Для 2-го номера по УрМатФизу (1079633), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Найдярешение задачив новых переменных, легко можно перевести его в решение,выраженное через старые переменныеВ дальнейшем рассматриваем только уравнения теплопроводности с a2 = 1 и S = 1Начальное распределение температур в стержнеНа концах стержня поддерживается заданная температура1. Окончательная формула решения уравнения (16), удовлетворяющего начальномуусловию (17) и граничным условиям (18), записывается в виде рядагде коэффициенты и функции вычисляются по формуламbn = 2*Для получения приближенного численного решения задачи разбиваем отрезок [0;1] на mмалых равных частей длины (шага) h.
В точках разбиения xк = k:h (k = 0,1,2,.., m)вычисляем “нулевую” строку таблицы решений из начального условия (17). Задаваячисловые значения tj = σ * j (j = 1,2,...) с малым промежутком σ между ними (шаг по t),вычисляем приближенно последующие строки таблицы решений беря в решении поформуле (19) кроме первых двух слагаемых еще несколько первых слагаемых ряда,например четыре первых, отличных от нуля, члена.Для примера зададим функции в правой части уравнения (16), в начальном условии(17) и граничных условиях (18) в видеПо формулам (20) для заданных функций вычисляемРешение задачи при заданных функциях (21) по формуле (18) представляется в видеЧисловые значения этого решения с шагом h = 0,1 по аргументу x вычисляем для t = 0 изначального условия и для задаваемого t = 0,005 = 3*1/600 по формулеограничиваясь первыми четырьмя членами ряда в решении задачи.
Два первых изотбрасываемых членов (в скобках) в расчет не принимаются. Они выписаны для того,чтобы примерно представлять точность приближения. Точность приближения 0,02.Коэффициенты при синусах подсчитаны на формулы решения задачи. Например,и т.д.Таблица числовых значений решения задачи имеет вид:X00,10,20,30,4U(x; 0)00,099 0,1920,2730,338U(x; 005) 0.30,1839 0,16573 0,24516 0,33780,50.60,70,80,910,3750,384 0,357 0,2880,17100,37440,3583 0,3235 0,2681 0,1604 0При вычислении значений тригонометрического многочлена с шагом h = 0,1рекомендуется выписать значения sin18˚, sin36˚, sin54˚, sin72˚ из таблиц, а такжедесятичные логарифмы синусов и коэффициентов. Произведения коэффициентов назначения синусов указанных аргументов следует записывать и сохранять запись. Впроцессе вычислений эти произведения встречаются повторно несколько раз со знакомплюс или минус как результат применения формул приведения для синуса.2.
В разностном методе или методе сеток для уравнения теплопроводности (16)область изменения независимых переменных 0 <=x <= 1, 0 <= t <= T разбивают на малыепрямоугольники сеткой прямых x=xi = h*i (i = 0,1,2,..., m) и прямых t = tj = τ*j (j = 0,1, 2,...,p). Число h(mh = 1) называют шагом разбиения по аргументу x, а число τ (p*τ = T) шагом разбиения по аргументу t. Точки пересечения линий разбиения называют узламисетки. Для получения численного решения задачи нужно найти числовые значениярешения u(x;t) в узлах сеткиЯвная схема метода сеток получается при замене в уравнении теплопроводности (16)частных производных разностными отношениямиУравнение (16) заменяется разностным уравнениемЧисловые значения Ui,0(i=0,1,2,...,m) определяются из начального условия (17)Значения решения U0,j и Um,j в крайних узлах сетки для каждого j = 1,2,..., p определяютсяиз граничных условий (18) задачиЧисла τg i,j = τ*g(h*i; τ*j) пpи выбранных h и τ рассчитываются для заданного свободногочлена g(x; t) уравнения (16) к представляются отдельной вспомогательной таблицей.
Поформуле (22) можно последовательно вычислять числовые значения решения Ui,j+1 для i =1,2,..., m-1 через известные уже, вычисленные на предыдущем шаге, значения решенияUi+1,j, Ui,j, Ui-1,j и величины τ*gi,j. Геометрически схема изображена в видеВообще можно брать различные соотношения шагов h и τ в формуле (22), но устойчивоерешение методом сеток для явной схемы имеет место при условии. Ошибкааппроксимации, образующаяся в результате замены уравнения в частных производных(16) разностным уравнением (22), также зависит от отношенияНаименьшаяошибка имеет порядок h4 приупотребительна.
Получающаяся при этом формула наиболееДля примера с функциями (21) берем h = 0,1 и, следовательно,вспомогательную таблицу чисел. ВычисляемОграничимся тремя строками j = 0,1,2. При атом для заданного примера первая строкасостоит из нулей. Значения i следует брать от 1 до m-1 (9 в нашем примере), так как g0,j иgm,j в решении задачи не участвуют. Вспомогательная таблица чиселимеет длярассматриваемого примера следующий вид:i123456789τ*gi,0 000000000τ*gi,1 10-6 *9 10-6 *16 10-6 *21 10-6 *24 10-6 *25 10-6 *24 10-6 *21 10-6 *16 10-6 *9τ*gi,2 l0-6 *18 10-6 *32 10-6 *42 10-6 *48 10-6 *50 10-6 *48 10-6 *42 10-6 *32 10-6 *18Числовые значения решения задачи для примера с функциями (21 представленыследующей таблицей:xi0 0,10,20,30,40,50,60,70,80,91ui,0 0 0,098 0,192 0,273 0,336 0,375 0,384 0,357 0,288 0,171 0ui,1 0,1 0,098 0,190 0,270 0,332 0,370 0,378 0,350 0,280 0,162 0ui,2 0,2 0,114 0,188 0,267 0,328 0,365 0,372 0,343 0,272 0,155 0ui,3 0,3 0,140 0,189 0,264 0,324 0,360 0,366 0,336 0,264 0,148 0В первой строке таблицы записаны значения аргумента x, а во второй - значения Ui,0 .вычисленные из начального условия.
Вычисления по формуле (22') начинаются с третьейстроки. Например,и т.д. Вычислены три строки. Последняя соответствует значениямUi,3 = U(0,1*i; 0,005). Сравнивая с соответствующими приближенными значениями U(0,1*i; 0,005), вычисленными для решения методом Фурье, видим отклонения порядка0,02 и более (для U1,3 отклонение 0,04), Если же учесть значения первых двухотбрасываемых членов (в скобке) при решении по методу Фурье, то получим отклонениязначительно меньшие. Следовательно, значения решения по методу сеток более точны,чем по методу Фурье с четырьмя первыми членами ряда.
Заметим, что в рассматриваемомпримере на значения решения методом сеток очень мало влияли слагаемые τ*gi,j. Этообъясняется спецификой свободного члена g(x; t) в данном примере и малостьюрассмотренного отрезка времени3. Неявная схема метода сеток для уравнения теплопроводности (16) получается призамене частных производных разностными отношениямиУравнение в частных производных (16) заменяется аппроксимирующим разностнымуравнениемОбозначая для краткости, представим разностное уравнение в видеНачальная строка таблицы числовых значений решения задачи определяется изначального условияИз граничных условий определяются значениядля каждого значения j = 1,2,…, p.
Зная значения решения в предыдущей строке таблицы сномером j - 1, находят значения решения для последующей строки таблицы с номером j изсистемы линейных алгебраических уравнений (25) для. Это система специфического “трехдиагонального” вида ирешается методом прогонки. Система может быть преобразована к видугде вспомогательные величины ai,j и bi,j вычисляются последовательно по формуламВычисление этих величин называют "прямым ходом". С помощью найденных величин ивторого граничного условия задачи последовательно вычисляются значения решения длястроки с номером jЭти вычисления называют "обратным ходом" прогонки. Получают числовые значениярешения задачи для строки с номером j. Для следующей строки процесс повторяется.Отметим, что числа ai,j фактически не зависят от номера j.
Эти числа вычисляются одинраз для всех строк. Числа bi,j для каждой строки вообще получаются различные. Строкучисел ai,j и каждую строку чисел bi,j при расчетах удобно включать в таблицу числовыхзначений решения Ui,j, причем строки чисел bi,j последовательно чередовать со строкамичисел Ui,j. В эту же таблицу можно вписать и строки чисел gi,j или чисел h2*gi,j, которыевходят слагаемыми в числа bi,j. Для примера с функциями (21) методом прогонкивычислим одну строку чисел Ui,1 , полагая h = 0,1 ивычислений составляют следующую таблицу;xi0 0,10,20,80,40,5Ui,0 0 0,0990,1820,2730,3860,875h2 gi,1 0 10-6 162 10-6 288 10-6 378 10-6 432 10-6 450ai,1 - 0,250,2667 0,2678 0,2679 0,2679bi,1 - 0,4982 0,5088 0,6321 0,8551 0,9788Ui,1 0,3 0,1465 0,2077 0,2700 0,3258 0,3607Продолжение таблицы0,70,80,90,3570,2880,17110-6 378 10-6 288 10-6 1620,2679 0,2679 0,20700,9906 0,8417 0,56770,3368 0,2663 0,1521.
Результаты0,60,38410-6 4320,267»1,03090,36651000В первой строке таблицы записаны абсциссы узлов сетки, во второй строке - числовыезначения решения при t = 0, определяемые из начального условия задачи. В третьей.строке записаны значения h2 *g(x; t) узлов сетки xi = h*i при h = 0,1 иВ четвертой и пятой строках записаны последовательно вычисленные значения числовыхкоэффициентов (27) "прямого хода". Например, (ω = h2 / τ = 2)В последней строке записаны числовые значения решения Ui,1 (t1 - τ = 0,005),последовательно получаемые по формулам (28) "обратного хода". Например,Сравнивая последнюю строку полученной таблицы с последней строкой таблицы методасеток явной схемы, видим отклонения, не превосходящие 0,01 (для U2,1 несколькобольшие).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
