Лунёва Л.А., Тараненко С.Н., Голубев В.Г., Козырев А.В., Купавцев А.В. и др. - Электрическое поле в проводящей среде (1077811), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Заряд конденсатора равенq . Диэлектрическая проницаемость среды εмежду обкладками изменяется по законуε = f (r ), где r − расстояние от центра сфер(рис.1.1).Рис.1.1Найти распределение модулей векторов электростатического поля:электрического смещения D , напряжённости E и поляризованности P взависимости от радиальной координаты r ∈ ( R ; R0 ) .Определитьповерхностнуюплотностьсвязанныхзарядовнавнутренней σ 1' и внешней σ 2 ' поверхностях диэлектрика, распределениеобъёмной плотности связанных зарядов ρ ' (r ) и ёмкость C конденсатора.Выполнить проверку полученных результатов.Решение. Пусть заданы следующие зависимости:R0 3= ,R 1ε (r ) = R0 n /( R0 n + R n − r n ) ,n = 4.(1.17)Преобразуем зависимость для диэлектрической проницаемости ε (r ) сучётом заданного соотношения R0 = 3R :8ε (r ) =Расчёт(3R) 481R 4=(3R) 4 + R 4 − r 4 82 R 4 − r 4характеристик(1.18)электростатическогополяначнёмсопределения вектора электрического смещения D(r ) между обкладкамиконденсатора.Рис.1.2.Пусть сторонний заряд q > 0 равномерно распределён по внутреннейобкладке.
Воспользуемся теоремой Гаусса (1.6):∫ ( D, ds ) = q.SРассматриваемая задача обладает сферической симметрией, поэтомув качестве поверхности интегрирования S9выбираем сферическуюповерхность произвольного радиуса R < r < R0 с центром в началекоординат, которая на рис.1.2 изображена пунктиром.
Так как полевектора D сферически симметрично, то в каждой точке поверхности Sнаправление вектора D совпадает с направлением радиус-вектораrточки наблюдения (точка А на рис. 1.2) и направлением внешней нормалиn к элементу ds поверхности S ; заметим также, что модуль вектора D вкаждой точке выбранной произвольной поверхностиSявляетсяпостоянной величиной.
Поэтому из интегральной формулировки теоремыГаусса (1.6) для вектора D (D∫ , ds ) = ∫ Dn ds =q,sгдеsdΩ − элемент телесного угла, с учётомds = r 2 sin θ dθ dϕ = r 2 dΩ ,Dn = D(r ) ивынося D(r ) из под знака интеграла иS = r 2 Ω = r 2 4π ,выполняя интегрирование, получаемD(r )4π r 2 = q .Зависимость D(r ) определена:D(r ) =q,4π r 2( R < r < R0 ).(1.19)Найдём зависимость напряжённости E (r ) электростатического полямежду обкладками конденсатора. Связь напряжённости и электрическогосмещения для линейных, однородных и изотропных диэлектриков имеетвид (1.9):D = ε 0ε E ,откудаE (r ) =D (r )ε 0ε=q.4π r 2 ε 0 εС учётом соотношения (1.18) для диэлектрической проницаемости средыε (r ) зависимость E (r ) принимает вид:E (r ) =q (82 R 4 − r 4 ),324 πε 0 R 4 r 210( R < r < R0 ).(1.20)НайдёмзависимостьполяризованностиP(r )средымеждуобкладками конденсатора.
Для линейных и изотропных диэлектриковсвязь между векторами P и E имеет вид (1.8):P = ε 0ℵE ,откуда с учётом зависимости напряжённости электростатического поля отрадиальнойкоординатыполучаем(1.20)распределениеполяризованности среды P(r ) между обкладками конденсатораq (r 4 − R 4 ),P (r ) =324 π R 4 r 2( R < r < R0 ).(1.21)Заметим, что вектор поляризованности среды P совпадает с направлениемрадиус-вектора r , откуда следует, что тангенциальные проекции вектораP обращаются в нуль Pθ = 0, Pϕ = 0, а радиальная проекция Pr (r ) определеназависимостью (1.21).Рассмотрим вопрос об определении поверхностной плотностисвязанных зарядов на внутренней и внешней поверхностях сферическогослоя диэлектрика, расположенного между обкладками конденсатора. Поддействием электрического поля, созданного сторонними зарядами q и − q ,находящимися на обкладках конденсатора, диэлектрик поляризуется, и врезультатеполяризациинавнутреннейивнешнейповерхностяхдиэлектрика появляются связанные заряды.
Вопрос о возникновенииобъёмных избыточных связанных зарядов рассмотрим ниже.Для определения поверхностной плотности связанных зарядов навнутренней и внешней поверхностях сферического слоя диэлектрика,расположенногосоотношениеммежду(1.13).обкладкамиВконденсатора,рассматриваемойзадачевоспользуемсянавнутреннейповерхности (обозначим её индексом 1) диэлектрика векторы P1 ( R + ) и n1 влюбой точке поверхности направлены противоположно (рис.1.2), поэтомузнакполяризационногозарядаотрицательный,чтоестественносогласуется с механизмом поляризации диэлектрика. В данном примере11для заданной зависимости ε (r ) имеем ( P1 ( R + )) n = 0 , откуда следует, что1поверхностная плотность связанных зарядов равна нулю: σ 1' = 0 .
Навнешней поверхности 2 диэлектрика векторы P1 ( R0− ) и n2 в любой точкеповерхностисонаправлены,поэтомузнакпроекции( P1 ( R0− )) n 2положительный, а поверхностная плотность связанных зарядов отличнаот нуля:σ 2 ' = ( P1 ( R0− )) n =220q.729πR 2(1.22)Для нахождения объёмной плотности ρ ' избыточных связанныхзарядов внутри сферического слоя диэлектрика между пластинамиконденсатора воспользуемся теоремой Гаусса (1.4) для поля вектора P вдифференциальной форме:div P = − ρ ' ,т.е.
дивергенция поля вектора P равна с обратным знаком объёмнойплотности ρ ' избыточного связанного заряда в той же точке.Врассматриваемойзадачемеждуобкладкамиконденсаторанаходится изотропный, но неоднородный диэлектрик, диэлектрическаяпроницаемость которого изменяется только в радиальном направлении позакону (1.18):81R 4ε (r ) =,82 R 4 − r 4где r − расстояние от центра сфер. Заметим, что вектор поляризованностисреды P имеет единственную отличную от нуля компоненту Pr , котораязависит только от радиальной координаты r . В этих условиях естественноожидать, что и объёмная плотность избыточного связанного зарядавнутри слоя диэлектрика будет также функцией только радиальнойкоординаты r .12Для расчёта объёмной плотности связанных зарядов ρ ' с помощьютеоремы (1.4) воспользуемся выражением (5.2) из приложения дляоператора div применительно к сферическим координатам:div P =1 ∂ 21∂1 ∂Pϕθ()+(sin)+rPP.θrr 2 ∂rr sin θ ∂θr sin θ ∂ϕ(1.23)Из соображений симметрии ясно, что поляризованность диэлектрика вданном случае зависит только от радиальной координаты и не зависит отугловых координат, и это подтверждено результатами расчётов (1.21),поэтому у нас в правой части выражения (1.23) остаётся только первоеслагаемое:div P =1 ∂ 2(r Pr ) .r 2 ∂r(1.24)При вычислении производной в правой части соотношения (1.24) учтём,что Pr (r ) = P(r ) , а зависимость P(r ) определена соотношением (1.21).
Тогдадля дивергенции вектора поляризованности среды имеем:divP =qr,81π R 4откуда в соответствии с (1.4) для объёмной плотности связанных зарядовρ ' получаемρ ' (r ) = −qr.81π R 4(1.25)Сделаем проверку полученных результатов. Для этого найдёмсуммарный связанный заряд диэлектрика по зависимости (1.14), используяпри расчётах найденные соотношения (1.25) и (1.22) для объёмной ρ ' (r ) иповерхностной σ ' (r ) плотностей связанного заряда:R0qr 20q q = ∫−4π r 2 dr + ∫ ds .4 2 81πR Rs 729πR '(1.26)В (1.26) первое слагаемое в правой части учитывает суммарный связанныйзаряд, распределённый по объёму диэлектрика, второе слагаемое суммарныйсвязанныйзаряд,распределённыйспостояннойповерхностной плотностью σ 2 ' по внешней сферической поверхности13диэлектрика радиуса R0 = 3R .
Здесь также учтено, что на внутреннейповерхности диэлектрика в данной задаче связанный заряд отсутствует.Проведём расчёт по формуле (1.26):q (3R ) 4R 4 20qq' = −4π−+( 4π (3R ) 2 ) = 0.4 24 729πR 81πR 4Этоподтверждает,чтозависимостиE (r ), D (r ), P (r ), σ 1 (r ), σ 2 (r ), ρ ' (r )''найдены верно.Найдём электроёмкость C сферического конденсатора с радиусамиобкладок R и R0 . Согласно определению ёмкости конденсатора ( C =q)Uзадача сводится к определению разности потенциалов U при заданномзаряде q :R0U = ϕ ( R ) − ϕ ( R0 ) = ∫ E r (r )dr ,(1.27)Rгде предполагается, что внутренняя обкладка имеет заряд q > 0 , а путьинтегрирования может быть любым, и мы выбираем самый простой иудобный – по радиальной координате.
Легко видеть, что радиальнаяпроекция вектора напряжённости электрического поля Er (r ) = E (r ) являетсяединственной проекцией вектора напряжённости электростатическогополя, а зависимость E (r ) определена соотношением (1.20). Послеподстановки зависимости (1.20) для E (r ) в соотношение (1.27) исоответствующегоинтегрированиянаходимнапряжениемеждуобкладками конденсатора и его ёмкостьU=23q,162πε 0 RC=162πε 0 R.23(1.28)Полученное значение электроёмкости C сферического конденсатораопределено верно, если оно удовлетворяет соотношению (1.16)CU 2= ∫ wdV ,2V14CU 2− энергия заряженного конденсатора, а в правой части - эта же2 ( E , D)величина, только она записана через полевые характеристики: w =−2гдеобъёмная плотность энергии электростатического поля, V − объём, вкотором локализовано электростатическое поле в конденсаторе.
Итак,проверим, удовлетворяет ли полученное значение C соотношению (1.16).Используя зависимости (1.19) и (1.20) для D(r ) и E (r ) и выполняясоответствующее интегрирование в правой части (1.16), получим:∫ wdV =V3Rq q(82 R 4 − r 4 )23q 224rdr=.π∫R 4πr 2 324πε 0 R 4 r 4324πε 0 R.Располагая зависимостями (1.28) для разности потенциалов UиCU 2электроёмкости C , вычисляем значениеи убеждаемся в равенстве2правой и левой частей соотношения (1.16). Это позволяет утверждать, чтополученнаязависимостьдляэлектроёмкостиконденсатора найдена правильно.15Cсферического2.МАГНИТОСТАТИКА2.1.Основные сведения по теорииТеорема о циркуляции вектора магнитной индукции B вмагнетике: циркуляция вектора B по любому замкнутому контуру Lравна алгебраической сумме токов (как токов проводимости I , так и токовнамагничиванияI ' ),пронизывающихпроизвольнуюповерхность,натянутую на контур L , т.е. '(B∫ , d ) = µ 0 ( I + I ).(2.1)LТок считается положительным, если его направление связано снаправлением d обхода по контуру правилом правого винта, токпротивоположного направления считается отрицательным.Теорема о циркуляции вектора намагниченности J : циркуляциявектора J по любому замкнутому контуру L равна алгебраической сумметоков намагничивания I ' , пронизывающих произвольную поверхность,натянутую на контур L , т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
