Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

5

Пример выполнения домашнего задания по Физике

(3 семестр)

составил А. В. Купавцев

отредактировал Fozi

Задача 1

Сферический конденсатор с внутренним радиусом R1 = 1 см и внешним радиусом R0 = 3R1 имеет внутри два концентрических сферических плотно прилегающих друг к другу и к обкладкам конденсатора диэлектрического слоя с границей раздела радиуса R2 = 2R1. Внутренний диэлектрик имеет постоянную диэлектрическую проницаемость 1 = 1, 5. Диэлектрическая проницаемость второго слоя зависит от расстояния r от центра сфер: ₂ = (R₀²+R₁²)/(R²₁+r²). Конденсатору сообщён заряд q = 0, 1 нКл. Найти зависимости от расстояния r: а) электрического смещения, напряженности и объёмной плотности энергии электрического поля в конденсаторе, б) поляризованности диэлектриков и объёмной плотности связанного заряда. Найти поверхностную плотность связанного заряда на внутренних и внешних поверхностях слоёв диэлектриков. Найти электроёмкость и энергию конденсатора. Построить графики электрического смещения D, напряжённости E, поляризованности Р, объёмной плотности связанного заряда . Выполнить проверку полученных результатов, а также сравнить значения электроёмкости с расчетом по формуле электроёмкости сферического конденсатора. Сделайте выводы.

Решение

Уясним содержание и требование задачи. Перепишем ₂(r) в виде ₂ = 10R₁²/(R₁²+r²). Рис. 1 иллюстрирует значения диэлектрической проницаемости диэлектриков в конденсаторе. Поиск характеристик электростатического поля начнём с отыскания электрического смещения D(r), зависимость которой от r не зависит от наличия диэлектриков. В данной сферически-симметричной задаче можно применить теорему Гаусcа для электрического смещения:

, где S_r – поверхность сферы

произвольного радиуса r. Учитывая независимость в данной задаче физических величин от углов сферических координат, получаем: D = D_r = q/4r². На поверхностях радиусами R1 и R0 имеем, соответственно, D = (1/4) мКл/м² и D0 = (1/36) мКл/м². (См. график). Используя связь напряжённости и электрического смещения для изотропных диэлектрических сред, E = D/₀, найдем: E₁ = q/4₀₁r² и E₂ = q(R₁²+r²)/4₀10R₁²r. Правильность полученных результатов подтвердим, используя условие разрыва тангенциальных составляющих напряжённости электрических полей на границе двух диэлектриков ₁E1(R2) = ₂E2(R2) при r = R2, или 1, 5E1(R2) = 2E2(R2), где E₁(R₂) = q/4₀6R₁² и E₂(R₂) = q/4₀8R₁². Проверка подтверждает правильность полученных выражений для напряжённостей поля. Функции E1(r) и E2(r) не имеют экстремума в области R1 - R0. Их графики показаны на рис. Поляризованность изотропного диэлектрика связана с напряжённостью электрического поля в точке соотношением Р = (-1)0Е. Для внутреннего слоя диэлектрика P₁ = 0. 5₀E₁ = q/43r². Поляризованность P₂ = q(R₁²-r²)/43r². Правильность полученных выражений подтвердим, используя формулу определения вектора электрического смещения D = 0Е+P. В проекции на радиальное направление имеем: D = 0Е +P. Для внутреннего диэлектрика: q/4rr² = q/4₁r²+q/43r², или после упрощения тождества и подстановки в выражение значения ₁, имеем 1 = 2/3+1/3. Для второго диэлектрика получаем:

После преобразования получаем тождество. Проверка подтвердила правильность результата. График зависимости поляризованности от расстояния вдоль радиуса представлен на рис. Поляризованность P(R0) = 0, т. к. значение диэлектрической проницаемости в этой точке равен 1. Поверхностная плотность связанного заряда ' равна проекции поляризованности на внешнюю нормаль к рассматриваемой поверхности. Для внешней поверхности слоя диэлектрика внешняя нормаль совпадает по направлению с радиусом r, для внутренней поверхности, обращенной к оси симметрии, она имеет направление, противоположное радиальному. При R1 находим 1'(R1) = P₁cos = -q/43R² = -(1/12) мкКл/м². При R2 на внешней поверхности первого слоя '1(R2) = P₂cos0 = (1/48) мкКл/м², а на внутренней поверхности второго диэлектрика ₂(R2) = -q(9R₁²-R₂²)/4R₂²10R₁² = -(1/8) мкКл/м². На внешней границе второго диэлектрика ₂'(R0) = 0.

Объёмная плотность связанного заряда ' = -div . В сферических координатах:

В случае независимости поляризованности от угловых координат, получаем  = (r²P)/r², где штрихом обозначена производная по координате r. Получаем '1 = 0, т. е. внутри диэлектрика с постоянной диэлектрической проницаемостью не возникает объёмного связанного заряда. Для '2 находим '2 = q/4r5R₁². График '(r) представлен на рис. Для оценки правильности проведённых расчётов проверим справедливость теоремы Гаусса для напряжённости электрического поля в диэлектрике, в выражении которой войдёт связанный заряд:

или

где q₂(R₂)- связанный заряд на внутренней поверхности второго слоя диэлектрика. Интеграл выражает связанный заряд, распределённый по объёму второго диэлектрика в пределах произвольно выделенной сферы радиуса r. Сумма связанных зарядов на внутренней и внешней поверхностях первого диэлектрика равна нулю и в написанное выражение не входит. После подстановки соответствующих формул, получаем выражение:

являющееся тождеством.

Для нахождения электроёмкости конденсатора, вычислим напряжение на его обкладках:

используя формулу связи разности потенциалов с напряжённостью электростатического поля. Получим U = 7q/40R160 + q/40R13 = 9q/800R1. Тогда С = q/U = 800R1/9 = 2, 5 пФ. Расчёт электроёмкости по известной формуле сферического конденсатора C = 40R1R2/(R2-R1) даёт другой результат С = 0, 83пФ (при  = 1, 5). Это расхождение объясняется неприменимостью для данного случая стандартной формулы электроёмкости сферического конденсатора, которая относится к однородному изотропному диэлектрику с постоянной диэлектрической проницаемостью, заполняющему сферический конденсатор. E - Объёмная плотность энергии определяется квадратом модуля напряжённости поля в рассматриваемой точке, т. е. w = 0 E²/2. Получаем во внутреннем диэлектрикеw₁ = q²/32²₀₁r⁴ и проверяем по формуле w = D²/201, подставив в него выражения для электрического смещения. Аналогично находим и проверяем зависимость w_{2 =} q²(R₁²+r²)/32²₀r⁴ 10R₁² для внешнего диэлектрика. Энергию заряженного конденсатора вычислим двумя способами. В первом способе рассчитаем энергию электростатического поля в конденсаторе, используя выражения для её объёмной плотности.

Второй способ - использование формул энергии заряженного конденсатора W = q²/2С и W = СU²/2. Обе формулы дают тот же результат.

Задача 2

Коаксиальный кабель состоит из полой длиной прямой круглой толстостенной цилиндрической трубки, внутренний и внешний радиус которой соответственно равны R = 1см и R0 = 2R, и наружной проводящей цилиндрической поверхности (тонкостенная трубка) радиусом 3R. Постоянный электрический ток I = 10А течет по внутренней трубке и возвращается по наружной цилиндрической поверхности. Магнитная проницаемость неферромагнитного материала тонкостенной трубки меняется с расстоянием r от оси трубки по закону  = (2R₀²-r²)/R². Магнитную проницаемость окружающей среды принять за единицу. Найти зависимости от r напряжённости, магнитной индукции, объемной плотности энергии магнитного поля, намагниченности и плотности токов намагничивания, изобразить их графически. Найти молекулярный ток намагничивания на внутренней и внешней поверхностях трубки. Найти магнитную индукцию внутри трубки, используя теорему о циркуляции магнитной индукции в магнетике. Найдите магнитный поток внутри кабеля, а также магнитную энергию и индуктивность единицы длины кабеля. Выполните проверку всех полученных результатов.

Р
ешение

Уясним содержание и требование задачи. Перепишем выражение для магнитной проницаемости материала трубки в виде  = (8R²-r²)/R². Она убывает от значений 7 до 4 при перемещении к периферии трубки (см. рис. 2). По причине цилиндрической симметрии векторные линии магнитного поля, создаваемого электрическим током в трубке, представляют собой концентрические окружности с центрами на оси трубки, лежащие в плоскостях, перпендикулярных этой оси. Напряженность поля вычисляем по теореме о циркуляции вдоль контура l, совпадающего с векторной линией – окружностью радиуса r. Запишем:

При r<R имеем H₁ = 0 (поле отсутствует), т. к. I = 0 в этой области. Внутри трубки R<r<R₀ получаем:

Окончательно находим H₂ = I(r²-R²)/6R²r. В области вне трубки 2R<r<3R находим, что магнитное поле совпадает с полем длинного прямого проводника H₃ = I/2πr. Магнитное поле вне кабеля также отсутствует Н₄ = 0, т. к. при r>R сумма токов в правой части теоремы о циркуляции напряженности поля равна нулю. Внешняя проводящая оболочка экранирует магнитное поле от распространения за пределы кабеля. По формуле В = ₀Н находим соответствующие выражения для магнитной индукции:

и В₄ = 0. (Графики на рис.). Проверим полученные результаты, рассмотрев поведение этих величин на внутренней и внешней поверхностях трубки. Тангенциальные составляющие напряженности магнитного поля не терпят разрыва:

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов учебной работы