Главная » Просмотр файлов » Занятие 4. Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису

Занятие 4. Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису (1079492)

Файл №1079492 Занятие 4. Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису (Семинары по линейной алгебре)Занятие 4. Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису (1079492)2018-01-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Занятие 4. Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Действия над линейными операторами.

Алгебра линейных операторов. Линейным оператором в линейном пространстве L называется всякое отображение пространства L в себя, обладающее свойствами

Ах) = λАх и А(х + у) = Ах + Ау.

Пусть А − линейный оператор в конечномерном пространстве Ln и B = (e1, ... , еn) некоторый фиксированный базис. Разложим векторы Аеk, k = 1, ..., n по базису B: Аеk = а1kе1 + ... + аnkеn, k = 1, ..., п.

Тогда матрица A называется матрицей линейного оператора A в базисе B. Пусть А и А' − матрицы оператора А в базисах B и B', a − матрица перехода от базиса B к базису B'. Тогда формула преобразования матрицы оператора при преобразовании базиса имеет вид .

Над линейными операторами, действующими в фиксированном пространстве L, вводятся следующие операции:

а) сложение операторов: (А + В)х = Ах + Вх; при этом [A + B] = A + B;

б) умножение операторов на числа: (λА)х = λ(Ах); при этом [λA] = λA;

в) умножение операторов: (AB)x = A(Bx); при этом [AB] = AB.

Обратным к оператору A называется оператор А−1 такой, что А А−1 = А−1A = E, где Е единичный оператор, реализующий тождественное отображение. Оператор А имеет обратный (и в этом случае называется невырожденным) в том и только том случае, когда его матрица А невырождена (в любом базисе); при этом [А−1] = А−1.

Задачи: ОЛ-6, гл. 4: 4.83 – 4.99 (неч.), 4.103, 4.106 (б), 4.107, 4.110, 4.113

В задачах 4.83−4.89 установить, какие из заданных отображений пространства V3 в себя являются линейными операторами; выписать их матрицы в прямоугольном базисе

4.83. Ах = λх, λ − фиксированное число.

4.85. Ах = (x, е)е, где е − заданный единичный вектор. Выяснить геометрический смысл этого отображения.

4.87. Ах = (а, х)х, а − фиксированный вектор.

4.89. Если x = xi + yj + zk, то Ax = (y + z)i + (2x + z)j + (3x y + z)k.

В задачах 4.90−4.95 установить, какие из заданных отображений пространства арифметических векторов R3 в себя являются линейными операторами; выписать их матрицы в каноническом базисе.

4.91. Ах = (х1, х2 + 1, x3 + 2). 4.93. Ах = (х1 + 2х2 + 2х3, −3х2 + х3, 2х1 + 3х3).

4.95. Ах = (3x1 + 5х3, x1 + x3 + 1, 3х2 − 6х3).

В пространстве R3 заданы два линейных оператора А и В. Найти матрицу [С] линейного оператора С = АВ ВA и его явный вид в каноническом базисе R3:

4.97. Аx = (7x1 + 4x3, 4x2 9x3, 3x1 + x2), x = (x2 6x3, 3x1 + 7x3, x1 + x2 x3).

4.99. Аx = (3x1 + x22x3, 3x12x2 + 4x3,3x1 + 5x2 − x3), Bx = (2x1 + x2, x1 + x2 + 2x3, − x1 + 2x2 + x3).

4.106. В L4 задан линейный оператор А, матрица которого в некотором базисе B = (e1, e2, e3, е4) равна

Найти матрицу этого оператора в базисе B' = (e1, e1 + e2, e1 + e2+ e3, e1 + e2+ e3 + е4)

4.107. В L3 заданы два базиса: B': , , , B'': , , .

Найти матрицу оператора А в базисе B'', если его матрица в базисе B' имеет вид

4.110. В пространстве P3 задан линейный оператор дифференцирования . Найти матрицу этого оператора в базисе: a) 1, t, ..., tn 1;

4.113. В пространстве функций, дифференцируемых на всей оси, заданы оператор дифференцирования и оператор A = eλt умножения на функцию eλt. Проверить равенство DA AD = λA.

Домашнее задание: 4.84, 4.86, 4.90 – 4.100 (четн.), 4.108, 4.110(б)

4.84. Ах = λх + а, λ и а фиксированы. 4.86. Aх = [a, х], а фиксированный вектор. 4.90. Ах = (х2 + х3, 2x1 + x3, 3x1х2 + x3). 4.92. Ах = (0, х2х3, 0). 4.94. Ах = (3x1 + x2, x1 − 2x2x3, 3x2 + 2x3). 4.98. Аx = (2x1 x2 + 5x3, x1 + 4x2 x3, 3x1 5x2 + 2x3), Bx = (x1 + 4x2 + 3x3, 2x1 + x3, 3x2 x3). 4.100. Аx = (3x1 + x2 + x3, 2x1 + x2 + 2x3, x1 + 2x2 + 3x3), Bx = (x1 x2 x3, 2x1 x2 + x3, x1 + x2).

4.108. В пространстве L2 оператор А в базисе B': , , имеет матрицу . Оператор В в базисе B'': , , имеет матрицу . Найти матрицу оператора A + B в базисе B''.

4.110. б) .

Ответы:

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
163,5 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов семинаров

Семинары по линейной алгебре
Занятие 3. Евклидовы пространства. Процесс ортогонализации Грама – Шмидта.doc
Занятие 5. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.doc
Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6455
Авторов
на СтудИзбе
305
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее