Другое: Пример решения ДЗ
Описание
Характеристики учебной работы
Список файлов
Распознанный текст из изображения:
Пример выполнения домашнего задания
(3 семестр)
составил А.В.Куггавцев
Задача 1, Сферический конденсатор с внутренним радиусом йз=1 см и внешним радиусом КшЗВ имеет внутри два концентрических сферических плотно прилегающих друг к другу и к обклшвгам конденсатора диэлектрического слоя с границей раздела радиуса Км.2К1 . Внутренний диэлектрик имеет постоянную диэлеятрнчсокую проницаемость ш = 1,5Диэлеатричсская проницаеь(осж второго слоя зависит ог расстояния г ог центра сфер: ш=(К~с+Кг'У(Кк1 +г'). Конденсатору сообщен заряд Ч=О,!к нКл . Найти зависимости от расстояния г а) электрического смешения, напряженносзн и обьдмной плотности энергии электрического поля в конденсаторе, б) поляризоваиности диэлектриков н обьамной плотности связанного заряда. Найти поверхностную плотнооп связанного заряда па внугрегпзих и внешних поверхностях слоев диэлектриков Найти электроемкость и энерпио конденсатора. Построить графики электрического смешения О, напряжбннгсги Е. поляризовипзощн Р, сбъамной плотности связанного заряда р'. Выполнить проверку полученных результатов, а также сравнить значения элекгробмкостн с расчетом по формуле элеатробмкости сферического конденсатора. Слелайте выводы.
Решение. Уясним содержание и требование задачи. Перепишем ш(г) в виде ш=10К1 /(К~'.гг~). Рис.1 иллюстрирует значения диэлектрической проницаемости диэлектриков в конденсаторе.
Поиск характеристик элеьтроститического пози начнем с озъюкания электрического смещенная 1)(г), зависимооп которой от г не зависит ог наличия диэлектриков. В данной сферическисиммвгричной задаче, можно применить теорему Гаусса для электрического смешения: )ош = Е где 8, — поверхиосзь сферы
произвольного ралиуса г. Учитывая независимость в данной заааче физических,. величин от углов сферических координат. получаем: П=)),=цгдяг . На поверхностях радиусами,ро и Кз имеем, соошепггвенно, П=(1/4) мКлГм и Пг =(!г36) мКл)м . (См. графих). Используя связь напряженности и электрического смещения для изагропзгых диэлектрических срер, Е=П/вш, найдем: Е~=0(4явж~г и Ез=д(К1 гг )/4ясс 10К~ г. Правильность полученных результатов подтвердим, используя условие рвзрьпза нормальных составляющих напряжянности электрических полей на границе двух диэлектриков иЕ1(Кз)=азйчйз ) при г= Кк или 1,5Е~(Кз)=2Ег(Кг), где Е~(Кз)=г))4яас 6К1 н Ез(Кг)т)г4зщс.ЗКз . Проверка подтверждает правильность полученных выражений для напряжвнноогей поля. Функции Е1(г) и Ра(г) не имени. экстремума в области К - Кк Их графики показаны на рис.
Полярнзованность иютропного диэлектрика связана.с, навряд)йнностью электрического поля в точке соотношением ~~а-1)юЕ. Для внугреннсго слоя диэлекгршщ РП0.5всрч=д)4кЗг. Поляризованность Рз5й(К~ -г Удк Зг .Правильность полученных вьджжеиий под-
2 з
тверлим, всполья(я (д~(уулу определения вектора электрического смещения )~в Ез Р. В проекции на радиальное згапралл~ние имерм: П=твЕ ь!'. Для внутреннего диэлектрика: дгдш =-ф4кюг чц)4я Зг
Распознанный текст из изображения:
нлн после упрогцсння тождества н полстановкн в выражение значения ю, имеем 1=2«З ' 1дф Для второго диэлектрика получаем:
Ч(ех «'=я~~,' ° '~/4х )ОЛ,' «' «т(вл,' «'))4» ««.(ОЛ,'
зовання получаем тождество. Проверка йодтверлнла правильность резулыата. Графнк завнсцмости поляризованностн от расстояния вдоль радиуса представлен на рис. Поляриюванность Р(К«) = О, т.к. значение диэлектрической проннцаемосп» в эгей точке равен 1.
Поверхностная плотность связанного заряда и' равна проекции полярнзованностн на внсшшою нормаль к рассматриваемой поверхносзн. Для внешней поверхности с«юя лд))лсктрика внешняя нормаль совпадаю по направлению с раднусом г . для внузренней поверхности. обращсгшой к оси симметрии, опа имеет направленно, «грот)шоположное рап)зальному. Прн К~ находим о '(К )=Р~совя=-«()4я ЗК -(1П 2) мкКлгм .Прн ~ на внешней поверюккти первою слон пз(Го )- Рзсгн0 =(1«48) мкК«з«м,, а,на вн)«цкнней поверхности втор«хо диэлектрика аз(К)Гщ( 9К~ -Кз Уляйз 1ОК~«=-(1)8) мкКл)м На внешней границе второго днэвекгрика пз'(К«)=0
Объвмная плотнощь связанного заряда р'= З(тй В сферических юардикпвх ш«Р = (з)«')в(«Р)гд + [1««ивд) дР зад/дл «(1)«сад)оР (дн В случае неэавнсньзостн поляризовапностн аг угловых координат. получаем д'=(г РУ)г, где штрихом обозначена производная по координате г. Получаем рч= О, г.е. внутри лнэлсктрнка с постоянной диэлектрической цроницаемосзъю не во)ннкаст объбмного связанного заряда. Для рз находим р«=9/4я«.5к~ График р(г) представлен на ри*.
Для опенки правильиосз н проведдгзных расчстои провернм справедливость теоремы Гаусса для нштряжянносгн электрическою поля в лнэлектрике, в выражении которой войдет сааза)гный заряд: ~длй=(-, л«««„нлн ел.е .„=(г«чГ(д«)), („,(,).4 „,ь. где Ч'з(К«)- связанный зарял ги внутренней поверхности второго слоя диэзгектрнка. Интеграл выражает связанный заряд, распределенный по объвму второю диэлектрика в пределах произвольно вьщелеиной сферы радиуса г. Сумма связанных зарядов на внугренней и внешней поверхностях первяо диэлектрика равна нушо н в написанное выраженно нс входит. После подстановки сротвстетрующнх,формуд получаем выражение; с(лй «««угол« = г - г(вд« . д««))год« ° ) (с«/зл«) е. являющееся тождеством.
Для нахождения элекгрофп<асти зюнденсатора, вычислим напряжение на его обкладках. и )«д „, ~ . щ
используя формуяу связи разность потснцналон с напряженностью электростатического поля. Получим П=7«()4яа«К~ 60 ' Ч«4яе«ВЗ 9ф80хе«Кь Тогда С 9%= 80яе«Кь«9-2.5 пФ. Расчет элелэроемкосгн по известной формуле сферического когщазщтора С--4яа««К~К««(К«-В) дает лругой результат С=О,83пФ (прн а=!,5). Это расхождение объясняется непрнменимосгыо д«тя ланного случая сщндартной формулы электроемкости сферического конденсатора, которая огнхизся к однородному изотроиному диэлектрику с посюянной
Распознанный текст из изображения:
диэлектрической пронипаемостькз, заполняющему сферический кондснса юр.
Е Объемная плотность энергии опрсдезиется квадратом модуля напряженности поля в рассматриваемой,тоник з,е. зт=вж Е г2. Получаем во внз трепнем днэлскзрикезт~уй ГЗ2я вж~г н проверяем по формуле в- 0'12вгеь подсивнв в него выражения для электрического смсзцення Анвзгогггчно ~(входим н проверяем зависимость
зтз»й)з(К~ г УЗ2» взг 10К для внешнего диэлектрика.
Энерпзю заряженного конденсатора вычислнм двумя способами. В первом изособе рассчитаем энергию электростатического поля в кондснсч) орс, неволь )уя выражения для се обьемной плопюсги.
Н' . ) Ш . 4тг ~ Г + ! щ аж~дг = вт~ ~ збо»т Я, = 2»кдэг.
Второй спосо(э - кайоль ювигнс формул энергии заряженного конденсатора %-0 )2С н %= С(Гг2 . Обе формулы дают тот же результат.
Задача 2 Коаксназшный кабсзш сок юнг из полой ллнной прямой круглой юлстостснной цилннлрнчсской трубки. внутренний н внешний раднус коюрой соответственно равны К = (см и Ка=2К н наружной проводящей цнлинлрнческой поверхности (тонкостенная трубка) ралнусом ЗК Пссюянный электрический ток 1=10А шчсг по внэ тронной трубке и возвращается по наружной цилннлрнческой поверхности. Магшпная проницаемость нс4юрромагннпзгвтэ миврнала гонкошенпой трэбк(г менясюя с рвссзояннсм г гп сон цзубкн по закону р=(2К» -г УК . Магнитную проницаемосзь окружающей среды принять за слннипу. Найти завнсимосгн от г напряженносгн, мыннтной индукции, обьемной плотности энергии магнитного ноля, намагниченности и плгчностн гоков намагннчнванзщ изобразить нх графнческн. Найти молекулярный ток нвмвгнн гнвания на внутренней и внешней поверхностях трубки. Найти мапппную нндукцньэ внутри трубкн, используя теорему о циркуляпни магнитной ннлукпин в магнепже. Найлшс магнитный поюк внугрн кабеля, а икже магннтную энерппо н индукпшность единицы длины кабеля. Выполюпе проверку всех полученных результаюв.
Решение. Уясним содержанке и требование задачи. Перепишем вы ражеш~е (гзи маппппой проницаемости материала трубкн в анде )г=(йй -г УК' Опа убывает ог значений 7 до 4 при перемещении к периферии трубки (см. рис.2) По причине цилиндрической симметрия всюорныс линии магпигного ноля, создаваемого электрическим током в трубке, представзиют собой концентрические окружности с пснтрамн на оси трубки, лежащие в пжюкостях, перпенднкулярньж этой оси. Напряженность поля вычнсзием по теореме о пиркузиггии вдоль контура ),совг)вдающто с вскп~рной линией — окружносп,ю радиуса г. Зшцппсм 1)г»Я ! При г»К имеем Нщб (поле огсугьчвует), ~ к 1 0 в шой обэзисгн. Внутри трубки К<г»К» получаем:
(Й»г =».Г(г' — Я')Г»(Я,' Я'), »л» Н зг»=!(г' — Я')Г(Я,' — Я').
Окончательно находим Нз — !(г -К Убкй г. В области вне трубки
2 2
2К ггЗК находим, что магнитное поле совпадаег с полем длннного
Распознанный текст из изображения:
прямого проводника Нггб2кг Мазззипггж поле вне кабеля закжс озсугствует 1Ь вЂ” -Од.к. при гьй сумма токов в правой части теоремы о циркуляции нарлженносгм поля равна нуво. Внешняя проводящач оГюлочка экранируег мапппиос пояс оз распространения и пределы кабеля.
По формуле В р»рН находим соагвргствук?!цие вцражеюи для маг-
ЮПНОЯ ИНДУКЦИН: В, ла В, = Я»1~8Я'-Г'ф.'-Я')1ЬМ?" Л В, =Д,!й?Л
В»=О. (Графики на рис.)
Проверим полученные рщульгазы, рагсмшрсв повслгжис згих величин на внут!миней и внешней поверюкктях трубки. Тапгснци«льныс саставлякзщие нацряженноспз магнитного ноля не юрпят
Ра'ЗРЫВа (Я, —. В, лрл Я и Н, лН, лял Я,) а МР)ЗГИГЗГ)й)Н?ГДУКЗ?нн 1!а
границе облалстй 2-3 при = 1?, терпят разрыв г»
ИМЕЕМ тОждсатхшг(я)- Н, л О Н(я,)л и!я, 1; 1 4» я. ТаКжа подтвержпается соотноп?ение ЮВ; — ЮВ, для гангснцнальных сосшвлякяцих мапгитной игпбмгзии. Чисззснзгые шачения всех величин отмечены иа рнс
Намагниченное?ь матсРиача тРУбки,г = (с !)Н : Н?Я* ,.'У„: Я»)га»Я' Исслалоаание эюй фунюзии показало, что ее г)жфик имеет макаимум внуцзи трубки цри г=-?,83!1. Проверка правизгьносгм расчста намапзичспиаоти аауществляетая формулой свя ш мапиггной индукции. напряженпошм магнитною пози и намаппгченностн мтию икай Ю(11 ' У).
Плотное)ь тока намапгичцвания в циллизгдрическид кцордиззататр где г„г„г, - единичиыс орты цилиндрической йш;гп»з(ы коорднггаз, Учшывая асевузо симмстрюо, получаем У = (?»,) и», —. 21(?Я г )'зм?'
1 рафик на рис Поверхигютнва шю?масть молскузирных пзков намагничивания умсньшаегся ат максимального значения О.бдю?гм иа внутренней поверхности трубки до нуги на ее внешней поварююаз и.
Силу тока намагничнвюгия в трубке Р вычислим двумя сцгюзГжми, используя связь с
намлгниченнгстью г )1»В - » з ° . г<зз* -'л.' »'з з»'
И С Пяатнаатвю ) л) и, )' »2»л»В» (4/ ' ) ((4Я» )1
тока намагничивания» „3Я'
, что даст тот же рглультаг На внутренней поверхности ?рубки (пй) поверхношиая плозношь молекузирною тока нами иичивания равна нулзо, а гга внешней (К» 2РН з' !'12яй» 3114кй. О,!2~А'м.
Для нахождения индукции мапппною поля анугри трубки
вторым спгюобом запишем выражение тестю»газ о циркуляции
магнитной индукции а магнетике вдоль векторной линии
магнитного поля радиусом К'.г-й», т е.
.,) " ' " -(''.,' '
В 31 = ю(1»1'1 «с» 1 —. 1(,'-.В»)гзг?'- сила зоюь текущего чс!Юз
поперечное сечение трубйи. ог(жниченное радиусом г. Г!аале выполнения вычислений получаем найденное ранее выражение лля В»
Обьсмную плон?ость энергии в каха!ой из областей вычисляем по формуяач з —.1»пзг''2 = В 12я,юИмеем изиидюощие рппльтшы.
, —.а, и» вЂ” дг (ВЯ' »'К Я') 172»Я»' л; =,иг!В
Распознанный текст из изображения:
Обьемная плотность магнитного поля на внешней границе трубки с
з
внутрен~(ей стороны достигает 1бмДж,'и, а с внешней стороны— 4мДжт м, т.е. в 4 раза меньше. (Приблизигельные графики зт(г) см. на рис.) Это полностью согласуется с тем, 'по в формулах
: —. Шл, 11; г 2 а «, -- и,юд 12 (Прн ралсиотас Наиряжсиисетсй Мазинтного поля на границе) магнитная проницаемость Ш = ел Большая плотность энергии магнитного поля внутри трубки связана с большими затратамн на намагничивание материала трубки.
Вычислим энергию магнитного поля, прихоляшуюся на единицу длины кабеля (8=1м), используя объемную плотность энергии,
зя и
Л'-. (члг —.. ~ч,.2л гвкг'-~Ш 2 гад
Окончательно находим %'=ра1'Б(0,78+!п1,5У4к.=12мкДж, где первое слагаемое соответствует магнитной энергии внутри толспктенной трубки. второе слагаемое энергии магнитного поля в пространстве между внутренним и внешним проводниками кабеля. Зная энергию единицы длины кабеля с током. новою найти индук~увность единицы длины этого кабеля из формулы % — -Ы 12. Получаем: Е=)ий(0,78Чп1,5У2х=0,24мк! 'н
Магнитный поток через продольное сечение кабеля единичной длины находим вычислением интегралов
ЗЯ и
Ф = )В Ыг+ 1 Лзвтг =- Л,!Ц1,4 гЫ,5)! Ъг= Замхлц
и гю
Первое с~жгаемое соответствует магнитному потоку,создаваемому во внугреинем проволнике кабели, а второе — в пространстве между внутренней и внешней оболочками кабеля, Если вычислип индуктивность единичной длины кабеля через мшнитный поток !.=Фг), то получим 1; рсЬ(1,4.!п!,5у2в=О,ЗбмкГн завышенный неверный результат. Расхоягденис этих двух выражений для индукгнвности связано со слагаемым, относящимся к магнитному поло внутри толспзстенной трубки нз магнитного материала. Второй способ расчета нндуктнвности системы не учитывает потерю энергии, связанную о намагничиванием материала внутренней трубки кабели.
Литература
1.И.Е.Иродов. Законы электромагннтизма. М.1991г.
2.С.ГКалазлников. Элскзричсспю.М. ! 985г.
Начать зарабатывать