Шпоры (1077616), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

3.

4.

5. , где (F(x) – непрерывная слева функция)

Док-во. Поскольку значение функции распределения в любой точке x является вероятностью, то из свойства 4 вероятности (см. вопрос 5) вытекает утв. 1. Если x₁<x₂, то событие {X<x₁} включено в событие {X<x₂} и, согласно свойству 3, , т. е. в соответствии с определением функции распределения выполнено утв. 2. Пусть x₁,…, x_n,… - любая возрастающая посл-ть чисел, стремящаяся к +. Событие {X<+}, с одной стороны, является достоверным, а с другой стороны представляет собой объединение событий {X<x_n}. Отсюда в силу аксиомы непрерывности следует второе равенство в утв. 3. Аналогично доказывается и первое равенство. Событие {X<x₂} при x₁<x₂ представляет собой объединение двух непересекающихся событий: {X<x₁} – случайная величина X приняла значение, меньшее x₁, и - случайная величина X приняла значение, лежащее в промежутке [x₁, x₂). Поэтому в соответствии с аксиомой сложения получаем утв. 4. Наконец, пусть x₁,…,x_n,… - любая возрастающая посл-ть чисел, стремящаяся к x. Событие {X<x} является объединением событий {X<x_n}. Снова воспользовавшись аксиомой непрерывности, приходим к утв. 5.

14. Что называют дискретной случайной величиной? Сформулируйте и докажите утверждение о виде функции распределения дискретной случайной величины.

Случайную величину Х называют дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно.

Рядом распределения (вероятностей) дискретной случайной величины Х называют таблицу, состоящую из двух строк: в верхней строке перечислены все возможные значения случайной величины, а в нижней – вероятности p_i=P{X=x_i} того, что случайная величина примет эти значения.

Функция распределения дискретной случайной величины является кусочно-постоянной функцией, принимающей на промежутке (-, x₁] значение 0, на промежутках (x_i, x_i+1], 1i<n, - значения p₁+…+p_i и на промежутке (x_n, +) – значение 1.

Доказательство. Пусть Х – дискретная случайная величина, заданная своим рядом распределения, причем значения x₁,…, x_n расположены в порядке возрастания. Тогда для всех xx₁ событие {X<x} является невозможным и поэтому в соответствии с определением функции распределения F(x)=0. Если x₁<xx₂, то событие {X<x} состоит из тех и только тех элементарных исходов , для которых X()=x₁, и, следовательно, F(x)=p₁. Аналогично при x₂<xx₃ событие {X<x} состоит из элементарных исходов , для которых либо X()=x₁, либо X()=x₂, т.е. {X<x}={X=x₁}+{X=x₂}, а следовательно, F(x)=p₁+p₂ и т. д. Наконец, при x>x_n событие {X<x} достоверно и F(x)=1.

15. Дайте определение непрерывной скалярной случайной величины и сформулируйте основные свойства ее плотности распределения вероятностей.

Непрерывной называют случайную величину X, функцию распределения которой F(x) можно представить в виде: . Функцию p(x) называют плотностью распределения (вероятностей) случайной величины X. .

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1)p(x)0

2) ;3) ;4) ;5)

16. Что называют функцией Лапласа и какими свойствами она обладает?

- интеграл (функция) Лапласа – функция стандартного нормального (гауссова) распределения (m=0, =1).

, (- < m < +, >0) – плотность норм. распределения.

- функция нормального распределения.

18. Выведите понятие n-мерного случайного вектора и сформулируйте основные свойства его функции распределения.

Совокупность случайных величин X₁=X₁(), …, X_n=X_n(), заданных на одном и том же вероятностном пространстве , называют многомерной (n-мерной) случайной величиной, или n-мерным случайным вектором. При этом сами случайные величины X₁, X₂, …, X_n называют координатами случайного вектора.

Функцией распределения (вероятностей) F(x₁, …, x_n) = F_{X1, …, Xn}(x₁, …, x_n) n-мерного случайного вектора (X₁, …, X_n) называют функцию, значение которой в точке (x₁, …, x_n)  Rⁿ равно вероятности совместного осуществления (пересечения) событий {X₁<x₁}, …, {X_n<x_n}, т.е. F(x₁, …, x_n) = F_{X1, …, Xn}(x₁, …, x_n) = P(X₁<x₁, …, X_n<x_n}.

В частности, при n=2 имеем двумерную функцию распределения.

Свойства двумерной функции распределения:

1)0  F(x₁, x₂)  1

2)F(x₁, x₂) – неубывающая функция по каждому из аргументов x₁, x₂

3)F(-, x₂) = F(x₁, -) = 0

4)F(+, +) = 1

5)P{a₁X₁b₁, a₂X₂b₂} = F(b₁, b₂) – F(b₁, a₂) – F(a₁, b₂) + F(a₁, a₂)

6)F(x₁, x₂) – непрерывная слева в любой точке (x₁, x₂)  R² по каждому из аргументов x₁, x₂ функция

7)F_{X1, X2}(x, +) = F_X1(x), F_{X1, X2}(+, x) = F_X2(x)

19. Что называют дискретным случайным вектором? Сформулируйте и докажите утверждение о виде функции распределения дискретного случайного вектора.

Двумерную случайную величину (X, Y) наз. дискретной, если каждая из случайных величин X и Y является дискретной (см. вопрос 14).

p_ij = P{X=x_i, Y=y_j} – вероятность совместного осуществления событий {X = x_i} и {Y = y_j}. Совместная функция распределения получается суммированием pij по всем значениям i и j, для которых x_i<x, y_j<y, т. е.

. Док-во следует из док-ва для одномерной СВ.

20. Дайте определение непрерывного случайного вектора. Сформулируйте и докажите основные свойства его плотности распределения вероятностей.

Непрерывной двумерной случайной величиной (X, Y) называют такую двумерную случайную величину (X, Y), совместную функцию распределения которой F(x₁, x₂) = P{X<x₁, Y<x₂} можно представить в виде сходящегося несобственного интеграла: . Функцию p(x₁, x₂) = p_X,Y(x₁, x₂) называют совместной (двумерной) плотностью распределения случайных величин X и Y, или плотностью распределения случайного вектора (X, Y). .

Двумерная плотность распределения обладает следующими свойствами:

1)p(x1, x2)  0

2)

3)

3)

4)

5)

6)

7)

Док-во. Свойства 1­ – 5 аналогичны свойствам одномерной плотности распределения. Свойство 6 является обобщением свойства 2. Докажем утверждения 7 и 8. Из свойства 7 двумерной функции распределения (см. вопрос 18) и определения двумерной плотности распределения вытекает:

, ,

откуда, дифференцируя интегралы по переменному верхнему пределу и учитывая, что , получаем утверждение 7 для одномерных плотностей распределения p_X(x) и p_Y(y) случайных величин X и Y.

21. Что понимают под функцией случайных величин? Сформулируйте и решите задачу о нахождении закона распределения функции случайных величин (общий случай).

Случайную величину Y, которая каждому элементарному исходу  ставит с соответствие число Y() = Y(X()), называют функцией Y(X) (скалярной) от скалярной случайной величины X. Функция Y = Y(X) от дискретной случайной величины также является дискретной случайной величиной, поскольку она не может принимать больше значений, чем случайная величина X. Функция Y = Y(X) от непрерывной случайной величины X может быть как непрерывной, так и дискретной.

Сформулируем правило определения функции распределения F_Y(y) по заданной плотности распределения p_X(x). FY(y) - вероятность события {Y<y}, состоящая из тех элементарных исходов , для которых Y(X()) < y. Для этих же элементарных исходов  случайная величина X() будет принимать свои возможные значения на некоторой совокупности {_k}, k=1,2,…, непересекающихся промежутков числовой прямой R, т. е. событие {Y(X()) < y} эквивалентно событию , и, следов, по расширенной аксиоме слож. вер-тей . Зная плотность распределения p_X(x) случайной величины X, имеем: , а следовательно, учитывая свойство аддитивности определенного интеграла, получаем: , где сумма может быть и бесконечной. Поскольку совокупность промежутков {_k} определена как множество тех значений случайной величины X(), для которых Y(X()) < y, то для множества , по которому ведется интегрирование, принято обозначение: Y(x) < y. Окончательно получаем: .

23. Дайте определение независимых случайных величин. Каким основным свойством обладает совместный закон распределения независимых случайных величин?

Независимые случайные величины – по значению одной случайной величины нельзя судить о значении другой.

Случайную величину Y = Y(X₁, X₂) = Y(X₁(), X₂()) называют функцией (скалярной) от двумерной случайной величины. p_ij = P{X₁=x_1i, X₂=x_2j}. Функция распределения: .

Если X₁ и X₂ независимыми случайными величинами, т. е. p_X1,X2(x₁, x₂) = p_X1(x₁) p_X2(x₂), а случайная величина Y=X₁+X₂ . Тогда Y(x₁, x₂) = x₁+x₂, по формуле функции распределения находим: .

Плотность распределения суммы X₁ и X₂: .

В этом случае говорят, что плотность распределения случайной величины Y является сверткой (композицией) плотностей распределения слагаемых X₁ и X₂. Соотношение условно записывается в виде: p_Y = p_X2 * p_X!.

24. Что называют математическим ожиданием скалярной функции случайных величин? Сформулируйте и докажите основные свойства математического ожидания.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)