой f 0 (c) = 0, можно взять любую точку этого интервала.
Если же m < M , то в силуусловия f (a) = f (b) хотя бы одна из точек c1 или c2 является внутренней точкой отрезка[a, b], и тогда по теореме Ферма в этой внутренней точке производная функции f (x) равнанулю. Теорема доказана.Заметим, что нарушение любого из условий теоремы может привести к тому, что еёзаключение не будет выполняться.Если, напримерx , если 0 6 x < 1 ,f (x) =0 , если x = 1 ,то точки c, в которой f 0 (c) = 0 не существует. Здесь функция не является непрерывнойна отрезке [0, 1]. Если f (x) = x на том же отрезке, то нарушено условие f (a) = f (b);производная f 0 (x) тождественно равна единице и не обращается в нуль ни в одной точкеинтервала (0, 1).
Рассмотрим еще функцию f (x) = x2/3 на отрезке [−1, 1]. Функция f (x)2непрерывна, f (−1) = f (1), но производная f 0 (x) = x−1/3 нигде в нуль не обращается. В3данном случае дело в том, что f 0 (x) не существует при x = 0.Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении её условийна интервале (a, b) найдется хотя бы одна точка c такая, что касательная к графику функции y = f (x) в точке (c, f (c)) горизонтальна.Заметим еще, что если точка c ∈ (a, b), то её можно записать в виде c = a + θ(b − a), гдеc−a, числитель и знаменательθ – некоторое число из интервала (0, 1).
В самом деле, θ =b−aэтой дроби оба положительны, причём числитель меньше знаменателя. Поэтому θ ∈ (0, 1).Теорема (Лагранжа). Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b). Тогда на этом интервале существует точка c такая, чтоf (b) − f (a) = f 0 (c) · (b − a).Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функциюF (x) = f (x) −f (b) − f (a)· (x − a) .b−aЭта функция непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), поскольку этими свойствами обладает f (x).
Далее F (a) = f (a) и F (b) = f (a) — это проверяется непосредственно. Мы видим, что для F (x) выполнены все условия теоремы Ролля.Поэтому существует точка c ∈ (a, b), для которойF 0 (c) = f 0 (c) −f (b) − f (a)= 0.b−aОтсюда вытекает требуемое равенство. Теорема доказана.Следствие. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема наинтервале (a, b), причём во всех точках этого интервала f 0 (x) = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
