Занятие 2. Ранг системы векторов. Линейная оболочка системы векторов. Подпространство линейного пространства (1079482)
Текст из файла
Занятие 2. Ранг системы векторов. Линейная оболочка системы векторов. Подпространство линейного пространства.
Подпространства и линейные многообразия. Подпространством линейного пространства L называется такое подмножество L' ⊂ L, которое обладает свойствами:
Если L' − некоторое подпространство в L, то множество векторов
L' + х0 = {х ∈ L | х = х' + x0, х' ∈ L' для некоторого х0 ∈ L}
называется линейным многообразием, полученным сдвигом подпространства L' на вектор х0.
Пусть Q − произвольная система векторов из линейного пространства L.
Линейной оболочкой системы Q называется множество векторов
б) dim = rank Q, причем в качестве базиса в
можно взять любой базис системы Q.
Задачи: ОЛ-6, гл. 4: 4.45–4.53 (неч.)
В задачах 4.45 − 4.49 требуется установить, являются ли заданные множества подпространствами в соответствующих пространствах. В случае положительного ответа найти их размерность.
4.45. Множество всех геометрических векторов из V3
а) компланарных фиксированной плоскости;
б) удовлетворяющих условию (x, a) = 0, где а − фиксированный вектор;
в) удовлетворяющих условию |х| = 1.
4.47. Множество всех векторов произвольного пространства Ln, координаты которых в фиксированном базисе удовлетворяют условиям:
а) х1 = хп; б) x1 + х2 + ... +хn = 0, в) x1 − x2 = 1;
г) a11x1 + ... +a1nxn = 0, ..., am1x1 + ... +amnxn = 0 или, в матричной форме, АХ = 0, где А − заданная матрица размера .
4.49. Множество всех функций (см. задачу 4.4), удовлетворяющих условиям:
а) f(t0) = 0 для некоторого ; б) f(t0) = 1 для некоторого
; в) f(t) = an−1t n−1 + ... +a1t + a0 т. е. f(t) − многочлен степени не выше n − 1.
4.51. Найти размерность линейной оболочки арифметических векторов x1 = (l, 0, 2, −1), x2 = (0, −1, 2, 0). Показать, что
.
Найти размерность и какой-нибудь базис линейной оболочки заданной системы арифметических векторов:
4.53. x1 = (1, 1, 1, 1, 0), x2 = (1, 1, −1, −1, −1), x3 = (2, 2, 0, 0, −1), х4 = (1, 1, 5, 5, 2), x5 = (1, −1, −1, 0, 0).
Домашнее задание: 44.46, 4.48, 4.52, 4.54
4.46. Множество всех векторов из Rn вида:
а) x = (0, х2, 0, х4, х5, ..., хп); б) х = (1, х2, 1, х4, х5, ..., xn).
4.48. Множество всех матриц А порядка n, удовлетворяющих условиям:
а) АT = А (симметричные матрицы); б) det A = 0.
4.52. x1 = (1, 0, 0, −1), х2 = (2, 1, 1, 0), x3 = (1, 1, 1, 1), x4 = (1, 2, 3, 4), x5 = (0, 1, 2, 3).
4.54. Показать, что линейная оболочка системы многочленов −3t2 − 1, 2t2 + t, −t совпадает с пространством P3 всех многочленов степени .
Ответы
4.45. а), б) Подпространство размерности 2, базисом является любая пара неколлинеарных векторов из заданием о множества; в) не является подпространством.
4.46. а) Подпространство размерности n − 2; б) не является подпространством.
4.47. Множества, указанные в пп. а), б), г), − полпространства, а множество из п. в) подпространством не является. Условие которому удовлетворяют координаты в любой из задач этой серии, можно записать в виде АХ = 0, где А − некоторая матрица, имеющая n столбцов, а X − столбец координат в фиксированном базисе Поэтому размерность соответствующею подпространства равна n − rank A, а в качестве базиса можно взять любую фундаментальную систему решений системы уравнении АХ = 0.
4.48. а) Подпространство размерности ; б) не является подпространством.
4.49. а) Бесконечномерное подпространство, б) не является подпространством; в) подпространство размерности п.
4.51. 2. 4.52. 3; один из базисов есть, например, B = (x1, x2, x4) 4.53. 3; один из базисов есть, например, B = (x1, x2, x5) 4.54. Заданная система многочленов линейно независима.
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.