Занятие 1. Линейное пространство. Линейная зависимость. Базис и размерность пространства. Переход к новому базису (1079474)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Занятие 1. Линейное пространство. Линейная зависимость. Базис и размерность пространства. Переход к новому базису.

Линейное пространство. Множество L называется линейным (векторным) пространством, если выполнены следующие условия

1) В L введена операция сложения элементов, т.e. , определено отображение (обозначение: z = x + y) обладающее следующими свойствами:

1а) x + y = y + x; 1б) (x + y) + z = x + (y + z);

1в) (элемент 0 называется нулевым);

1г) (элемент −х называется противоположным элементу х).

2) В L введена операция умножения элементов на действительные (комплексные) числа, т.е. определено отображение (обозначение: у = λх), обладающее свойствами:

2а) ; 2б) .

3) Операции сложения элементов и умножения их на числа удовлетворяют законам дистрибутивности:

3а) ; 3б) .

Элементы линейного пространства называются векторами. Пространство L называется действительным, если в L операция умножения векторов на число определена только для действительных чисел, и комплексным, если эта операция определена для комплексных чисел.

Система векторов {x₁, ..., x_s} ⊂ L называется линейно зависимой, ecли найдутся числа λ₁, ..., λ_s не равные одновременно нулю и такие, что λ₁x₁ + ... + λ_sx_s = 0; в противном случае эта система называется линейно независимой.

Пусть Q ⊂ L − произвольное множество векторов линейного пространства. Упорядоченная система векторов B = (e₁, ..., e_s) называется базисом в Q, если:

а) e_k ∈ Q, k = 1, 2, ..., s;

б) система B = (e₁, ..., e_s) линейно независима;

в) для любого a ∈ Q найдутся такие числа a₁, ..., a_s что

(1)

Формула (1) называется разложением вектора a по базису B.

Коэффициенты a₁, ..., a_s однозначно определяются вектором a и называются координатами этого вектора в базисе B.

Если множество обладает базисами, то все они состоят из одинакового числа векторов, называемого рангом Q (и обозначаемого rank Q). В частности, если все пространство L имеет базис, то оно называется конечномерным и обозначается L_n где n = dim L − число векторов в любом базисе, называемое размерностью пространства. В противном случае пространство L называется бесконечномерным.

Пусть L_n − произвольное n-мерное пространство, B = (e₁, ..., e_n) − фиксированный базис в нем. Тогда всякому вектору взаимно однозначно соответствует столбец его координат в этом базисе.

При этом линейные операции над векторами в координатной форме выглядят следующим образом:

,

Пусть B = (e₁, ..., e_n) и B ' = (e'₁, ..., e'_n) − два различных базиса в L_n. Каждый из векторов базиса B' разложим по базису B:

Матрицей перехода T_B→B', от базиса B к базису B' называется матрица

k-й столбец которой есть столбец Е'_k координат вектора e'_k, в базисе B. Если x − произвольный вектор из L_n, X и X' − столбцы его координат в базисах B и B' соответственно, то имеет место равенство

(2)

(формула преобразования координат при преобразовании базиса).

Пример 1. Найти координаты геометрического вектора х = −i + 2j + k в базисе B' состоящем из векторов e'₁ = i + j, e'₂ = j + k, e'₃ = i + k

Решение. Выпишем координаты векторов e'₁, e'₂, e'₃ в исходном базисе B = (i, j, k) и найдем матрицу перехода T_B→B'

, , ;

Обращая матрицу T_B→B' и используя формулу (2), находим

, х = 2e'₁ − e'₃

Задачи: ОЛ-6, гл. 4: 4.1–4.9 (неч.), 4.15, 4.17, 4.21, 4.24, 4.28, 4.30, 4.37

Проверить, что следующие множества являются линейными пространствами:

4.1. Множество V₃ всех геометрических векторов.

4.3. Множество P_п всех многочленов p(t) = a_{n − 1}t ^{n − 1} + ... +a₁t + a₀ степени n − 1 с естественным образом введенными операциями сложения многочленов и умножения их на числа.

4.5. Множество М_{т, п} всех матриц размера .

Выяснить, являются ли следующие множества линейными пространствами:

4.7. Множество всех геометрических векторов, исходящих из начала координат, концы которых лежат на фиксированной прямой.

4.9. Множество всех сходящихся последовательностей.

4.15. В пространстве V₃ заданы векторы e'₁ = i + j, e'₂ = i − j, e'₃ = −i +2j − k.

Доказать, что система B' = (e'₁, e'₂, e'₃) − базис в V₃ и написать матрицу перехода T_B→B', где B = (i, j, k). Найти координаты вектора x = i − 2j + 2k в базисе B'.

Пусть B = (i, j, k) и B' = (i', j', k') − прямоугольные базисы в V₃. В задачах 4.16−4.18 найти матрицу перехода T_B→B' и выписать столбец координат вектора x = i − 2j + k в базисе B'.

4.17. Базис B' получен перестановкой i' = j, j' = k, k' = i.

4.21. Доказать, что система арифметических векторов x₁ = (l, 2, 0, 4), x₂ = (−1, 0, 5, 1), x₃ = (1, 6, 10, 14) линейно зависима, и написать какое-нибудь нетривиальное соотношение вида . Найти ранг и все базисы этой системы.

4.24. Доказать, что система многочленов t³ + t² + t + 1, t² + t + 1, t + 1, 1 линейно независима.

4.28. Найти координаты многочлена t² − t + 2 в базисе 1, t − 1, (t − 1)².

В задачах 4.30−4.34 в произвольном пространстве L_n векторы е'₁, е'₂, ..., е'_n и х заданы своими координатами в некотором базисе B. Доказать, что система B' = (е'₁, е'₂, ..., е'_n) базис в L_n и найти столбец X' координат вектора х в этом базисе.

4.30. , , ,

В задачах 4.37, 4.38 в произвольном пространстве L_n векторы е₁, е₂, ..., е_n и е'₁, е'₂, ..., е'_n заданы своими координатами в некотором базисе. Требуется доказать, что системы B = (е₁, е₂, ..., е_n) и B' = (е'₁, е'₂, ..., е'_n) − базисы в L_n и написать матрицу перехода T_B→B'.

4.37. , , , , , ,

Домашнее задание: ОЛ-6, гл. 4: 4.2–4.10 (четн.), 4.16, 4.18, 4.19, 4.25, 4.31

4.2. Множество Rⁿ всех арифметических n-компонентных векторов х = (х₁, ..., х_п).

4.4. Множество C_{[a, b]} всех функций f(t), непрерывных на отрезке [a, b], с естественным образом введенными операциями сложения функций и умножения их на числа.

4.6. Множество V₁ всех геометрических векторов, коллинеарных фиксированной прямой.

4.8. Множество всех геометрических векторов, удовлетворяющих условию |x| > а, где а > 0 − фиксированное число.

4.10. Множество всех расходящихся последовательностей.

4.16. Базис B' получен изменением на противоположное направление всех трех базисных ортов B.

4.18. Базис B' получен поворотом базиса B на угол φ вокруг орта i.

4.19. Найти ранг и какой-нибудь базис системы геометрических векторов x₁ = −i + 2j, x₂ = 2i − j + k, x₃ = −4i +5j − k, x₄ = 3i − 3j + k.

4.25. Доказать, что система многочленов t² + 1, −t² + 2t, t² − t образует базис в пространства P₃. Выписать в этом базисе столбец координат многочлена −2t² + t − 1.

4.31. , , ,

Ответы

4.6. Да. 4.7. Да, если прямая проходит через начало координат. 4.8. Нет. 4.9. Да. 4.10. Нет. 4.15

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов семинаров