Для 1-го номера по УрМатФизу (1079629)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Федеральное агентство по образованиюГОУ ВПОИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТИнститут математики, экономики и информатикиКафедра дифференциальных и интегральных уравненийЕ.А.ГоловкоПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ ЛИНЕЙНЫХУРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГОПОРЯДКАМетодические указанияИркутск 2008ОглавлениеВедение……………………………………………………………………§1 Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными …………………………………………………………………………1.1. Необходимый теоретический материал………………………..1.2.

Пример выполнения задачи1 (приведение кканоническому виду уравнений гиперболического типа) ...1.3. Пример выполнения задачи 2 (приведение кканоническому виду уравнений параболического типа)1.4. Пример выполнения задачи 3 (приведение кканоническому виду уравнений эллиптического типа) ..1.5. Задачи для самостоятельного решения ………………….….§2 Упрощение группы младших производныхдля уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами2.1. Необходимый теоретический материал …………………..2.2. Пример выполнения задачи 42.3. Задачи для самостоятельного решения ……………………..23446791113131417ВВЕДЕНИЕВ настоящих методических указаниях изложен теоретический материал и наконкретных примерах разобрано приведение к каноническому виду линейныхуравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными для уравнений гиперболического, эллиптического и параболическоготипов.Методические указания предназначены для студентов математических специальностей очной и заочной формы обучения.3§1.

Приведение к каноническому виду линейных уравнений счастными производными 2-го порядка с двумя независимымипеременными.Задача. Определить тип уравненияA( x, y)U xx  2B( x, y)U xy  C ( x, y)U yy  a( x, y)U x  b( x, y)U y  c( x, y)U  f ( x, y)(1)и привести его к каноническому виду.1.1. Необходимый теоретический материал.I. Тип уравнения (1) определяется знаком выражения B 2  AC : если B 2  AC  0 в некоторой точке, то уравнение (1) называетсяуравнением гиперболического типа в этой точке; если B 2  AC  0 в некоторой точке, то уравнение (1) называетсяуравнением эллиптического типа в этой точке; если B 2  AC  0 в некоторой точке, то уравнение (1) называетсяуравнением параболического типа в этой точке.Уравнение (1) будет являться уравнением гиперболического, эллиптического,параболического типа в области D, если оно гиперболично, эллиптично, параболично в каждой точке этой области.Уравнение (1) может менять свой тип при переходе из одной точки (области) вдругую.

Например, уравнение yU xx  U yy  0 является уравнением эллиптическоготипа в точках ( x, y), y  0 ; параболического типа в точках (x,0) ; и гиперболического типа в точках ( x, y), y  0 .II. Чтобы привести уравнение к канонического виду, необходимо:1. Определить коэффициенты A( x, y), B( x, y), C ( x, y) ;2.

Вычислить выражение B 2  AC ;3. Сделать вывод о типе уравнения (1) (в зависимости от знака выраженияB 2  AC );4. Записать уравнение характеристик:A( x, y)dy 2  2B( x, y)dxdy  C ( x, y)dx 2  0 ;(2)5. Решить уравнение (2). Для этого:а) разрешить уравнение (2) как квадратное уравнение относительно dy:B( x, y )  B 2  ACdy dx ;(3)A( x, y )б) найти общие интегралы уравнений (3) (характеристики уравнения(1)):41 ( x, y )  C1 , 1 ( x, y )  C 2 ,(4)в случае уравнения гиперболического типа;  2 ( x, y)  C ,(5)в случае уравнения параболического типа; 3 ( x, y)  i 3 ( x, y)  C ,(6)в случае уравнения эллиптического типа.6.

Ввести новые (характеристические) переменные  и  : в случае уравнения гиперболического типа в качестве  и  берутобщие интегралы (4) уравнений (3), т.е.  1 ( x, y ),   1 ( x, y ); в случае уравнения параболического типа в качестве  берут общий интеграл (5) уравнения (3), т.е.    2 ( x, y) , в качестве  берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию  2 , невыражающуюся через  2 ( x, y) , т.е.

   2 ( x, y) ; в случае уравнения эллиптического типа в качестве  и  берутвещественную и мнимую часть любого из общих интегралов (6)уравнений (3):  Re3 ( x, y)  i 3 ( x, y)   3 ( x, y ),  Im3 ( x, y)  i 3 ( x, y)    3 ( x, y ).7. Пересчитать все производные, входящие в уравнение (1), используяправило дифференцирования сложной функции:U  x, y ; x, y U x  U    x  U  x ,U y  U    y  U   y ,U xx  U   x   2U   x x  U   x   U   xx  U  xx ,22(7)U yy  U    y   2U    y y  U   y   U    yy  U  yy ,U xy  U    x y  U    x y   y x   U  x y  U    xy  U  xy .8.

Подставить найденные производные в исходное уравнение (1) и привести подобные слагаемые. В результате уравнение (1) примет один изследующих видов: в случае уравнения гиперболического типа:22U   F1 U  ,U ,U ,  ,   0 ;5 в случае уравнения параболического типа:U  F1 U  ,U ,U ,  ,   0 ; в случае уравнения эллиптического типа:U   U  F1 U  ,U ,U ,  ,   0 .1.2. Пример выполнения задачи 1.Определить тип уравненияU xx  4U xy  21U yy  2U x  3U y  5U  x 2и привести его к каноническому виду.(8)Решение:1.

Определим коэффициенты A( x, y), B( x, y), C ( x, y) :А=1, В= -2, С=-21.22. Вычислим выражение B  AC :B 2  AC  4  21  25 .3. B 2  AC  25  0  уравнение гиперболического типа во всей плоскостиXOY.4. Запишем уравнение характеристик:dy 2  4dxdy  21dx 2  0 .(9)5. Решим уравнение (9). Для этого:а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy: 2  25dy dx ;1dy   2  5dx ;dy  7dx, dy  3dx,(10)б) найдём общие интегралы уравнений (10) (характеристики уравнения(9)):y  7 x  C1 ,y  3 x  C2 ,y  7 x  C1 ,y  3 x  C2 .6. Введём характеристические переменные:  y  7 x,  y  3x.7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.Найдем сначала6 x  7,  y  1,  xx  0,  xy  0,  yy  0, x  3,  y  1,  xx  0,  xy  0,  yy  0.Используя формулы (7), получим:2 U x  7U   3U , 3 U y  U   U ,1 U xx  49U   42U   9U ,1 U xy  7U   4U   3U , 21 U yy  U   2U   U .Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (8) при соответствующихпроизводных.8.

Собирая подобные слагаемые, получим:U  {49  28  21}  U  {42  16  42}  U {9  12  21}  U  {14  3}  U   2{6  3}  5U .16Или после деления на -100 (коэффициент при U  ):U   0,11U   0,09U  0,05U   2.1600Ответ. Уравнение (8) является уравнением гиперболического типа на всейплоскости XOY. Канонический вид   2U   0,11U   0,09U  0,05U  ,1600где   y  7 x,   y  3x.1.3.

Пример выполнения задачи 2.Определить тип уравнения25U xx  10U xy  U yy  U y  2U  5 y  2 xи привести его к каноническому виду.(11)Решение:1. Определим коэффициенты A( x, y), B( x, y), C ( x, y) . В нашем примере онипостоянны:А=25, В= -5, С=1.22. Вычислим выражение B  AC :7B 2  AC  25  25  0 .3. B 2  AC  0  уравнение параболического типа во всей плоскости XOY.4. Запишем уравнение характеристик:(12)25dy 2  10dxdy  dx 2  0 .5. Решим уравнение (12). Для этого:а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy.

Однако в этом случае левая часть уравнения является полным квадратом:(5dy  dx) 2  0 ;(13)5dy  dx;б) имеем только одно уравнение характеристик (13). Найдём его общий интеграл (уравнения параболического типа имеют только одно семейство вещественных характеристик):5 y   x  C,5 y  x  C.6. Введём характеристические переменные: одну из переменных ( ) вводимкак и ранее  5 y  x,а в качестве  берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию, невыражающуюся через  , пусть  x;7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.Найдем сначала x  1,  y  5,  xx  0,  xy  0,  yy  0, x  1,  y  0,  xx  0,  xy  0,  yy  0.Используя формулы (7), получим:0 U x  U   U ,1 U y  5U  ,25 U xx  U   2U   U  , 10 U xy  5U   5U  ,1 U yy  25U  .Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (11) при соответствующихпроизводных.8.

Собирая подобные слагаемые, получим:U  {25  50  25}  U  {50  50}  U {25}  U  {5}  2U    .8Функцию, стоящую в правой части уравнения (11) необходимо также выразить через характеристические переменные.После деления на 25 (коэффициент при U ):U  0,2U  0,08U  0,4(   ).Ответ. Уравнение (11) является уравнением параболического типа на всейплоскости XOY.

Канонический видU  0,2U  0,08U  0,4(   ).где   5 y  x,   x.1.4. Пример выполнения задачи 3.Определить тип уравненияU xx  4U yy  U x  3U y  U  x 2и привести его к каноническому виду.(14)Решение:1. Определим коэффициенты A( x, y), B( x, y), C ( x, y) :А=1, В= 0, С=4.22. Вычислим выражение B  AC :B 2  AC  0  4  4 .3. B 2  AC  4  0  уравнение эллиптического типа во всей плоскостиXOY.4. Запишем уравнение характеристик:dy 2  4dx 2  0 .(15)5.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги