Шпоры (1077616), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Математическим ожиданием (средним значением) МХ дискретной случайной величины Х называют сумму произведений значений x_i случайной величины и вероятностей p_i = P{X=x_i}, с которыми случайная величина принимает эти значения: . При этом, если множество возможных значений случайной величины счетно, предполагается, что . В противном случае говорят, что МХ не существует.

Математическим ожиданием (средним значением) МХ непрерывной случайной величины называют интеграл .При этом предполагается, что .

Для функций случайных величин м.о. вычисляется аналогично.

Математическое ожидание удовлетворяет следующим свойствам:

1)Если случайная величина Х принимает всего одно значение с вероятностью 1, то МС=С.

2)M(aX+b) = aMX+b, где a, b – постоянные

3)M(X₁+X₂) = MX₁+MX₂

4)M(X₁X₂) = MX₁MX₂ для независимых случайных величин.

Доказательство состоит в раскрытии сумм и интегралов.

25. Что называют дисперсией скалярной случайной величины? Сформулируйте и докажите основные свойства дисперсии.

Дисперсией DX случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее среднего значения, т. е. DX = M(X-MX)².

, .

Дисперсия удовлетворяет следующим свойствам:

1)Если СВ Х принимает всего одна значение С, то DC=0

2)D(aX+b) = a²DX

3)DX = MX²-(MX)²

4)D(X+Y) = DX + DY для независимых случайных величин.

Доказательство опирается на свойства математического ожидания.

26. Дайте определение ковариации двух скалярных случайных величин. Сформулируйте и докажите основные свойства ковариации.

Ковариацией (корреляционным моментом) cov(X₁, X₂) случайных величин X₁, X₂ называют математическое ожидание произведения случайных величин :

.

Для ДСВ X₁, X₂: .

Для непрерывных случайных величин X₁, X₂:

.

D(X+Y) = DX+DY+2cov(X, Y).

Ковариация имеет следующие свойства:

1)cov(X, X) = DX

2)cov(X₁, X₂) = 0 для независимых случайных величин X₁ и X₂

3)Если Y_i = a_iX_i+b_i, i=1,2, то cov(Y₁, Y₂) = a₁a₂cov(X₁, X₂)

4)

5) для линейно зависимых X₁ и X₂: X₂ = aX₁+b

6)cov(X₁, X₂) = M(X₁X₂) – MX₁ MX₂.

Док-во. Утверждение 1 вытекает из очевидного соотношения: cov(X, X) = M(X-MX)². Если случайные величины Х₁ и Х₂ являются независимыми и имеют математические ожидания, то cov(X₁, X₂) = M((X₁-MX₁)(X₂-MX₂) = (M(X₁-MX₂))(M(X₂-MX₂)), откуда приходим к утверждению 2. Пусть Y₁ = a₁X₁+b₁, Y₂ = a₂X₂+b₂. Тогда cov(Y₁, Y₂) = M((Y₁-MY₁)(Y₂-MY₂)) = M((a₁X₁+b₁-a₁MX₁-b₁)(a₂X₂+b₂-a₂MX₂-b₂)) = M(a₁a₂(X₁-MX₁)(X₂-MX₂)). Поэтому справедливо утверждение 3. Рассмотрим дисперсию случайной величины Y_x = xX₁-X₂, где ч – произвольное число. В силу свойств дисперсии и свойства 3 ковариации DY_x = D(xX₁)+2cov(xX₁,-X₂)+D(-X₂) = x²DX₁-2xcov(X₁, X₂)+DX₂. Дисперсия DY_x, как функции от x, представляет собой квадратный трехчлен. Но дисперсия любой случайной величины не может быть меньше нуля, а это означает, что дискриминант D = (2cov(X₁, X₂))²-4DX₁DX₂ квадратного трехчлена DY_x является неположительным, т. е. имеет место утверждение 4. Далее, пусть выполнено равенство 5. Значит дискриминант равен нулю, и уравнение DY_x = 0 имеет решение, которое обозначим a. Тогда случайная величина Y_a = aX₁-X₂ принимает всего одно значение (допустим, b), и, следовательно, X₂ = aX₁+b. Наоборот, пусть выполнено X₂ = aX₁+b. Тогда в соответствии со свойством 1 дисперсии DY_x = 0, а значит дискриминант является неотрицательным. Поскольку при доказательстве свойства 4 было показано, что этот дискриминант неположителен, то он равен нулю, откуда следует . Утверждение 6 получается раскрытием скобок в формуле ковариации и использованием свойств математического ожидания.

27. Что понимают под коэффициентом корреляции двух скалярных случайных величин? Сформулируйте и докажите основные свойства коэффициента корреляции.

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называют число  = (X, Y), определяемое равенством (предполагается, что DX>0 и DY>0): .

Коэффициент корреляции имеет следующие свойства:

1)(X, X) = 1

2)Если случайные величины X и Y являются независимыми (и существуют DX>0 и DY>0), то (X, Y) = 0.

3)(a₁X₁+b₁, a₂X₂+b₂) = (X₁, X₂). При этом знак плюс нужно брать в том случае, когда a₁ и a₂ имеют одинаковые знаки, минус – разные.

4)–1  (X, Y)  1

5)|(X, Y)| = 1 тогда и только тогда, когда случайные величины X и Y линейно зависимы.

Доказательство следует из свойств ковариации.

28. Дайте определение ковариационной матрицы случайного вектора. Сформулируйте и докажите основные свойства ковариационной матрицы.

Матрицей ковариаций (ковариационной матрицей) случайного вектора Х называют матрицу , состоящую из ковариаций случайных величин X_i и X_j.

Свойства матрицы ковариаций.

1)Матрица ковариаций является симметрической.

2)Пусть m-мерный случайный вектор получен из n-мерного случайного вектора Х=(Х₁,...,Х_n) с помощью линейного преобразования B, т. е. . Тогда матрица ковариаций Σ_у случайного вектора Y=(Y₁,…,Yn) связана с матрицей ковариаций Σ_x случайного вектора Х=(Х₁,...,Х_n) соотношением Σ_у=B^TΣ_xB.

1)Матрица ковариаций Σ является неотрицательно определенной, т. е. bΣb^T≥0 для всех векторов b.

Док-во. Утверждение 1 следует из определения матрицы ковариаций. Пусть матрица В линейного преобразования имеет вид B = (b_ij). Вычислим ковариацию случайных величин Y_i и Y_j: . Записывая последнее равенство в матричной форме, получаем утверждение 2. Для доказательства утверждения 3 рассмотрим скалярную случайную величину . В случае скалярной случайной величины Y ее дисперсия , и поэтому в соответствии с утверждением 2 имеем: , откуда в силу неотрицательности дисперсии получаем утверждение 3.

29. Что понимают под условным законом распределения? Докажите равенство , где - непрерывный случайный вектор.

Для двумерной дискретной случайной величины (X, Y) условной вероятностью , того, что случайная величина X примет значение x_i при условии Y = y_j, называют усл. вероятность события {X=x_i}при условии события {Y=y_j}, т.е. . Набор вероятностей характеризует условное распределение дискретной случайной величины X при условии Y = y_j.

Условная функция распределения непрерывной случайной величины: .

Условная плотность распределения непрерывной случайной величины: .

Эти понятия называют условными законами распределения.

30. Дайте определение условного математического ожидания и докажите его основное свойство.

Условным математическим ожиданием M(X|Y) дискретной случайной величины X относительно дискретной случайной величины Y называют функцию M(X|Y) = g(Y) от случайной величины Y, где область определения функции g(y) совпадает с множеством значений y₁, …, y_m случайной величины Y, а каждому значению y_j аргумента y поставлено в соответствие число g(y_j) = M(X|y_j).

Свойства условного математического ожидания.

1)M(c|Y)  c

2)M(aX+b|Y) = aM(X|Y)+b

3)M(X₁+X₂|Y) = M(X₁|Y)+M(X₂|Y)

4)Пусть случайные величины X₁ и X₂ являются независимыми при условии, что случайная величина Y приняла любое конкретное значение. Тогда M(X₁X₂|Y) = M(X₁|Y) M(X₂|Y).

5)MX = M(M(X|Y))

6)Пусть u(X) и v(Y) – функции от случайных величин X и Y. Тогда M(u(X)v(Y)|Y) = v(Y) M(u(X)|Y)

7)Если X и Y – независимые случайные величины, то M(X|Y)  MX.

31. Что понимают под законом больших чисел и что является его основным содержанием? Докажите неравенства Чебышева.

Первое неравенство Чебышева. Для каждой неотрицательной случайной величины X, имеющей математическое ожидание MX, при любом >0 справедливо соотношение: .

Док-во проведем для непрерывной случайной величины X с плотностью распределения p(x). Поскольку случайная величина X является неотрицательной, то . Так как подынтегральное выражение неотрицательно, то при уменьшении области интегрирования интеграл может только уменьшиться. Поэтому .

Заменяя в подынтегральном выражении сомножитель x на , имеем: . Последний интеграл представляет собой вероятность события X  , и, значит, MX  P{X}, откуда и вытекает первое неравенство Чебышева. Для дискретной случайной величины интеграл заменяется суммой.

Второе неравенство Чебышева. Для каждой случайной величины X, имеющей дисперсию DX=², при любом >0 справедливо: .

Док-во. Воспользуемся первым неравенством Чебышева. Применяя к случайной величине Y=(X-MX)² это неравенство, в котором  заменено на ², получаем

, что и док. второе неравенство Чебышева.

Пусть X₁, X₂, …, X_n, … - последовательность случайных величин, имеющих математические ожидания m_i=MX_i. Последовательность X₁, X₂, …, X_n, … случайных величин удовлетворяет закону больших чисел (слабому), если для любого >0: . Иными словами, выполнение закона больших чисел отражает предельную устойчивость средних арифметических случайных величин: при большом числе испытаний они практически перестают быть случайными и совпадают со своими средними значениями.

32. Сформулируйте и докажите теорему Чебышева и теорему Бернулли.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)