Для 2-го номера по УрМатФизу (1079633)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ЗАДАЧА 1Приведение к каноническому виду линейных уравнений в частных производных 2-гопорядка в случае двух независимых переменных. Нахождение общего решения уравнения.Решение задачи Коши для уравнений гиперболического и параболического типов.Решение задачи приведения к каноническому виду линейных уравнений в частныхпроизводных 2-го порядка в случае двух независимых переменных излагается в учебныхпособиях по уравнениям математической физики, например [1, 2, 3]. Приведенные кканоническому виду уравнения гиперболического и параболического типов в простейшихслучаях решаются.

В предлагаемых задачах они решаются интегрированием спонижением порядка уравнений. Получаются общие решения, содержащие произвольныефункции от канонических переменных. После подстановки выражений каноническихпеременных через первоначальные x и y получаем аналитические формулы общихрешений заданные линейных уравнений, в которые входят произвольные функции отпромежуточных аргументов.При решении задачи Коши в общее решение и его производную по аргументу x илиy подставляются заданные начальные условия. Получается система двух уравнений на двенеизвестные функции. Одно из уравнения дифференциальное.

Из этой системыопределяются две функции (на промежуточном этапе - произвольные функции). Заменяя вобщем решении производные функции найденными конкретными функциями, получаемрешение задачи Коши.Пример 1. Найти решение уравненияудовлетворяющее заданным начальным условиямПо коэффициентам при вторых производных определяем тип уравненияУравнение (1) гиперболического типа. Составляем характеристическое уравнениеРешаем это квадратное уравнениеНаходим общие интегралы каждого из полученных дифференциальных уравнений сразделяющимися переменнымиЛевые части найденных общих интегралов берут в качестве новых переменныхНовые переменные и называют каноническими, или характеристическими.Разрешимость уравнений (3) относительно x и у доказана для уравненийгиперболического типа.

Для преобразования заданного уравнения (1) к каноническомувиду вычисляем производные первого и второго порядков по переменным x и у, выражаяих через производимо по переменным и , рассматриваемым как промежуточныепеременные, с применением правил дифференцирования сложных функций. Получаемследующие выражения для производных первого порядка:и, соответственно, для производных второго порядкаПодставляем полученные выражения первых и вторых производных по x и y в уравнение(1) и группируем слагаемые с общими множителямии т.д.Получаем уравнениеЗаметим, что коэффициенты придолжны обращаться в нуль. Их можноибыло бы и не подсчитывать. Но при решении задачи возможны ошибки.

Рекомендуетсяподсчитывать также и коэффициенты при. Необращение в нульхотя бы одного из этих коэффициентов показывает наличие ошибок. Следует просмотретьход решения задачи, отыскать и исправить ошибки.Разделив все члены уравнения на коэффициент привид уравнения гиперболического типа (1)Это уравнение легко решается. Обозначивдля функции Uполучаем канонический= U, получаем уравнение первого порядкаИнтегрируем обе части равенства по переменномупроизвольная функция другого переменного η)(при этом войдет слагаемое -Потенцируем равенство и заменяем UОбе части полученного равенства интегрируем по переменному ηИнтеграл от произвольной функции φ1 (η) есть также произвольная функцияаргумента. Слагаемоеесть произвольная функция другого аргументаобразом, общее решение канонического уравнениетого же. ТакимПодставляя выражения (3) канонических переменных, получим общее решение исходногоуравнения (1)Остается выделить из всех решений, представляемых формулой (4),.

то, котороеудовлетворяет начальным условиям (2). Дифференцируем функцию Z по переменному yи подставляем в полученное равенство и равенство (4) y = 0. Получаем два условияЭто система двух дифференциальных уравнений на две неизвестные функции. Системаспецифического вида. Первое уравнение содержит только функции и не содержит ихпроизводных. Второе уравнение содержит и Функции и их производные. Дифференцируем первое уравнениеУмножив обе части полученного уравнения на 2 и сложив с соответственными частямивторого уравнения (5), исключим функцию Ψ и получим дифференциальное уравнениедля функции φНаходим функциюФункциюинтегрированиемнаходим теперь из первого уравнения (5)Окончательно функциииполучим, заменяя (X +1) через t,Решение задачи Коши получим подстановкой в формулу (4) найденных функций, заменяяпри этом аргумент t у функции φ выражением (x + 2*y + cos y), а у функциивыражением (x - 2*y + cos y)После раскрытия скобок и возможных упрощений получаем следующее выражениефункции, являющейся решением задачи Коши:Правильность решения легко проверяется.

Вычислив все производные первого и второгопорядков и подставив в уравнение (1), получаем тождество. Подставляя в функцию Z и еечастную производную по y, значение y = 0, убеждаемся в выполнении начальных условий.Решение правильное.Пример 2. Найти решение уравненияудовлетворяющее начальным условиямМы имеем уравнение параболического типаСоставляем характеристическое уравнениеИмеем только одно уравнение первого порядка (первое степени)и, следовательно, один общий интегралОдно каноническое переменное определеноВторое каноническое переменное для уравнения параболического типа может бытьпроизвольной функцией от x и y.

Но вместе функциидолжныразрешаться относительно x и y. Следует выбирать функциюнаиболеепростой, чтобы разрешимость функцийотносительно x и y быланаиболее легкой. В данном примере наиболее простой будет функция= y.Производные первого порядка от функции Z по x и у выражаются черезпроизводные поравенствамипроизводные второго порядка – равенствамиПодставляя их в уравнение (6), получаемОкончательный канонический вид уравнения подучается после замены в коэффициентахуравнения x и y их выражениями через. Каноническое уравнениелегко решается. Подстановкойотносительно функции U= U оно приводится к уравнению первого порядкаИнтегрируя обе части равенства по переменному, имеемПотенцируя последнее равенство и заменяя U черевеще раз интегрируем по переменному η и находим общее решениеЗаменив переменныеи их выражениями через x и y, получаем общее решениепервоначального уравнения (6)Для выделения из него решения, удовлетворяющего заданным начальным условием (7),дифференцируем функцию (8) по yи подставляем в функцию (8) и ее производную, значение y -2.

Учитывая условия (7),получаем два соотношенияДифференцируя первое равенство по X, умножаем обе части полученного равенства на 8 ивычитаем соответственно из второго равенства. ПолучаемЗатем легко находим вторую функциюВ найденных функциях делаем подстановку x + 4 = t,Решение задачи Коши получаем, подставляя в формулу (8) найденные функциис заменой в них аргумента t суммойиПравильность решения проверяется. Найденная функция удовлетворяет начальнымусловиям (7) и обращает уравнение (в) в тождество.Домашнее задание.

Задача 1Найти решения линейных уравнений второго порядка, удовлетворяющие заданнымначальным условиям (задача Коши).ЗАДАЧА 2Решение методом Фурье смешанной задачи для линейного уравнения 2-го порядкагиперболического типа в случае двух независимых переменных.Рассматривается типовая задача. Можем считать, что это задача о плоскихколебаниях ограниченной однородной струны в среде без сопротивления.

Концы струныили закреплены или могут перемешаться в плоскости колебаний по перпендикулярам клинии невозмущенного положения струны по определенным законам, зависящим отвремени. На струну действует непрерывно распределенная внешняя сила. Решение задачио движении точек струны сводится к решению линейного уравнения 2-го порядкагиперболического типа от двух независимых переменных x и t видас заданными начальными условиямии заданными граничными условиямиФункция U(x; t) есть смещение точки струны с абсциссой x в момент времени t внаправлении, перпендикулярном оси x, отрезком 0 <= x <= S которой изображаетсяограниченная струна в невозмущенном состоянии.

При решении задачи мы рассмотримтолько форму решения, не доводя решения до цифровых результатов. Поэтому некоторыепараметры задачи (длина струны S, плотность ρ, начальное натяжение Т0 , а значит, и) остаются выраженными буквенно, не задаются численно. Смещения точекструны предполагаются достаточно малыми, соответственно малыми предполагаются ифункции f(x),в начальных и граничных условиях, и свободный член g(x; t)в уравнении. Малость этих функций выразим с помощью буквенных коэффициентов –множителей α, β, μ, ν, λ. Эти коэффициенты имеют соответствующую размерность и вконкретных задачах с числовыми данными малые числовые значения.

Кроме того,функции в начальных и граничных условиях должны удовлетворять условиям:ЗАДАЧА 3Численное приближенное решение первой краевой задачи для уравнения распространениятепла в ограниченном стержне.В уравнении теплопроводности для теплоизолированного по боковой поверхностиограниченного стержня длины Sвсегда можно сделать преобразование независимых переменныхпосле которого уравнение принимает видс коэффициентом a2 = 1. Длина стержня также равна 1 (0 <= y <= 1). Свободный членуравнения изменяетсяСоответственно видоизменяются функции в начальном и граничных условиях.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги