Для 1-го номера по УрМатФизу (1079629), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Решим уравнение (15). Для этого:а) разрешаем уравнение (15) как квадратное уравнение относительно dy:dy  2idx ;(16)б) уравнения (16) – это пара комплексно-сопряженных уравнений . Ониимеют пару комплексно-сопряженных общих интегралов. (Уравнения эллиптического типа не имеют вещественных характеристик)y  2 xi  C ,(17)y  2 xi  C.6. Введём характеристические переменные как вещественную и мнимую частиодного из общих интегралов (17):  Re( y  2 xi )  y,  Im( y  2 xi )  2 x.7.

Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.9Найдем сначала x  0,  y  1,  xx  0,  xy  0,  yy  0, x  2,  y  0,  xx  0,  xy  0,  yy  0.Используя формулы (7), получим:1 U x  2U  , 3 U y  U ,1 U xx  4U  ,4 U yy  U Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (14) при соответствующихпроизводных.8. Собирая подобные слагаемые, получим:U  {4}  U {4}  U  {3}  U {2}  U   .Или после деления на 4 (коэффициент при U  и U  ):U   U  0,75U   0,5U  0,25U   .Ответ.

Уравнение (14) является уравнением эллиптического типа на всейплоскости XOY. Канонический видU   U  0,75U   0,5U  0,25U   .где   y,   2 x.101.5. Задачи для самостоятельного решения.Задача 1.Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.1.1.1.2.U xx  8U xy  9U yy  21U x  3U y  U  0 .2U xx  4U xy  6U yy  U x  7U y  3U  0 .1.3.1.4.1.51.61.71.81.91.103U xx  4U xy  U x  3U y  U  0 . 7U xy  21U yy  2U x  U y  4U  0 .U xx  2U xy  8U yy  3U y  U  0 .U xx  U xy  6U yy  2U x  U  x .4U xx  2U xy  6U yy  8U x  U y  U  y .U xx  16U yy  U x  3U y  6U  0 .U xx  8U xy  2U x  U y  5U  x  y .6U xx  U xy  U yy  U x  U y  U  0 .Задача 2.Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.2.1. U xx  4U xy  4U yy  2U x  U y  U  x2.2.

2U xx  4U xy  2U yy  U x  3U y  U  y 22.3. U xx  2U xy  U yy  U x  3U y  5U  02.4. 3U xx  6U xy  3U yy  5U x  3U y  2U  y  x2.5. 4U xx  4U xy  U yy  U x  2U y  U  02.6. U xx  4U xy  4U yy  U y  U  x  y2.7. 9U xx  6U xy  U yy  7U x  2U y  U  02.8. 2U xx  8U xy  8U yy  U x  U y  U  02.9. U xx  6U xy  9U yy  5U x  U y  3U  y2.10. 9U xx  12U xy  4U yy  3U x  2U y  U  011Задача 3.Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.3.1.3.2.3.3.3.4.3.5. U xx  2U xy  5U yy  2U x  3U y  5U  0U xx  2U xy  10U yy  U x  3U y  5U  02U xx  4U xy  10U yy  8U x  3U y  U  sin xU xx  4U xy  13U yy  7U x  6U y  03.6.3.7.3U xx  8U xy  7U yy  3U x  U y  2U  02U xx  6U xy  8U yy  U x  5U y  2U  y 2x3U xx  6U xy  13U yy  3U x  U y  4U  03U xx  8U xy  6U yy  3U x  U y  2 3.8.3.9. 13U xx  4U xy  U yy  3U x  6U y  U  03.10.

10U xx  2U xy  U yy  U x  3U y  0123x2§2. Упрощение группы младших производныхдля уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами2. 1. Необходимый теоретический материалВ самом общем виде линейное уравнение с частными производными второгопорядка с двумя независимыми переменными имеет видA( x, y )U xx  2 B( x, y )U xy  C ( x, y )U yy (1) a( x, y )U x  b( x, y )U y  c( x, y )U  f ( x, y )Преобразованием независимых переменных группа старших производных уравнения может быть упрощена. Уравнение (1) приводится к одному из следующих видов в случае уравнения гиперболического типа:U   a1U   b1U  c1U  f1 ( , ) ; в случае уравнения параболического типа:(11)U  a2U   b2U  c2U  f 2 ( , ) ; в случае уравнения эллиптического типа:(12)(13)U   U  a3U   b3U  c3U  f 3 ( , ) .Если коэффициенты исходного уравнения постоянны, то для дальнейшегоупрощения уравнения любого типа нужно сделать замену неизвестной функцииU ( , )  e   V ( , ) ,(14)где V ( , ) - новая неизвестная функция,  ,  - параметры, подлежащие определению.

Такая замена не «испортит» канонического вида, но при этом позволит подобрать параметры  ,  так, чтобы из трех слагаемых группы младших производныхв уравнении осталось только одно. Уравнения гиперболического, параболическогои эллиптического типов соответственно примут вид~U   c~1U  f1 ( , ) ;~U  a~2U   f 2 ( , ) ;~U   U  c~3U  f 3 ( , ) .Чтобы реализовать замену (14) в уравнениях (11), (12), (13), необходимо пересчитать все производные, входящие в эти уравнения по формулам13U ( , )  e   V ( , ),U   e    (V  V ),U   e    ( V  V ),U   e    (2V  2V  V ),(15)U   e    (V  V  V  V ),U   e    (  2V  2V  V ).Подробно рассмотрим этот процесс на примере уравнения гиперболическоготипа, т.е.

уравнения (11). Пересчитаем производные, входящие в это уравнение,используя формулы (15).с1 U ( , )  e   V ( , ),a1 U   e    (V  V ),b1 U   e    ( V  V ),1 U   e    (V  V  V  V )Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (11). Собирая подобные слагаемые, получим(16)e {V  V (a1   )  V (b1   )  V (a1  b1    c1 )}  f1 ( , ) .В уравнении (16) приравняем к нулю коэффициенты при V и Va1    0,b1    0.Откуда   a1 ,   b1 . Подставив эти значения параметров в уравнение (16) иразделив его на e    , придем к уравнению~U   c~1U  f1 ( , ) ,~где c~  2a b  a b  c , f ( , )  f eb1 a1 .11 11 1111.2.2.

Пример выполнения задачи 4Привести уравнениеU xx  4U xy  5U yy  3U x  U y  U  0к каноническому виду и упростить группу младших производных.Решение:9. Определим коэффициенты A( x, y), B( x, y), C ( x, y) :А=1, В= -2, С=5.14(17)10. Вычислим выражение B 2  AC :B 2  AC  4  5  1 .11. B 2  AC  1  0  уравнение эллиптического типа во всей плоскостиXOY.12. Запишем уравнение характеристик:(18)dy 2  4dxdy  5dx 2  0 .5.

Решим уравнение (18). Для этого:а) разрешаем уравнение (18) как квадратное уравнение относительно dy: 2  1dy dx ;1(19)dy   2  i dx ;б) найдём общие интегралы уравнений (19) (характеристики уравнения(17)):y  (2  i ) x  C ,y  2 x  xi  C ,6. Введём характеристические переменные:  y  2 x,  x.13. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.Найдем сначала x  2,  y  1,  xx  0,  xy  0,  yy  0, x  1,  y  0,  xx  0,  xy  0,  yy  0.Используя формулы (7), получим: 3 U x  2U   U  ,1 U y  U ,1 U xx  4U   4U   U  , 4 U xy  2U   U  ,5 U yy  U  .Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (17) при соответствующихпроизводных.14. Собирая подобные слагаемые, получим:U  {4  8  5}  U  {4  4}  U {1}  U  {6  1}  U {3}  U  0.ИлиU   U  5U   3U  U  0.15(20)Теперь с помощью замены неизвестной функции (14)U ( , )  e   V ( , )упростим группу младших производных.Пересчитаем производные, входящие в уравнение (20), используя формулы (15).1U ( , )  e   V ( , ), 5 U   e    (V  V ), 3 U   e    ( V  V ),1U   e    (2V  2V  V ),1U   e    (  2V  2V  V ).Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (20).

Собирая подобные слагаемые, получим(21)e  {V  V  V (5  2 )  V (3  2 )  V (5  3  2   2  1)}  0 .В уравнении (21) приравняем к нулю коэффициенты при V и V 5  2  0, 3  2  0.35Откуда   ,   . Подставив эти значения параметров в уравнение (21) и разде22  лив его на e, придем к уравнению15V  V  V  0 .2Ответ. Уравнение (20) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY.

Его канонический видV  V где   y  2 x,   x,U ( , )  e5 3215V  0,2V ( , ) .162.3. Задачи для самостоятельного решенияЗадача 4. Привести уравнения к каноническому виду и упростить группу младшихпроизводных.4.1.3U xx  8U xy  6U yy  3U x  U y  2U  0 .4.2.4.3.3U xx  8U xy  7U yy  3U x  U y  2U  0 .2U xx  6U xy  8U yy  U x  5U y  2U  0 .4.4.U xx  4U xy  4U yy  4U x  9U y  3U  0 .4.5.U xx  6U xy  9U yy  4U x  3U y  7U  0 .4.6.2U xx  8U xy  8U yy  U x  2U y  5U  0 .4.7.4.8.U xx  2U xy  U yy  3U x  2U y  5U  0 .8U xx  6U xy  U yy  U x  3U y  U  0 .4.9.4U xx  8U xy  U yy  2U x  2U y  3U  0 .4.10.U xx  2U xy  3U yy  2U x  7U y  3U  0 .17.

Характеристики

Список файлов книги