Шпоры (1077616), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Теорема Чебышева (закон больших чисел в форме Чебышева). Если последовательность X₁, X₂, …, X_n, … независимых случайных величин такова, что существуют MX_i=m_i и DX_i=_i², причем дисперсии _i² ограничены в совокупности (т. е. _i²  С < +), то для последовательности X₁, X₂, …, X_n, … выполнен закон больших чисел.

Док-во. Теорема является элементарным следствием второго неравенства Чебышева. Действительно, в силу свойств математического ожидания и дисперсии:

, .

Применяя теперь второе неравенство Чебышева к случайным величинам , получаем для любого >0: .

Теорема Бернулли (закон больших чисел в форме Бернулли). Пусть проводится n испытаний по схеме Бернулли и Y_n – общее число успехов в n испытаниях. Тогда наблюденная частота успехов r_n = Y_n/n сходится по вероятности p успеха в одном испытании, т. е. для любого >0 .

Док-во. Обозначим X_i число успехов в i-м испытании Бернулли. Тогда частоту успехов в n испытаниях можно определить в виде , причем MX_i=p и DX_i=pq. Отсюда и вытекает утверждение теоремы.

33. Сформулируйте центральную предельную теорему. Сформулируйте и докажите теорему Муавра-Лапласа.

Центральная предельная теорема. Пусть X₁, X₂, …, X_n, … - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, MX_n=m, DX_n=². Тогда , где Ф(x) – функция стандартного нормального распределения.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Обозначим S_n суммарное число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха p и вероятностью неудачи q=1-p. Тогда с ростом n последовательность функций распределения случайных величин сходится к функции стандартного нормального распределения, т. е. .

Док-во. Пусть Xi – число успехов в i-м испытании. Тогда MX_i=p, DX_i=pq. Представляя S_n в виде S_n=X₁+X₂+…+X_n и используя центральную предельную теорему, приходим к утверждению теоремы.

34. Пусть k() – число «успехов» в серии из n испытаний по схеме Бернулли и n – велико. Докажите, что в этом случае , где p – вероятность «успеха» в каждом отдельном испытании.

???

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)