Лунёва Л.А., Тараненко С.Н., Голубев В.Г., Козырев А.В., Купавцев А.В. и др. - Электрическое поле в проводящей среде (1077811), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

∫ ( J , d ) = I ,'(2.2)LгдеI '− суммарныйтокнамагничивания(какобъёмный,такиповерхностный).Дифференциальная форма теоремы о циркуляции векторанамагниченности J :rot J = j ' ,(2.3)т.е. ротор вектора намагниченности J равен объёмной плотности токанамагничивания j ' в той же точке пространства. Общее выражение дляоператора rot в ортогональныхкриволинейных системах координатприведено в приложении (см. формулу (5.3)), расположенном в концеразработки.Исключив в (2.1) ток I ' с помощью (2.2), сформируем векторнапряжённости магнитного поля16 BH=− J,µ0циркуляция которого по любому замкнутому контуру L зависит только оталгебраическойсуммытоковпроводимостиI,пронизывающихпроизвольную поверхность, натянутую на контур L : (H∫ , d ) = I .(2.4)LЗаметим, что практически воспользоваться соотношениями (2.1) и(2.4) можно только, если рассматриваемая физическая ситуация обладаетдостаточно высокой степенью симметрии.Если магнетиклинейный и изотропный, то имеют местозависимости для вектора намагниченности средыJ = χH ,где χ − магнитная восприимчивость вещества (она не зависит от векторанапряжённости магнитного поля H ), и вектора магнитной индукции:B = µ 0 (1 + χ ) H = µ 0 µ H ,(2.5)где µ − магнитная проницаемость магнетика иχ = µ −1.Последнее соотношение имеет место только для таких магнетиков,у которых однородная зависимость между вектором намагниченности J ивектором H имеет линейный характер.

Магнитная восприимчивость χ –безразмерная величина, характерная для каждого данного магнетика. Вотличиеотдиэлектрическойвосприимчивостиℵ,котораявсегдаположительна, магнитная восприимчивость бывает как положительной, таки отрицательной. Соответственно магнетики, подчиняющиеся зависимостиJ = χ H , подразделяют на парамагнетики ( χ > 0) и диамагнетики ( χ < 0) .Упарамагнетиковвекторнамагниченностипараллеленвекторунапряжённости магнитного поля J ↑↑ H , у диамагнетиков эти векторынаправлены антипараллельно J ↑↓ H . Кроме пара- и диамагнетиковсуществуют ферромагнетики, у которых зависимость17 J (H ) имеет весьмасложный характер: она нелинейная и, помимо этого, может описыватьявление гистерезиса [1].2.2.Методические рекомендации к решению задачпо теме “Магнитостатика”.В условиях предлагаемых задач задан ток проводимости I илираспределение объёмной плотности j тока проводимости по поперечномусечению рассматриваемого устройства, магнитное поле в которомподлежит исследованию.

Выбирая в соответствии с видом симметрииконкретной задачи контур, по которому вычисляется циркуляция, изсоотношения(2.4)находим распределение векторанапряжённостимагнитного поля H , а по соотношению (2.5) определяем распределениевектора магнитной индукции B по пространственным координатам. Векторнамагниченности J имеет вид:J = ( µ − 1) H .(2.6)В силу зависимостей (2.5) и (2.6) векторы магнитной индукции B инамагниченностисредыJпараллельнывекторунапряжённостимагнитного поля H .

Таким образом, полевые характеристики магнитногополя определены.Плотность тока намагничивания j ' , распределённого по объёмумагнетика, находим из дифференциальной формы теоремы (2.3) оциркуляции вектора намагниченности J . Плотность поверхностных токовнамагничивания, текущих по поверхности раздела магнетиков, находим спомощьютеоремы (2.2) о циркуляции вектора намагниченностиJ.Специфика применения этой теоремы к данному вопросу будет подробнорассмотрена ниже применительно к конкретной задаче, т.к.

выбор контураинтегрирования L зависит от типа симметрии и от условий задачи.182.3.Пример выполнения домашнего заданияпо теме “Магнитостатика”.Задача. Проводник с током, равномерно распределённым по егоимеет форму трубкипоперечному сечению и имеющим плотность j ,круглого поперечного сечения, внешний и внутренний радиусы которойравны R0 и R соответственно. Магнитная проницаемость магнетика заданазависимостью µ = f (r ) , где r − расстояние от оси трубки (рис.2.1).Рис.2.1Найти зависимости модулей векторов индукции B и напряжённости Hмагнитного поля, а также модуля вектора намагниченности J среды взависимости от радиальной координаты r ∈ ( R ; R0 ) .Определитьлинейнуюплотностьповерхностныхтоковнамагничивания i ' пов на внутренней и внешней поверхностях трубки ираспределение объёмной плотности токов намагничивания j ' об (r ) .Решение.

Пусть для определённости заданы следующие зависимости:R0 3= ,R 2µ=n = 2,(R n + r n ).2R n(2.7)(2.8)Преобразуем зависимость для магнитной проницаемости µ (r ) с учётомзаданного соотношения (2.7):19µ=1r2+.2 2R 2(2.9)Рис.2.2Найдём вектор напряжённости H магнитного поля внутри трубки.По условию задачи вектор объёмной плотности тока проводимости jпараллелен оси трубки (рис.2.2). Из симметрии задачи следует, чтосиловые линии вектора H в рассматриваемом случае должны иметь видокружностей с центром на оси трубки и лежащих в плоскости поперечногосечения трубки [1]. Модуль вектора H должен быть одинаков во всехточках на одинаковом расстоянии r от оси трубки. Для определениянапряжённости поляHвнутри трубки воспользуемся теоремой оциркуляции вектора H (2.4): ∫ ( H , d ) = ∫ ( j , ds ).LS20В качестве контура интегрирования L выбираем одну из описанныхвыше окружностей радиуса rа ∈ ( R ; R0 ) , в каждой точке которой вектор Hкасателен к ней.

Направления вектора j и вектора единичной нормали n кплоскости, ограниченной контуром L , совпадают, причём направление nсвязано с направлением обхода по контуру (на рис.2.2 показано дугой сострелкой) правилом правого винта. По теореме о циркуляции вектора Hдля контура L получаем:H 2 π ra =j (π ra2− πR2) ,откуда, опуская индекс a (так как ra выбран произвольно, то последнеесоотношение справедливо для любогодляR < r < R0 ),величинынапряжённости магнитного поля H получаемj (r 2 − R 2 )H=,2rR < r < R0 .(2.10)Следует заметить, что магнитное поле внутри трубки при r < Rотсутствует, а снаружи - при r > R0 - величина напряжённости магнитногополя H определяется зависимостью5 jR 2H=,8rr > R0 ,(2.11)что также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора H .Отметим, что при переходе через r = R0 напряжённость магнитного поля Hне испытывает скачка.Определим модуль вектора магнитной индукции B по соотношению(2.5) с учётом зависимостей (2.10) для Hи (2.8) для магнитнойпроницаемости µ (r ) магнетика:B = µµ 0 H =µ 0 j(r 4 − R 4 )4R 2r,R < r < R0 .(2.12)В рассматриваемой задаче магнетик неоднородный, но линейный иизотропный,поэтомуJ =связьχ H,гдеχ − магнитнаявосприимчивость вещества, остаётся справедливой.

Итак, значение21Br ∈ ( R ; R0 )определеносоотношением (2.12), а снаружи при r > R0 зависимостьвеличинымагнитной индукциивнутри трубки примагнитной индукции от радиальной координаты B(r ) принимает вид:B = µ0 H =5µ 0 jR 2.8rНайдём модуль вектора намагниченности J при r ∈ ( R ; R0 ) посоотношению (2.6):J = χH = ( µ − 1) H =j (r 2 − R 2 ) 2.4R 2 r(2.13)Намагниченность J снаружи трубки при r > R0 равна нулю, так как вэтой областимагнетик отсутствует и χ = 0 . Внутри трубки при r < Rнамагниченность J тоже равна нулю по этой же причине. Ориентация векторов H , B и J в пространстве показана на рис. 2.2.Таким образом, полевые характеристики магнитного поля внутритрубки при r ∈( R ; R0 ) и снаружи при r > R0 определены, а при r < Rмагнитное поле отсутствует.Плотность тока намагничивания j ' , распределённого по объёмумагнетика, найдём, используя дифференциальную форму теоремы оциркуляции вектора намагниченности J (2.3):rot J = j ' ,а выражение для оператораrotприменительно к цилиндрическимкоординатам выпишем из приложения:1  ∂Jrot J =  z −r  ∂ϕ∂ ( rJ ϕ )   ∂J r ∂J z  1  ∂ ( rJ ϕ ) ∂J re r + −−eϕ + ∂z ∂r r  ∂r∂ϕ ∂ze z .Легко видеть, что в рассматриваемом примере J r = J z = 0 и(2.14)∂J ϕ∂z= 0,поэтому в правой части формулы (2.14) только в составляющей по оси Zостаётся первое слагаемое( rot J ) z =1 ∂ ( rJ ϕ ).r ∂r22Подставляя в последнее соотношение зависимость проекции векторанамагниченности среды J ϕ от радиальной координаты по формуле (2.13) ивыполняя соответствующие операции, для проекции вектора плотноститока намагничивания ( j ' ) z имеем:1 ∂  j (r 2 − R 2 ) 2r( j ')z =r dr 4R 2 r  r2 =  2 − 1 j. R(2.15)Следует заметить, что правая часть (2.15) в области r ∈( R ; R0 )является величиной положительной и для рассматриваемого случая, еслиJ ↑↑ H (для парамагнетика), векторы плотности тока проводимости j иобъёмной плотности тока намагничивания j ' совпадают по направлению.Дляопределениянамагничиваниялинейнойвоспользуемсяплотноститеоремойповерхностныхоциркуляциитоковвекторанамагниченности J (2.2): '(J∫ , d ) = I .LПрименим теорему о циркуляции вектора J к бесконечно маломуконтуру ABCD (рис.2.3), расположенному в плоскости, перпендикулярнойоси Oz.

Криволинейные отрезки контура AB и CD представляют собойдуги окружностей радиусов R0+ и R0− , а прямолинейные отрезки контура BCи DA пренебрежимо малы по сравнению с длинами отрезков AB и CDконтура. Тогда при вычислении тока намагничивания I ' в правой частисоотношения (2.2), который пронизывает элементарную площадку,ограниченную этим контуром, можно не учитывать ток, распределённыйпо объёму магнетика, т.к. его вклад врассматриватьтолькоповерхностныйI'токлинейной плотности которого обозначим iпов' .пренебрежимо мал, анамагничивания,векторПо этой же причине (вобщем случае) можно пренебречь вкладом в циркуляцию вектора J побоковым сторонам BC и DA, а в условиях нашей конкретной задачи23 ещёипопричинеортогональностивекторовJиdlв(J,dl)=(J,dl)=0∫∫BCDAкаждой точке отрезков BC и DA контура.Рис.2.3Учитывая значимость данного вопроса, целесообразно подробнопроанализировать ориентацию единичных векторов нормали и касательныхнаправлений на поверхности раздела магнетиков для описываемой задачи(см.

Характеристики

Список файлов книги