Шпоры (1077616)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1. Что называют:

Случайное испытание – эксперимент, исход которого нельзя определить однозначно условиями проведения опыта. Элементарное событие (элементарный исход) – любой простейший (т. е. неделимый в условиях данного опыта) исход опыта. Элементарные события являются взаимоисключающими. Пространство элементарных событий (исходов) – множество всех элементарных исходов.Событием называют любой набор элементарных исходов, т. е. произвольное подмножество пространства элементарных исходов.

2. Дайте определение вероятности по Лапласу (комбинаторное определение).

Вероятностью события A называют отношение числа N_A благоприятствующих событию A элементарных исходов к общему числу N равновозможных элементарных исходов, т. е. . Данное определение вероятности события принято называть классическим определением вероятности.

Свойства: 1) ; 2) для достоверного события ; 3) если события A и B несовместны (AB = ), то .

3. Дайте геометрическое определение вероятности. Что общего между геометрическим определением вероятности и определением вероятности по Лапласу?

Вероятностью события A называют число P(A), равное отношению меры множества A к мере множества : . Геометрическая вероятность сохраняет свойства вероятности P(A) в условиях классической схемы.

4. Дайте аксиоматическое (по Колмогорову) определение вероятности.

Пусть каждому событию A (т. е. подмножеству A пространства элементарных исходов ) поставлено в соответствие число P(A). Числовую функцию P называют вероятностью (или вероятностной мерой), если она удовлетворяет следующим аксиомам:

1)аксиома неотрицательности:

2)аксиома нормированности:

3)расширенная аксиома сложения: для любых попарно несовместных событий A₁,…,A_n,… справедливо равенство: P(A₁+…+A_n+…) = P(A₁)+…+P(A_n)+…

Значение P(A) называют вероятностью события A.

5. Используя аксиоматическое (по Колмогорову) определение вероятности, докажите утверждения.

Вероятность удовлетворяет следующим свойствам:

1)Вероятность противоположного события:

2)Вероятность невозможного события: P() = 0.

3)Если , то

4)Вероятность заключена между 0 и 1:

5)Вероятность объединения двух событий:

6)Вероятность объединения любого конечного числа событий:

Док. Поскольку , то, согласно расширенной аксиоме сложения, , откуда с учетом аксиомы нормированности получаем утв. 1. Утв. 2 вытекает из равенства A = A +  и расширенной аксиомы сложения. Пусть . Тогда B = A + (B\A). В соответствии с расширенной аксиомой сложения P(B) = P(A) + P(B\A). Отсюда и из аксиомы неотриц. приходим к утв. 3. В частности, так как всегда , то с учетом аксиомы неотриц. получаем утв. 4. Поскольку , , то, используя расширенную аксиому сложения, находим и . Подставляя в первое из последних двух равенств вероятность P(B\A), выраженную из второго равенства, приходим к утв. 5. Утв. 6 можно доказать с помощью метода матем. индукции. Так, для трех событий A, B и С:

6. Дайте определение условной вероятности. Как связаны условная и безусловная вероятности? Что понимают под теоремой умножения вероятностей?

Условной вероятностью события A при условии (наступлении) события B называют отношение вероятности пересечения событий A и B к вероятности события B: . При этом предполагают, что . Условная вероятность P(A|B) обладает всеми свойствами безусловной вероятности P(A).

Теорема умножения вероятностей. Пусть событие A=A₁A₂…A_n (т. е. A – пересечение событий A₁, A₂,…, A_n) и P(A)>0. Тогда справедливо равенство: P(A) = P(A₁) P(A₂|A₁) P(A₃|A₁A₂) … P(A_n|A₁A₂,,,A_n-1), называемое формулой умножения вероятностей.

7.Дайте определение:

События A и B, имеющие ненулевую вероятность, называют независимыми, если условная вероятность A при условии B совпадает с безусловной вероятностью A или если условная вероятность B при условии A совпадает с безусловной вероятностью B, т. е. P(A|B) = P(A) или P(B|A) = P(B). В противном случае события А и B называют зависимыми.

Предположим, что в результате опыта может произойти одно из n событий H₁, H₂, …, H_n, которые удовлетворяют следующим условиям:

1)они являются попарно несовместными, т. е. H_iH_j =  при

2)их объединение есть достоверное событие: .

События H₁,…,H_n называются гипотезами. Если события удовлетворяют второму из этих условий, то их совокупность называют полной группой событий.

8. Выведите формулу полной вероятности.

Пусть для некоторого события А и гипотез H₁, …, H_n известны P(H₁), …, P(H_n), которые положительны, и P(A|H₁),…, P(A|H_n). Тогда безусловную вероятность P(A) определяют по формуле: P(A) = P(H₁)P(A|H₁)+…+P(H_n)P(A|H_n), которую называют формулой полной вероятности.

Док-во .Представим событие A в виде: A=A=A(H₁+…+H_n)= AH₁+…+AH_n. С учетом того, что события AH_i несовместны для i=1…n, имеем: P(A)=P(AH₁)+…+P(AH_n). В соответствии с формулой умножения вероятностей получаем: P(AH₁)=P(H₁)P(A|H₁), … , P(AH_n)=P(AH_n)P(A|H_n). Поэтому P(A) = P(H₁)P(A|H₁)+…+P(H_n)P(A|H_n).

9. Получите формулу Байеса.

Пусть для некоторого события A, P(A)>0, и гипотез H₁, …, H_n известны P(H₁), …, P(H_n) (P(H_i)>0, i=1…n) и P(A|H₁), …, P(A|H_n). Тогда условная вероятность P(Hi|A), i=1…n, гипотезы Hi при условии события A определяется формулой Байеса: .

Док-во. Согласно определению условной вероятности (см. вопрос 6), . Выражая теперь по формуле умножения вероятностей P(AH_i) через P(A|H_i) и P(H_i), получаем P(AH_i)=P(H_i)P(A|H_i). Поэтому . Подставляя вместо вероятности P(A) ее значение, вычисленное в соответствии с формулой полной вероятности (см. вопрос 8), приходим к утверждению теоремы.

10. Дайте определение независимых испытаний. Что понимают под схемой Бернулли?

Независимые испытания – вероятность успеха в k-м испытании не зависит от исходов всех испытаний до k-го.

Схемой Бернулли (или последовательностью независимых одинаковых испытаний, или биномиальной схемой испытаний) называют последовательность испытаний, удовлетворяющую следующим условиям:

1)при каждом испытании различают лишь два исхода: «успех» (появление события А) и «неудача»

2)испытания являются независимыми

3)вероятность успеха во всех испытаниях постоянна и равна P(A) = p. Вероятность неудачи обозначим q=1-p.

11. Докажите, что при n испытаниях по схеме Бернулли вероятность P_nm того, что ровно m из них будут успешными, определяется равенством: .

Док-во. Пространство элементарных исходов  состоит из 2ⁿ исходов, каждый из которых отождествляется с определенной последовательностью УНН...У. P() = P(УНН...У). В силу независимости испытаний события У, Н, Н,..., У являются независимыми, поэтому по теореме умножения вероятностей имеем: P() = pⁱ q^n-i, если успех имел место i раз. Событие A_m происходит всякий раз, когда реализуется элементарный исход , в котором i=m. Вероятность любого такого элементарного исхода равна p^m q^n-m. Число таких исходов совпадает с числом способов, которыми можно расставить m букв «У» на n местах, не учитывая порядок, в котором их расставляют. Число таких способов равно . Так как A_m есть объединение (сумма) всех указанных элементарных исходов, то окончательно получаем для вероятности P(A_m) = P_nm данную в условии формулу.

12. Проводятся n испытаний по схеме Бернулли и . Докажите, что:

1.

2. - вероятность того, что число успешных испытаний не превосходит , но больше m₁, где .

1. ;

2.

13. Дайте определение скалярной случайной величины, сформулируйте и докажите основные свойства ее функции распределения.

Случайной величиной называется числовая величина, значение которой зависит от того, какой именно элементарный исход произошел в результате эксперимента.

Скалярную функцию X(), заданную на пространстве элементарных исходов, называют случайной величиной, если для любого xR {: X()<x} – множество элементарных исходов, для которых X()<x является событием.

Функцией распределения (вероятностей) случайной величины X называют функцию F(x), значение которой в точке x равно вероятности события {X<x}, т. е. события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов , для которых X()<x: F(x)=P{X<x}.

Функция распределения удовлетворяет следующим свойствам:

1.

2. при x₁<x₂ (F(x) – неубывающая функция)

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ответов (шпаргалок)