Лунёва Л.А., Тараненко С.Н., Голубев В.Г., Козырев А.В., Купавцев А.В. и др. - Электрическое поле в проводящей среде (1077811)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙУНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.Э.БАУМАНАЛ.А.Лунёва, С.Н.Тараненко, В.Г.Голубев, А.В.Козырев, А.В. Купавцев.Электростатика. Магнитостатика. Электромагнитнаяиндукция. Электрическое поле в проводящей среде.Методические указания к выполнению домашнего заданияпо курсу “Общая физика”.Издательство МГТУ им. Н.Э.БауманаАННОТАЦИЯна методические указания к выполнению домашнего задания по курсу“Общая физика” по темам: “Электростатика. Магнитостатика.Электрическое поле в проводящей среде. Электромагнитнаяиндукция.” авторов Л.А.Лунёвой, С.Н.Тараненко, В.Г.Голубева,А.В.Козырева, А.В.Купавцева.В методических указаниях изложены методы решения задач пофундаментальнымразделамкурсаобщейфизики“Электромагнитостатика.
Электрическое поле в проводящей среде.Электромагнитная индукция”. В каждом разделе приведенынеобходимые краткие теоретические сведения, содержащиефундаментальные утверждения в виде теорем или обобщений, атакже разобраны решения типовых задач, где показывается, как, помнению авторов, надо подходить к их решению.Методические указания предназначены для студентов второго курсатретьего семестра обучения всех специальностей и будут полезны дляуглублённого изучения указанных разделов курса общей физики.Под редакцией д.т.н., проф. А.М.
Макарова.21. ЭЛЕКТРОСТАТИКА1.1 Основные теоретические сведенияТеорема Гаусса для вектора напряженности электростатическогополя E в диэлектрике.Поле вектора E в диэлектрике обладает замечательным и важнымсвойством: поток вектора E сквозь любую замкнутую поверхность Sравен алгебраической сумме зарядов (как сторонних q , так и связанныхq ' ) , охватываемых этой поверхностью, делённой на ε 0 , т.е. 1'(E∫ , ds ) = (q + q ) ,(1.1)ε0Sгде вектор ds = nds, n − внешняя нормаль по отношению к объёму,охватываемому поверхностью S , а кружок у интеграла означает, чтоинтегрирование проводится по замкнутой поверхности S .
Уравнение(1.1)ивыражаеттеоремуГауссадлявекторанапряженностиэлектростатического поля Ε в диэлектрике.ДифференциальнаяформатеоремыГауссадлявекторанапряженности электростатического поля E в диэлектрике:div E =1ε0(ρ + ρ ' ) ,(1.2)где ρ и ρ ' − объёмные плотности сторонних и связанных зарядов в тойточке, где вычисляется div E . При использовании теорем (1.1) и (1.2) длявакуума следует учесть, что в этом случае q ' = ∫ ρ ' dV = 0 и ρ ' = 0 .VТеорема Гаусса для вектора поляризованности среды P : потоквектораP сквозь любую замкнутую поверхность S равен взятому собратным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объёме,охватываемом поверхностью интегрирования S , т.е.
'(P∫ , ds ) = − q .(1.3)S3ДифференциальнаяформатеоремыГауссадлявектораполяризованности среды P :div P = − ρ ' .(1.4)Общее выражение для оператора div в ортогональных криволинейныхсистемах координат приведено в приложении, расположенном в концеразработки.Если выразить заряд q ' через поток вектора P по формуле (1.3) иподставить его в уравнение (1.1), то выражение (1.1) можно преобразоватьк следующему виду:∫ ((ε0 E + P), ds ) = q .SВеличину, стоящую под интегралом во внутренних скобках, обозначаютбуквой D и называют вектором электрического смещения или простовектором D .
Таким образом, построен вспомогательный вектор D : D = ε 0 E + P,(1.5)поток которого через любую замкнутую поверхность S зависит только отстороннего заряда q, находящегося в объёме, ограниченном поверхностьюинтегрирования S .Теорема Гаусса для вектора электрического смещения D : потоквектора D сквозьалгебраическойпроизвольную замкнутую поверхность S равенсумместороннихзарядов,охватываемыхэтойповерхностью, т.е. (D∫ , ds ) = q.(1.6)sЗаметим, что вектор D представляет собой сумму двух совершенноразличных величин: ε 0 E и P.
Поэтому он действительно вспомогательныйвектор, не имеющий какого-либо глубокого физического смысла. Однако,свойство (1.6) поля вектора D оправдывает введение этого вектора: вомногих случаях он значительно упрощает изучение электрического поля вдиэлектриках [1].4ДифференциальнаяформатеоремыГауссадлявектораэлектрического смещения D :div D = ρ ,(1.7)т.е. дивергенция поля вектора D равна объёмной плотности стороннегозаряда в той же точке.Если диэлектрик линейный и изотропный, то вектор поляризованностидиэлектрикаP = ε 0ℵE ,(1.8)где ℵ − диэлектрическая восприимчивость вещества - скалярная величина,не зависящая от величины вектора напряжённости электрического поля.Подставив зависимость (1.8) в соотношение (1.5), получимD = ε 0 (1 + ℵ) E = ε 0εE.Безразмернуювеличину(1.9)называютε =1+ℵдиэлектрическойпроницаемостью диэлектрика.1.2.Методические рекомендации к решениюзадач по теме “Электростатика”.В условиях предлагаемых задач, как правило, задан (явно в виде qили неявно в виде разности потенциалов) сторонний заряд на обкладкахконденсатора.
Выбирая поверхность интегрирования в соответствии свидом симметрии каждой задачи, по теореме Гаусса (1.6) находим векторD в зависимости от пространственных координат, которые для каждогорассматриваемого случая могут быть различными:либо декартовы( x, y, z ) , либо сферические (r ,θ , ϕ ) , либо цилиндрические (r , ϕ , z ) . Нижебудемрассматриватьсферическисимметричныйслучай,поэтомуопределяемые величины будут зависеть только от одной пространственнойкоординаты – радиальной координаты r.5Далееизсоотношения(1.9)определяемзависимостьвекторанапряжённости электростатического поля E от радиальной координаты вдиэлектрике:D(r ).ε 0ε (r )E (r ) =(1.10)Вектор поляризованности P связан с вектором напряжённостиэлектростатического поля E соотношением (1.8), поэтомуP(r ) = ε 0 (ε (r ) − 1) E (r ) .(1.11)В результате поляризации среды в диэлектрике возникает объёмнаяплотность связанных зарядов ρ ' , которая определяется из соотношения(1.4).
Объёмная плотность избыточных связанных зарядов внутридиэлектрика будет равна нулю при одновременном выполнении двухусловий:1) диэлектрик должен быть однородным;2) внутри него не должно быть сторонних зарядов ( ρ = 0 ) [1].Внашемслучаенеоднородностьюρ =0,поэтомудиэлектрикаипоявлениеналичиемρ'обусловленонапряжённостиэлектрического поля между обкладками конденсатора.В результате поляризации среды на границе раздела диэлектриков или награнице раздела диэлектрик – вакуум могут появляться также иповерхностные связанные заряды.
Связь между поляризованностью средыP и поверхностной плотностью σ ' связанных зарядов на границе разделадиэлектриков имеет вид:P2 n − P1n = −σ ' ,(1.12)где P2 n и P1n - проекции вектора поляризованности P в диэлектриках 2 и 1на общую нормаль n к границе раздела в данном месте (вектор n проводятот диэлектрика 1 к диэлектрику 2). Из соотношения (1.12) следует, что награнице раздела диэлектриков нормальная составляющая вектора Pиспытывает разрыв, величина которого равна зависящей от свойств6диэлектриков поверхностной плотности σ ' связанных зарядов. Если среда2 является вакуумом, то условие (1.12) приобретает более простой вид:σ ' ( M ) = Pn ( M ) ,(1.13)где M − точка, находящаяся на поверхности диэлектрика, а Pn − проекциявектора P на нормальдиэлектрикомобласти.n , внешнюю по отношению к занятойЗнакпроекцииPnопределяетизнакповерхностной плотности σ ' связанного заряда в данной точке.Далее необходимо найти суммарный связанный заряд диэлектрика:q ' = ∫ ρ ' (V )dV + ∫ σ ' ( M )dS .V(1.14)SВ соотношении (1.14) первое слагаемое учитывает суммарный связанныйзаряд, распределенный по объёму диэлектрика, второе слагаемое суммарный связанный заряд, распределенный по всей поверхностирассматриваемого диэлектрика.
Заметим, что значение q ' в (1.14) должнобыть равно нулю. Этот факт используется для проверки полученныхрезультатов.Для нахождения электроёмкостиконденсатора необходимоCопределить разность потенциалов между обкладками:R0U = ϕ (R) − ϕ (R0 ) =∫ (E , dr ) .RТогда по определениюC=q,U(1.15)где заряд q соответствует поверхности конденсатора, потенциал которойравен ϕ (R) .Замечание.
Полученное значение электроёмкости C конденсатораопределено верно, если оно удовлетворяет соотношениюCU 2= ∫ wdV ,2V(1.16)7где ( E , D)w=− объёмная плотность энергии электростатического поля,2V − объём,вкоторомлокализованоэлектростатическоеполевконденсаторе.1.3.Пример выполнения домашнего заданияпо теме “Электростатика”.Задача. Радиусы внешней и внутреннейобкладок сферического конденсатора равны R0и R соответственно.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
